更改

# 带参数的 SRT 造"第二号程序"：把"程序算 <math>h(\langle z, u\rangle, x)</math>"看成带两个参数 <math>z,u</math> 的偏可计算函数，先由 s-m-n（[[#s-m-n 定理（柯里化 / 参数特化）|§2.3]]）把 <math>z</math> 写死，再套 SRT，得到一个'''全'''可计算函数 <math>n_0</math>，对每个 <math>z</math> 都满足 <math>\phi_{n_0(z)}(x) = h(\langle z, n_0(z)\rangle, x)</math>；

# 带参数的 SRT 造"第二号程序"：把"程序算 <math>h(\langle z, u\rangle, x)</math>"看成带两个参数 <math>z,u</math> 的偏可计算函数，先由 s-m-n（[[#s-m-n 定理（柯里化 / 参数特化）|§2.3]]）把 <math>z</math> 写死，再套 SRT，得到一个'''全'''可计算函数 <math>n_0</math>，对每个 <math>z</math> 都满足 <math>\phi_{n_0(z)}(x) = h(\langle z, n_0(z)\rangle, x)</math>；

# 再由 s-m-n 造"第一号程序"：令 <math>f(z)</math> 为"算 <math>g(\langle z, n_0(z)\rangle, x)</math> 的那个程序"——由于 <math>n_0</math> 全且可计算，<math>f</math> 也是全可计算的；

# 再由 s-m-n 造"第一号程序"：令 <math>f(z)</math> 为"算 <math>g(\langle z, n_0(z)\rangle, x)</math> 的那个程序"——由于 <math>n_0</math> 全且可计算，<math>f</math> 也是全可计算的；

# 对 f 套普通 SRT：得到不动点 <math>m</math>，令 <math>n = n_0(m)</math>。于是 <math>\phi_m(x) = g(\langle m, n\rangle, x)</math>（SRT 的直接结论），且 <math>\phi_n(x) = h(\langle m, n_0(m)\rangle, x) = h(\langle m, n\rangle, x)</math>（<math>n_0</math> 的定义）。

# 对 <math>f</math> 套普通 SRT：得到不动点 <math>m</math>，令 <math>n = n_0(m)</math>。于是 <math>\phi_m(x) = g(\langle m, n\rangle, x)</math>（SRT 的直接结论），且 <math>\phi_n(x) = h(\langle m, n_0(m)\rangle, x) = h(\langle m, n\rangle, x)</math>（<math>n_0</math> 的定义）。

注意 <math>g,h</math> 的"全性"从头到尾没有被用到——需要全函数的只是辅助构造 <math>n_0</math> 与 <math>f</math>，而它们的全性由 s-m-n 定理和 SRT 保证。这正是定理对偏函数照样成立的原因。

注意 <math>g,h</math> 的"全性"从头到尾没有被用到——需要全函数的只是辅助构造 <math>n_0</math> 与 <math>f</math>，而它们的全性由 s-m-n 定理和 SRT 保证。这正是定理对偏函数照样成立的原因。

[[#Smullyan 双递归定理（1959, 1961）|双递归定理]]是后续许多重要构造的核心：① [[#超算术层级与 Spector 唯一性定理|§5.8.3]] 介绍的"两层超算术构造"里，[[克利福德·斯佩克特|Spector]] 定理需要同时构造两个互相缠绕的函数；② [[Myhill-Shepherdson 定理]]（[[#有效运算的连续性：Myhill–Shepherdson 与 KLS–Čeĭnin 定理|§5.8.6]] 简述）描述"如何用 r.e. 集作为其它 r.e. 集的有效操作"时也需要联立不动点；③ 某些停机问题的"相对化"证明也走双递归路线<ref name="smullyan1961">'''Smullyan, R. M. (1961).''' ''Theory of Formal Systems''. Princeton University Press.【双递归定理的提出者；§[[#Smullyan 双递归定理（1959, 1961）|5.2.1]]】</ref><ref name="rogers1967" />.

[[#Smullyan 双递归定理（1959, 1961）|双递归定理]]是后续许多重要构造的核心：① [[#超算术层级与 Spector 唯一性定理|§5.8.3]] 介绍的"两层超算术构造"里，[[克利福德·斯佩克特|Spector]] 定理需要同时构造两个互相缠绕的函数；② [[Myhill-Shepherdson 定理]]（[[#有效运算的连续性：Myhill–Shepherdson 与 KLS–Čeĭnin 定理|§5.8.6]] 简述）描述"如何用 r.e. 集作为其它 r.e. 集的有效操作"时也需要联立不动点；③ 某些停机问题的"相对化"证明也走双递归路线<ref name="smullyan1961">'''Smullyan, R. M. (1961).''' ''Theory of Formal Systems''. Princeton University Press.【双递归定理的提出者；§[[#Smullyan 双递归定理（1959, 1961）|5.2.1]]】</ref><ref name="rogers1967" />.

==== Rogers 同构定理（1958） ====

==== Rogers 同构定理（1958） ====