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→其它形式的第二递归定理
</math>
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四个需要解释的点：
* 该定理的输入<math>e</math>是在第二递归定理的{{EquationNote|表述A}}中<math>\psi</math>本身的编号。在SRT的所有表述中，<math>\psi</math> 都是“给定的”：{{EquationNote|表述A}}对给定的 <math>\psi</math> 断言不动点存在；{{EquationNote|表述C}} 让不动点随参数 <math>y</math> 一致变化。Uniform 版的方向不同——它让不动点随 <math>\psi</math> 的描述（编号) 一致变化：<math>r</math> 是一个“自指编译器”，你喂给它任何一个二元程序的编号，它返回那个让 <math>\phi_e(·,·)</math> 自我指涉的程序编号。
* 该定理的输入<math>e</math>是在第二递归定理的{{EquationNote|表述A}}中<math>\psi</math>本身的编号。在SRT的所有表述中，<math>\psi</math> 都是“给定的”：{{EquationNote|表述A}}对给定的 <math>\psi</math> 断言不动点存在；{{EquationNote|表述C}} 让不动点随参数 <math>y</math> 一致变化。Uniform 版的方向不同——它让不动点随 <math>\psi</math> 的描述（编号) 一致变化：<math>r</math> 是一个“自指编译器”，你喂给它任何一个二元程序的编号，它返回那个让 <math>\phi_e(·,·)</math> 自我指涉的程序编号。
* 为什么称该定理为Uniform的？数学中，一个性质或定理的表述可以看作是某一个参数的函数，就称为Uniform的（一致的）。第二递归定理的{{EquationNote|表述A}}显然是一种非Uniform的形式，因为它孤立地依赖于函数<math>\psi</math>。而Uniform形式的递归定理则将定理所表述的性质看作是编号<math>e</math>的函数，所以是Uniform的。
* 无条件的全称命题。注意陈述里没有“若 <math>\phi_e</math> 可计算”之类的前提——对一切 <math>e</math> 都成立。<math>e</math>号程序在 <math>(r(e), x)</math> 上不停机时，两边同时无定义，等式照样成立。这跟“不动点自由的函数必须是不可计算的”（[[#Arslanov 判据|Arslanov 判据]]）是一体两面：<math>r</math> 是全的，所以没有可计算函数能躲开它。
* 无条件的全称命题。注意陈述里没有“若 <math>\phi_e</math> 可计算”之类的前提——对一切 <math>e</math> 都成立。<math>e</math>号程序在 <math>(r(e), x)</math> 上不停机时，两边同时无定义，等式照样成立。这跟“不动点自由的函数必须是不可计算的”（[[#Arslanov 判据|Arslanov 判据]]）是一体两面：<math>r</math> 是全的，所以没有可计算函数能躲开它。
* 该定理的证明如何构造？把 §[[#证明|5.2]] 展开版证明逐步查一遍——第 0 步用 s-m-n 造 <math>\theta</math> 的编号（原始递归操作），第 2 步 <math>f = S(e,e)</math>（S 原始递归）——每一步都是编号上的原始递归运算。所以复合出来的 <math>e \Longrightarrow f</math> 就是那个 <math>r</math>，原始递归。这也是为什么说 Kleene 1938/1952 的原始证明“实际上已经是 uniform 的”：证明即算法。
* 该定理的证明如何构造？把 §[[#证明|5.2]] 展开版证明逐步查一遍——第 0 步用 s-m-n 造 <math>\theta</math> 的编号（原始递归操作），第 2 步 <math>f = S(e,e)</math>（S 原始递归）——每一步都是编号上的原始递归运算。所以复合出来的 <math>e \Longrightarrow f</math> 就是那个 <math>r</math>，原始递归。这也是为什么说 Kleene 1938/1952 的原始证明“实际上已经是 uniform 的”：证明即算法。
====Smullyan双递归定理====
====Smullyan双递归定理====