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[[文件:二维线性系统不动点分类.png|缩略图|Fig.1 二维线性系统不动点的迹-行列式（Trace-Determinant）分类平面图|替代=|无|389x389像素]]

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* '''鞍点（Saddle Point）：''' 当 [math]\Delta < 0[/math]（即左半平面）时，特征值为一正一负的实数。 此时鞍点在两个特征方向上表现出不同的动力学行为。负特征值对应<nowiki>'''</nowiki>稳定方向<nowiki>'''</nowiki>，该方向上的轨迹随时间逐渐趋近平衡点；正特征值对应<nowiki>'''</nowiki>不稳定方向<nowiki>'''</nowiki>，轨迹则随时间远离平衡 点。由于只有严格位于稳定方向上的轨迹才能收敛到平衡点，而附近的微小扰动通常会使轨迹转向不稳定方向，因此鞍点整体上是不稳定的。例如，系统 [math]\dot{x}=x,\ \dot{y}=-y[/math] 的两个特征值分别为 [math]1[/math] 和 [math]-1[/math]，其中 [math]y[/math] 轴为稳定方向，[math]x[/math] 轴为不稳定方向，其余轨迹呈双曲线形状，由此形成如图Fig.2所示的典型鞍点相图。[[文件:Saddle phase portrait.svg|无|缩略图|396x396像素|Fig.2 鞍点相图]]

* '''鞍点（Saddle Point）：''' 当 [math]\Delta < 0[/math]（即左半平面）时，特征值为一正一负的实数。 此时鞍点在两个特征方向上表现出不同的动力学行为。负特征值对应<nowiki>'''</nowiki>稳定方向<nowiki>'''</nowiki>，该方向上的轨迹随时间逐渐趋近平衡点；正特征值对应<nowiki>'''</nowiki>不稳定方向<nowiki>'''</nowiki>，轨迹则随时间远离平衡 点。由于只有严格位于稳定方向上的轨迹才能收敛到平衡点，而附近的微小扰动产生的不稳定方向分量会随时间增长，因此鞍点整体上是不稳定的。例如，系统 [math]\dot{x}=x,\ \dot{y}=-y[/math] 的两个特征值分别为 [math]1[/math] 和 [math]-1[/math]，其中 [math]y[/math] 轴为稳定方向，[math]x[/math] 轴为不稳定方向，其余轨迹呈双曲线形状，由此形成如图Fig.2所示的典型鞍点相图[[文件:Saddle phase portrait.svg|无|缩略图|396x396像素|Fig.2 鞍点相图]]

*'''抛物线分界线：'''

*'''结点（Node）：''' 当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta>0[/math] 时，系统具有两个同号且互异的实特征值，对应于'''结点（Node）'''。由于两个特征值均为实数，相轨迹通常沿特征方向趋近或远离平衡点，而不表现出围绕平衡点的旋转行为。  当 [math]T<0[/math] 时，两个特征值均为负，系统形成'''稳定结点（Stable Node）'''。如 Fig.3(a) 所示，相轨迹从不同方向逐渐趋向平衡点，表明该平衡点为渐近稳定。  当 [math]T>0[/math] 时，两个特征值均为正，系统形成'''不稳定结点（Unstable Node）'''。如 Fig.3(b) 所示，相轨迹从平衡点向外发散，附近任意微小扰动都会随时间远离平衡点，因此该平衡点是不稳定的。

** <nowiki>曲线 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 是Fig.1 迹—行列式平面 中区分实特征值与复特征值的临界线。由特征值公式 [math]\lambda_{1,2}=\dfrac{T\pm\sqrt{T^2-4\Delta}}{2}[/math] 可知，[math]T^2-4\Delta[/math] 的符号直接决定特征值的类型，因此该曲线将 [math]\Delta>0[/math] 的区域划分为结点区和焦点区。</nowiki>

