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→数学模型
（2）x ̇是速度，x ̈是加速度
（2）x ̇是速度，x ̈是加速度
（3）μ是非线性阻尼参数（μ≥0），控制着非线性效应的强弱，振子动力学特性由Mu单独决定。
（3）μ是非线性阻尼参数（μ≥0），控制着非线性效应的强弱，振子动力学特性由Mu单独决定。
我们可通过如下步骤来探究：考虑如图所示的RLC电路：它由电感L、电容器C、电阻R组成，我们假设电压源是电池（E（t）=E常数）。当电池开关关闭时，根据基尔霍夫电压定律：L I' + R I + \frac{1}{C} Q = E，电路中开始流动电流I(t)，其中Q作为电容器中的电荷，其一阶导数等于I,如果我们对等式两边求导，我们将得到式：LI"+RI'+\frac{1}{C}I=0,这是一个具有恒定系数的二阶线性常微分方程，它表示一个阻尼谐波振荡器。
然而，范德珀尔考虑的电路显示的是有源元件（真空管阵列-半导体），而不是无源电阻。通过这种方式，当电流低时，半导体就像在系统中泵送能量一样，当电流过高时，半导体会抑制系统的能量（不像电阻器只是消散能量）。能量注入和能量吸收之间的相互作用导致电压和电流的周期性振荡。半导体的作用由函数I^2-α所刻画，其中α是电流的阈值水平，电流的方程变成下式：LI'+(I^2-α)I+\frac{1}{C}Q=E,为了简单起见，我们假设没有外部电压源。通过取方程两侧的导数，我们确实得到了范德珀尔振子的方程：LI"+3I'(I^2-\frac{α}{3})+\frac{1}{C}I=0 。自引入以来，范德波尔方程一直被用作物理学、电子学、生物学、神经学、社会学和经济学中振荡过程的基本模型。该模型很快被推广为受迫范德珀尔振子系统。
=== 物理意义与动力学行为 ===
=== 物理意义与动力学行为 ===