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补充 Stommel 两箱模型、多箱盐收支方程及随机扩展，说明变量、假设和文献来源
水团完成全球翻转路径可能需要数百至数千年，而环流强度、海温与大气能够在更短的时间尺度调整。因此，区域气候响应不需要等待同一团水完成完整循环<ref name="NOAA_2024" />。
水团完成全球翻转路径可能需要数百至数千年，而环流强度、海温与大气能够在更短的时间尺度调整。因此，区域气候响应不需要等待同一团水完成完整循环<ref name="NOAA_2024" />。
== 动力学模型 ==
AMOC 的[[箱式模型]]将海洋划分为少量内部近似均匀的区域，用热量和盐分收支描述环流随时间的变化。不同模型保留的过程不同。两箱模型突出温盐竞争，多箱模型加入海盆联系和不同输送路径，适合研究[[多稳态]]、[[分岔]]及外部强迫的变化速率<ref name="Stommel_1961">Stommel, H. (1961). Thermohaline Convection with Two Stable Regimes of Flow. ''Tellus'', 13(2), 224–230. DOI: [https://doi.org/10.3402/tellusa.v13i2.9491 10.3402/tellusa.v13i2.9491]。[https://people.bath.ac.uk/jhpd20/research/Stommel1961.pdf 原文]。</ref><ref name="Alkhayuon_2019" />。
=== Stommel 两箱模型：温度、盐度与环流强度 ===
两箱分别代表低纬暖水区和高纬冷水区。用[[无量纲化]]将温度差、盐度差和时间除以相应尺度后，Stommel 模型的一种常用写法为<ref name="Alkhayuon_2019" />：
{{NumBlk|:|<math>\begin{aligned}\frac{dT}{d\tau}&=\eta_1-T\bigl(1+\lvert T-S\rvert\bigr),\\\frac{dS}{d\tau}&=\eta_2-S\bigl(\eta_3+\lvert T-S\rvert\bigr).\end{aligned}</math>|{{EquationRef|1}}}}
这里，<math>T</math> 和 <math>S</math> 分别表示低纬至高纬温度差和盐度差经缩放后的量，<math>\tau</math> 为无量纲时间。非负参数 <math>\eta_1</math>、<math>\eta_2</math> 分别控制热强迫与淡水强迫，<math>\eta_3</math> 为温度恢复时间与盐度恢复时间之比。“恢复”表示海气交换等过程使温度或盐度趋近外部指定状态。
模型中的无量纲环流强度定义为
{{NumBlk|:|<math>\Psi=T-S.</math>|{{EquationRef|2}}}}
式（2）体现温盐对密度的相反作用：低纬至高纬的温度差促进高纬下沉，而相应的盐度差抵消这一作用。<math>\Psi>0</math> 表示温度作用占优的环流，<math>\Psi<0</math> 表示盐度作用占优的反向环流。式（1）中的 <math>\lvert T-S\rvert</math> 表示水体交换会削弱两箱差异，交换作用的大小取决于流量的绝对值<ref name="Stommel_1961" /><ref name="Alkhayuon_2019" />。
令式（1）的两个导数为零即可求[[平衡点]]，即状态不再随时间改变的位置。在部分参数范围内，模型存在两个稳定的[[平衡点]]，不同初始状态可分别趋近这两个状态。改变淡水强迫可引起[[鞍结分岔]]，即稳定与不稳定的[[平衡点]]相遇并消失，从而产生跳变和[[滞后]]。这一模型解释温盐反馈如何形成[[双稳态]]，其无量纲流量需要给定缩放尺度后才能与 Sv 单位的观测比较<ref name="Alkhayuon_2019" />。
=== 全球五箱模型及其二维约化 ===
Wood 等建立的全球五箱模型区分北大西洋 <math>N</math>、热带大西洋 <math>T</math>、南大洋 <math>S</math>、印度洋—太平洋 <math>IP</math> 和底层水 <math>B</math>。其参数可由复杂气候模型中的水团性质和输送量标定<ref name="Wood_2019">Wood, R. A., Rodríguez, J. M., Smith, R. S., Jackson, L. C., & Hawkins, E. (2019). Observable, low-order dynamical controls on thresholds of the Atlantic meridional overturning circulation. ''Climate Dynamics'', 53, 6815–6834. DOI: [https://doi.org/10.1007/s00382-019-04956-1 10.1007/s00382-019-04956-1]。</ref>。Alkhayuon 等进一步给出三箱约化：固定变化较慢的南大洋和底层盐度，以北大西洋、热带大西洋和印度洋—太平洋盐度描述演化，再由总盐量约束消去一个变量，得到二维系统<ref name="Alkhayuon_2019" />。