*'''焦点（Focus）：''' 当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta<0[/math] 时，系统具有一对共轭复特征值，对应于'''焦点（Focus）'''。此时特征值可写为 [math]\lambda_{1,2}=T/2\pm i\omega[/math]，其中虚部使相轨迹围绕平衡点旋转，而实部 [math]T/2[/math] 决定轨迹是逐渐收缩还是向外发散。  当 [math]T<0[/math] 时，共轭复特征值的实部为负，系统形成'''稳定焦点（Stable Focus）'''。如 Fig.3(c) 所示，相轨迹以螺旋形式逐渐趋近平衡点，因此该平衡点为渐近稳定。  当 [math]T>0[/math] 时，共轭复特征值的实部为正，系统形成'''不稳定焦点（Unstable Focus）'''。如 Fig.3(d) 所示，相轨迹以螺旋形式逐渐远离平衡点，因此该平衡点是不稳定的。

** 在抛物线'''外部'''，即 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta>0[/math] 时，系统具有两个同号的实特征值，对应于'''结点（Node）'''。当 [math]T<0[/math] 时，两个特征值均为负，轨迹沿不同特征方向趋近平衡点，形成稳定结点；当 [math]T>0[/math] 时，两个特征值均为正，轨迹从平衡点向外发散，形成不稳定结点。

** 在抛物线'''内部'''，即 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta<0[/math] 时，系统具有一对共轭复特征值，对应于具有旋转行为的'''焦点（Focus）'''。复特征值的虚部产生相平面中的旋转运动，而实部 [math]T/2[/math] 决定轨迹是收缩还是发散：当 [math]T<0[/math] 时，轨迹螺旋趋近平衡点，形成稳定焦点；当 [math]T>0[/math] 时，轨迹螺旋远离平衡点，形成不稳定焦点。

** 在分界曲线 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 上，两个特征值合并为重实根 [math]\lambda_1=\lambda_2=T/2[/math]，系统处于结点与焦点之间的临界状态，通常对应星形结点或退化结点，其具体相图还取决于雅可比矩阵是否具有两个线性无关的特征向量。由此，抛物线不仅区分了轨迹是否具有旋转行为，也给出了结点与焦点之间的动力学分界，如图Fig.3 所示。

[[文件:结点和焦点的相位图.png|替代=|无|缩略图|621x621px|Fig.3 结点与焦点的典型相图]]

[[文件:结点和焦点的相位图.png|替代=|无|缩略图|621x621px|Fig.3 结点与焦点的典型相图]]

*'''稳定与不稳定的分界：'''在Fig.1 迹—行列式平面 的右半平面，即 [math]\Delta>0[/math] 时，横轴 [math]T=0[/math] 构成稳定系统与不稳定系统之间的分界。这是因为两个特征值实部之和等于矩阵的迹 [math]T[/math]；当特征值为共轭复数时，它们的实部均为 [math]T/2[/math]，因此 [math]T[/math] 的符号直接决定平衡点附近的轨迹是收缩还是发散。

*'''中心（Center）：''' 当 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T=0[/math] 时，系统具有一对纯虚共轭特征值，可写为 [math]\lambda_{1,2}=\pm i\sqrt{\Delta}[/math]。由于特征值的实部为零，轨迹既不会随时间趋近平衡点，也不会向外发散，而是围绕平衡点形成闭合轨道。  如 Fig.4 所示，相轨迹在平衡点周围持续作周期运动，因此该平衡点称为'''中心（Center）'''。此时系统保持周期性振荡，但轨迹不会收敛到平衡点。

**当 [math]T<0[/math] 时，两个特征值的实部均小于零，系统为'''渐近稳定系统'''，对应稳定结点或稳定焦点。轨迹随时间逐渐趋近平衡点：在稳定结点中，轨迹沿特征方向直接汇聚；在稳定焦点中，轨迹则以螺旋方式向内收缩。

**当 [math]T>0[/math] 时，两个特征值的实部均大于零，系统为不稳定系统，对应不稳定结点或不稳定焦点。除平衡点本身外，附近轨迹会随时间向外发散，其运动形式分别表现为非旋转发散或螺旋发散。稳定与不稳定结点、焦点的典型相图已在 Fig.3 中给出。

*'''星形结点（Star Node）：''' 当 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 且 [math]\Delta>0[/math] 时，系统具有重复实特征值 [math]\lambda_1=\lambda_2=T/2[/math]。若系统矩阵 [math]A[/math] 具有两个线性无关的特征向量，则形成'''星形结点（Star Node）'''。此时相轨迹沿不同方向直接趋近或远离平衡点，如 Fig.5(a) 所示。当 [math]T<0[/math] 时，重复特征值为负，轨迹随时间趋近平衡点，形成稳定星形结点；当 [math]T>0[/math] 时，重复特征值为正，轨迹从平衡点向外发散，形成不稳定星形结点。

