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→HYP = \Delta^1_1 与有效描述集合论
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'''背景'''：在自然数的集合（数学分析的对象）上，可以用"二阶量化"分层：<math>\Sigma^1_1</math> 集是"存在一个实数使得某个可计算性质成立"的集合（存在投影），<math>\Pi^1_1</math> 是其对偶（全称），<math>\Delta^1_1 = \Sigma^1_1 \cap \Pi^1_1</math> 是"两面都可定义"的集合——可类比为分析学中"既可开逼近又可闭逼近"的集合。
'''背景'''：在自然数的集合（数学分析的对象）上，可以用"[[二阶量词]]"分层：<math>\Sigma^1_1</math> 集是"存在一个实数使得某个可计算性质成立"的集合（由[[存在量词]]定义的集合），<math>\Pi^1_1</math> 是其对偶（由二阶的[[全称量词]]定义的集合），<math>\Delta^1_1 = \Sigma^1_1 \cap \Pi^1_1</math> 是"两面都可定义"的集合——可类比为[[分析学]]中"既可开逼近又可闭逼近"的集合。
* '''Kleene 定理（1955）'''：自然数的集合 A 是 <math>\Delta^1_1</math> 的，当且仅当 A 是[[超算术]]的（HYP）<ref name="kleene1955">Kleene, S. C. (1955). On the forms of the predicates in the theory of constructive ordinals (second paper). ''American Journal of Mathematics'', 77, 405–428.【<math>\Delta^1_1</math> = 超算术集合（HYP）的原始定理出处（§6.4）】</ref><ref name="moschovakis2010" />。
* '''Kleene 定理（1955）'''：自然数的集合 A 是 <math>\Delta^1_1</math> 的，当且仅当 A 是[[超算术]]的（HYP）<ref name="kleene1955">Kleene, S. C. (1955). On the forms of the predicates in the theory of constructive ordinals (second paper). ''American Journal of Mathematics'', 77, 405–428.【<math>\Delta^1_1</math> = 超算术集合（HYP）的原始定理出处（§6.4）】</ref><ref name="moschovakis2010" />。