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[[算子递归定理]]（operator recursion theorem，简称 ORT）是第二递归定理的"无穷化"推广，由[[约翰·凯斯|Case]]在研究自复制自动机时提出<ref name="case1974">'''Case, J. (1974).''' ''Periodicity in generations of automata''. Mathematical Systems Theory 8: 15–32. doi:10.1007/BF01761704.【算子递归定理（ORT）的原始出处；Kleene 第二递归定理的无穷化推广，由自复制自动机的世代周期性问题引出】</ref>。它把自指的对象从一个程序升级为'''一整个可计算的程序族'''。

[[算子递归定理]]（operator recursion theorem，简称 ORT）是第二递归定理的"无穷化"推广，由[[约翰·凯斯|Case]]在研究自复制自动机时提出<ref name="case1974">'''Case, J. (1974).''' ''Periodicity in generations of automata''. Mathematical Systems Theory 8: 15–32. doi:10.1007/BF01761704.【算子递归定理（ORT）的原始出处；Kleene 第二递归定理的无穷化推广，由自复制自动机的世代周期性问题引出】</ref>。它把自指的对象从一个程序升级为'''一整个可计算的程序族'''。

'''算子递归定理'''：设 <math>\Theta</math> 是一个可计算算子（即由图灵机实现的、把（部分）函数映为（部分）函数的映射：算子通过函数图像的有限片段与被作用函数交互，因此也能作用于不可计算的函数），则存在一个全可计算、严格单调递增的函数 <math>e(p)</math>，使得对所有 <math>p, x</math>：

'''算子递归定理'''：设 <math>\Theta</math> 是一个可计算算子（即由图灵机实现的、把（部分）函数映为（部分）函数的映射：算子通过函数图像的有限片段与被作用函数交互，因此也能作用于不可计算的函数），则存在一个全可计算、严格单调递增的函数 <math>e(p)</math>，使得对所有 <math>p</math>：

: <math>\phi_{e(p)}(x) \simeq \Theta(e)(p, x)</math>

: <math>\phi_{e(p)} \simeq \Theta(e)(p, \cdot)</math>

与第二递归定理（表述 A）对比，有两处关键升级：

与第二递归定理（表述 A）对比，有两处关键升级：