**当 [math]T=0[/math] 且 [math]\Delta>0[/math] 时，两个特征值为纯虚数 [math]\lambda_{1,2}=\pm i\sqrt{\Delta}[/math]。在线性系统中，轨迹既不趋近平衡点，也不向外发散，而是形成围绕原点的闭合周期轨道，对应中心（Center）。此时系统通常存在一个保持不变的二次型；当该二次型具有明确的物理含义时，可以将其理解为系统能量守恒。下文介绍的“相爱相杀”模型属于这一类周期性动力学情形，其典型相图如 Fig.4 所示。[[文件:Fig4 center phase portrait.svg|无|缩略图|325x325像素|Fig.4 中心相图]]

*'''退化结点（Improper Node）：'''  当 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 且 [math]\Delta>0[/math] 时，若系统矩阵 [math]A[/math] 只有一个线性无关的特征向量，则形成'''退化结点（Improper Node）'''。与星形结点不同，退化结点附近的相轨迹通常呈弯曲形态，并在接近平衡点时逐渐与唯一的特征方向相切，如 Fig.5(b) 所示。当 [math]T<0[/math] 时，轨迹趋近平衡点，形成稳定退化结点；当 [math]T>0[/math] 时，轨迹远离平衡点，形成不稳定退化结点。

*'''退化情况：''' 在Fig.1 迹—行列式平面 中，抛物线 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 对应两个特征值相等的临界情形，此时 [math]\lambda_1=\lambda_2=T/2[/math]。若雅可比矩阵具有两个线性无关的特征向量，则平衡点表现为'''星形结点（Star Node）'''，轨迹沿不同方向直接趋近或远离平衡点；若矩阵只有一个独立特征向量，则形成'''退化结点'''或非正常结点（Improper Node），一般轨迹在接近平衡点时逐渐与唯一的特征方向相切。两类结点的稳定性仍由 [math]T[/math] 的符号决定：当 [math]T<0[/math] 时为稳定结点，当 [math]T>0[/math] 时为不稳定结点。

*'''非孤立平衡点（Non-isolated Equilibrium Points）：''' 当 [math]\Delta=0[/math] 时，系统至少存在一个零特征值，因此系统矩阵 [math]A[/math] 为奇异矩阵，平衡点不一定是孤立的。若 [math]T\neq0[/math]，两个特征值分别为 [math]0[/math] 和 [math]T[/math]，矩阵的零空间通常形成一条由平衡点组成的直线。当 [math]T<0[/math] 时，附近轨迹趋向这条平衡点直线，如 Fig.5(c) 所示；当 [math]T>0[/math] 时，附近轨迹则远离该平衡点直线。  当 [math]T=0[/math] 且 [math]\Delta=0[/math] 时，两个特征值均为零。若 [math]A=0[/math]，则整个相平面上的点均为平衡点；若 [math]A\neq0[/math]，则系统存在一条平衡点直线，其余轨迹沿与该直线平行的方向发生线性漂移。

*<nowiki>纵轴 [math]\Delta=0[/math] 对应至少存在一个零特征值。对于二维齐次线性系统，若雅可比矩阵的秩为 1，其零空间是一条直线，直线上的每一点均满足 [math]\dot{\boldsymbol{x}}=0[/math]，因而构成一条由平衡点组成的</nowiki>'''非孤立平衡点'''集合；其余轨迹则沿非零特征值对应的方向趋近或远离这条平衡点直线。若雅可比矩阵为零矩阵，则整个相平面上的点都是平衡点。需要注意的是，对于一般非线性系统，零特征值只表明平衡点是非双曲的，不能仅根据线性化结果断定一定存在平衡点直线，还需要结合高阶项或中心流形进一步判断。'''星形结点'''、'''退化结点'''和'''非孤立平衡点'''的典型相图如 Fig.5 所示。

[[文件:Fig5 退化情况.png|无|缩略图|1159x1159px|Fig.5 退化情况: 星形结点、退化结点和非孤立平衡点]]

[[文件:Fig5 退化情况.png|无|缩略图|1159x1159px|Fig.5 退化情况: 星形结点、退化结点和非孤立平衡点]]