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电路中开始流动电流 [math]\displaystyle{ I(t) }[/math]，其中Q作为电容器中的电荷，其一阶导数等于I。如果我们对等式两边求导，我们将得到式：

电路中开始流动电流 [math]\displaystyle{ I(t) }[/math]，其中Q作为电容器中的电荷，其一阶导数等于I。如果我们对等式两边求导，我们将得到式：

[math]\displaystyle{ L I'' + R I' + \frac{1}{C} I = 0 }[/math]

L\frac{d^2I}{dt^2} + R\frac{dI}{dt} + \frac{1}{C}I = 0

这是一个具有恒定系数的二阶线性常微分方程，它表示一个阻尼谐波振荡器。

这是一个具有恒定系数的二阶线性常微分方程，它表示一个阻尼谐波振荡器。

为了简单起见，我们假设没有外部电压源。通过取方程两侧的导数，我们确实得到了范德珀尔振子的方程：

为了简单起见，我们假设没有外部电压源。通过取方程两侧的导数，我们确实得到了范德珀尔振子的方程：

[math]\displaystyle{ L I'' + 3 I' \left(I^2 - \frac{\alpha}{3}\right) + \frac{1}{C} I = 0 }[/math]

I'' - \frac{\alpha}{L}\left(1 - \frac{3}{\alpha}I^2\right)I' + \frac{1}{LC}I = 0

自引入以来，范德波尔方程一直被用作物理学、电子学、生物学、神经学、社会学和经济学中振荡过程的基本模型。该模型很快被推广为受迫范德珀尔振子系统。

自引入以来，范德波尔方程一直被用作物理学、电子学、生物学、神经学、社会学和经济学中振荡过程的基本模型。该模型很快被推广为受迫范德珀尔振子系统。