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==== 康托尔对角线论证（1891） ====

==== 康托尔对角线论证（1891） ====

'''现象'''：实数集不可数。假设每个实数都被编号 <math>0, 1, 2, \ldots</math>；定义一个新实数，令它的第 n 位小数与"编号 n 的实数"的第 n 位小数都不同。这个新实数不在原表里——矛盾。<ref name="cantor1891" />

'''现象'''：实数集不可数。假设每个实数都被编号 <math>0, 1, 2, \ldots</math>；定义一个新实数，令它的第 <math>n</math> 位小数与"编号 <math>n</math> 的实数"的第 <math>n</math> 位小数都不同。这个新实数不在原表里——矛盾。<ref name="cantor1891" />

'''与 SRT 的关系：同源，但独立'''。两者做了同一件事——取"第 i 个对象在第 i 个位置上的值"（对角线）：Cantor 取"第 i 个实数的第 i 位小数"，SRT 取"第 e 个程序在输入 e 上的值"<math>\phi_e(e)</math>（即证明里的 S(e, e)）。但'''方向相反'''：Cantor 取对角线后'''改动'''它，制造一个"不在表里"的对象，从而证明实数'''不可数'''；SRT 取对角线后'''固定'''它，得到一个"引用自己编号"的程序，从而证明自指程序'''存在'''。注意，SRT '''推不出''' Cantor 定理——SRT 的结论都活在"程序 / 可计算"的世界里，给不出"实数不可数"这种纯集合论命题；两者只是共享了同一个技巧。<ref name="cantor1891" /><ref name="moschovakis2010" />

'''与 SRT 的关系：同源，但独立'''。两者做了同一件事——取"第 <math>i</math> 个对象在第 <math>i</math> 个位置上的值"（对角线）：Cantor 取"第 <math>i</math> 个实数的第 <math>i</math> 位小数"，SRT 取"第 <math>e</math> 个程序在输入 <math>e</math> 上的值"<math>\phi_e(e)</math>（即证明里的 <math>S(e, e)</math>）。但'''方向相反'''：康托尔取对角线后'''改动'''它，制造一个"不在表里"的对象，从而证明实数'''不可数'''；SRT 取对角线后'''固定'''它，得到一个"引用自己编号"的程序，从而证明自指程序'''存在'''。注意，SRT '''推不出''' 康托尔定理——SRT 的结论都活在"程序 / 可计算"的世界里，给不出"实数不可数"这种纯集合论命题；两者只是共享了同一个技巧<ref name="cantor1891" /><ref name="moschovakis2010" />。

==== Russell 悖论（1901） ====

==== Russell 悖论（1901） ====