3,094
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第748行：
第748行： + + + + + + + + + + + + +
→Myhill定理：创造集 = 完备集
'''证明中 SRT 的关键一步'''：想把任意 r.e. 集 B 归约到创造集 A，需要构造一个程序 <math>z</math>，使得"若 <math>x\in B</math>，则 <math>z</math> 枚举出<math>\{u(z)\}</math>；否则 <math>z</math> 枚举空集"——'''<math>z</math> 的定义里用到了 <math>z</math> 自己的编号'''（<math>u(z)</math> 是生产反例的程序作用于 <math>z</math>）。这正是 SRT 合法化的自指；没有这个自指，证明无法闭合。由此 Rogers 还得到推论：'''所有创造集在"可计算的重新命名"意义下完全相同（两两递归同构）'''——从可计算性角度看它们"长得一模一样"<ref name="rogers1967" />。
'''证明中 SRT 的关键一步'''：想把任意 r.e. 集 B 归约到创造集 A，需要构造一个程序 <math>z</math>，使得"若 <math>x\in B</math>，则 <math>z</math> 枚举出<math>\{u(z)\}</math>；否则 <math>z</math> 枚举空集"——'''<math>z</math> 的定义里用到了 <math>z</math> 自己的编号'''（<math>u(z)</math> 是生产反例的程序作用于 <math>z</math>）。这正是 SRT 合法化的自指；没有这个自指，证明无法闭合。由此 Rogers 还得到推论：'''所有创造集在"可计算的重新命名"意义下完全相同（两两递归同构）'''——从可计算性角度看它们"长得一模一样"<ref name="rogers1967" />。
===其它扩展研究===
====SRT与计算复杂性====
==== 自指的可用性依赖于编号系统：KRT 可以被分级 ====
该词条表述的SRT默认在一个'''[[可接受编号]]'''（acceptable numbering，即同时满足通用性与[[s-m-n定理]]的编号系统）中工作；在此类编号之间，[[#Rogers 同构定理（1958）|Rogers同构]]保证了彼此可计算互译。一个自然的追问是：'''换掉编号，递归定理还剩多少？'''
答案分两层。其一，Rogers 不动点形式（表述 B）对一切可接受编号成立；但在'''一般的可计算编号'''（同样是全部一元偏可计算函数的一致枚举、却不满足可接受性的编号）中，'''Kleene 形式（表述 A，文献中称 KRT）可以失效'''。其二，失效与否不是全有全无的：Case、Jain 与 Stephan 借用归纳推断的收敛标准，把"在编号 <math>\psi</math> 中找到不动点"分成了由强到弱的四档——'''FinKrt'''（有限步内机械给出不动点）、'''ExKrt'''（极限收敛地找到）、'''VacKrt'''（摇摆式收敛）、'''BcKrt'''（行为正确地收敛），并系统研究了哪些编号落在哪一档<ref name="case2018" />。
这带来一个概念上的反转：自指不再是"图灵等价世界"里的免费午餐，而是'''编号系统的一种资源'''，可以测量、可以分级、可以缺失。该文还证明了两个结构性事实：①一个编号"找不动点的能力"与它"作为学习最优假设空间的能力"相互独立；②若编号既对解释性学习最优、又在 Ex 意义下满足 KRT，则它还能在 Ex 意义下翻译其他编号的指标。这与正文 §5.1 的"表述 C"形成呼应——uniform 性与可构造性本身，就是递归定理 content 中最脆弱也最值钱的部分。
==== 有效运算的连续性：Myhill–Shepherdson 与 KLS–Čeĭnin 定理 ====
==== 有效运算的连续性：Myhill–Shepherdson 与 KLS–Čeĭnin 定理 ====