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递归定理 (查看源代码)

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[[Arslanov 判据]]在[[递归论]]里是教科书级工具：①用于证明 Gödel 不完备定理的算术陈述（"[[PA不一致]]"这种陈述）的相对可计算性与停机问题同构；② 用于证明某些 r.e. 集"不可能被简化"<ref name="arslanov1981">'''Arslanov, R. R. (1981).''' On a class of recursively enumerable sets. ''Algebra and Logic'', 20, 324–328.【Arslanov 完全性判据】【§[[#Arslanov 完全性判据（1981）|5.5.3]]】</ref><ref name="soare1987">'''Soare, R. I. (1987).''' ''Recursively Enumerable Sets and Degrees: A Study of Computable Functions and Computably Generated Sets''. Berlin: Springer-Verlag.【r.e. 集与图灵度的标准教科书；Arslanov 完备性判据（§[[#Arslanov 完全性判据（1981）|5.5.3]]）与 Rice–Shapiro 等索引集定理（§[[#r.e. 索引集理论：Rice、Rice-Shapiro 与 Myhill|5.8.5]]）的教科书出处】</ref>

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~~=== λ演算视角：与 Y 组合子的关系 ===~~

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<math>\lambda</math> 演算（Church 1930 年代发明的、Lisp 等函数式语言的祖先）中有一个著名对象 '''Y 组合子'''：对任何函数 <math>F</math>，<math>YF = F(YF)</math>，即 <math>Y</math> 直接生产出 <math>F</math> 的不动点，纯函数式地实现递归——它让匿名函数也能"引用自己"。

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Kiselyov 在'''分阶段 <math>\lambda</math> 演算'''（staged lambda-calculus，区分"代码"与"值"两个阶段的现代元编程框架）中重构了第二递归定理，得出一个漂亮的结论：'''第二递归定理就是 Y 组合子的"带代码"推广'''——[[Y组合子]]给出函数层面的不动点，SRT 给出"程序 + 自身代码"层面的不动点；当把"代码"取为平凡编码（程序即自身）时，SRT 的构造精确退化为 Y 组合子<ref name="kiselyov" />。

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这一视角澄清了 SRT 对计算机科学的意义：'''它陈述的是"任何合理的程序系统对自指构造封闭"，是把高阶操作（程序变换）降阶到数据层面（编号）的不动点原理'''——部分求值（partial evaluation）、编译器自举（bootstrapping）、宏系统的理论基础。

=== 与其它不动点定理的关系 ===

Jake

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