3,094
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第478行：
第478行： − +
→哥德尔第一不完备定理（1931）
==== 哥德尔第一不完备定理（1931） ====
==== 哥德尔第一不完备定理（1931） ====
'''现象'''：任何"足够强"的一致可公理化理论 <math>T</math>（例如 [[皮亚诺公理|Peano 算术]]，简写为PA）都不完备：存在一个句子 <math>\sigma</math>，使 <math>T</math> 既证不出 <math>\sigma</math>、也证不出 <math>\neg\sigma</math><ref name="godel1931">'''Gödel, K. (1931).''' Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. ''Monatshefte für Mathematik und Physik'', 38, 173–198.【Gödel 不完备定理（Gödel 不动点引理是其核心证明工具，见 §5.6.1）】【§5.7.4】</ref>。
'''现象'''：任何"足够强"的一致可公理化理论 <math>T</math>（例如 [[皮亚诺公理|Peano 算术]]，简写为PA）都不完备：存在一个句子 <math>\sigma</math>，使 <math>T</math> 既证不出 <math>\sigma</math>、也证不出 <math>\neg\sigma</math><ref name="godel1931">'''Gödel, K. (1931).''' Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. ''Monatshefte für Mathematik und Physik'', 38, 173–198.【Gödel 不完备定理（Gödel 不动点引理是其核心证明工具，见 §[[#Gödel 不动点引理（对角引理）|5.6.1]]）】【§[[#哥德尔第一不完备定理（1931）|5.7.4]]】</ref>。
'''术语——皮亚诺算术（PA）与 [[罗宾孙算术]]（Q）'''：'''PA''' 是 '''Peano 算术（Peano Arithmetic）'''的缩写，是'''一阶算术的标准公理系统'''，用于形式化刻画自然数（<math>0, 1, 2, \ldots</math>）及其加法、乘法。它由意大利数学家皮亚诺（G. Peano（1889））的公理发展而来，包含：①常元 0；②后继运算 <math>S</math>（每个数有唯一后继，0 不是任何数的后继，后继相同则原数相同）；③加法、乘法的递归定义；④'''归纳公理模式'''（induction schema：对任何一阶公式 <math>\phi</math>，若 <math>\phi(0)</math> 成立、且 <math>\phi(n) \Rightarrow \phi(n+1)</math>，则 <math>\phi</math> 对一切自然数成立）。PA 是哥德尔不完备定理的典型对象——它足够强（能在内部编码所有初等数论），又是可公理化的一致理论。而 '''Q（[[罗宾孙算术]]）'''是皮亚诺算术的一个'''弱化'''：保留①—③、去掉归纳公理模式，只留极有限的几条公理，是"足以推出不完备定理的最弱理论"之一（后文 [[Myhill定理]]即用它）。
'''术语——皮亚诺算术（PA）与 [[罗宾孙算术]]（Q）'''：'''PA''' 是 '''Peano 算术（Peano Arithmetic）'''的缩写，是'''一阶算术的标准公理系统'''，用于形式化刻画自然数（<math>0, 1, 2, \ldots</math>）及其加法、乘法。它由意大利数学家皮亚诺（G. Peano（1889））的公理发展而来，包含：①常元 0；②后继运算 <math>S</math>（每个数有唯一后继，0 不是任何数的后继，后继相同则原数相同）；③加法、乘法的递归定义；④'''归纳公理模式'''（induction schema：对任何一阶公式 <math>\phi</math>，若 <math>\phi(0)</math> 成立、且 <math>\phi(n) \Rightarrow \phi(n+1)</math>，则 <math>\phi</math> 对一切自然数成立）。PA 是哥德尔不完备定理的典型对象——它足够强（能在内部编码所有初等数论），又是可公理化的一致理论。而 '''Q（[[罗宾孙算术]]）'''是皮亚诺算术的一个'''弱化'''：保留①—③、去掉归纳公理模式，只留极有限的几条公理，是"足以推出不完备定理的最弱理论"之一（后文 [[Myhill定理]]即用它）。