为区分箱体下标与温度变量，下式以 <math>\Theta</math> 表示温度。假设北部温度随输送量满足 <math>\Theta_N=\Theta_0+\mu q</math>，则密度差决定的 AMOC 体积输送量为
{{NumBlk|:|<math>q=\frac{\lambda\left[\alpha(\Theta_S-\Theta_0)+\beta(S_N-S_S)\right]}{1+\lambda\alpha\mu}.</math>|{{EquationRef|3}}}}
其中，<math>S_i</math> 是箱 <math>i</math> 的盐度，<math>\Theta_S</math> 为南部温度，<math>\Theta_0</math> 为北部参考温度。<math>\alpha</math>、<math>\beta</math> 分别是线性化密度对温度、盐度的响应系数，<math>\lambda</math> 将密度差换算成体积输送量，<math>\mu</math> 描述环流对北部温度的影响。此处 <math>q</math> 是有量纲输送量，与式（2）的 <math>\Psi</math> 使用不同尺度<ref name="Alkhayuon_2019" />。
当 <math>q\geq0</math>，上层水从热带流向北大西洋，两个独立的盐收支方程为
{{NumBlk|:|<math>\begin{aligned}V_N\frac{dS_N}{dt}&=(q+K_N)(S_T-S_N)-F_NS_0,\\V_T\frac{dS_T}{dt}&=q\left[\gamma S_S+(1-\gamma)S_{IP}-S_T\right]\\&\quad+K_S(S_S-S_T)+K_N(S_N-S_T)-F_TS_0.\end{aligned}</math>|{{EquationRef|4}}}}
当 <math>q<0</math>，输送路径反向，相应方程为
{{NumBlk|:|<math>\begin{aligned}V_N\frac{dS_N}{dt}&=\lvert q\rvert(S_B-S_N)+K_N(S_T-S_N)-F_NS_0,\\V_T\frac{dS_T}{dt}&=\lvert q\rvert(S_N-S_T)+K_S(S_S-S_T)\\&\quad+K_N(S_N-S_T)-F_TS_0.\end{aligned}</math>|{{EquationRef|5}}}}
式（4）与式（5）中的 <math>V_i</math> 为固定箱体积，<math>K_N</math>、<math>K_S</math> 为箱间交换的体积输送系数，<math>F_i</math> 为表面净淡水输入，<math>S_0</math> 为参考盐度。<math>F_i>0</math> 表示淡化作用，因而盐收支中出现 <math>-F_iS_0</math>。<math>0\leq\gamma\leq1</math> 表示 AMOC 返回路径中经过南大洋的比例，其余部分经过印度洋—太平洋。时间、体积和输送量须使用一致单位<ref name="Alkhayuon_2019" />。
令 <math>C</math> 为固定的总盐量，印度洋—太平洋盐度由
{{NumBlk|:|<math>S_{IP}=\frac{C-V_NS_N-V_TS_T-V_SS_S-V_BS_B}{V_{IP}}</math>|{{EquationRef|6}}}}
确定。式（3）—（6）连同固定的 <math>S_S</math>、<math>S_B</math>，构成以 <math>(S_N,S_T)</math> 为状态的闭合系统。“闭合”表示右端所需的变量均可由当前状态和给定参数求出。固定总盐量相当于要求完整模型的表面淡水通量相互补偿，或在被约化的箱中隐含补偿通量，具体实验须保持这一约束<ref name="Alkhayuon_2019" />。
这组方程将[[盐平流反馈]]具体化：北大西洋淡化使式（3）的 <math>q</math> 降低，进而改变式（4）的北向盐输送。该约化模型在文献考察的参数下可出现[[霍普夫分岔]]，即[[平衡点]]的稳定性与振荡解发生联系的[[分岔]]，也能表现出[[吸引域]]变化和速率诱导转变。其机制比两箱模型丰富，代价是增加海盆划分、参数标定和约化假设<ref name="Alkhayuon_2019" />。
=== 随时间变化的强迫与随机扩展 ===
研究淡水输入的变化速率时，可令式（4）—（5）中的强迫随时间变化。加入未解析的短时间尺度波动后，这类模型可用[[随机微分方程]]统一表示，即同时包含确定性演化和随机扰动的方程：
{{NumBlk|:|<math>d\mathbf{s}_t=\mathbf{f}\bigl(\mathbf{s}_t,\mathbf{u}(t)\bigr)\,dt+\mathbf{B}(\mathbf{s}_t)\,d\boldsymbol{w}_t.</math>|{{EquationRef|7}}}}
其中，<math>\mathbf{s}_t</math> 为模型状态向量，在上述二维约化中可取 <math>(S_N,S_T)^{\mathsf{T}}</math>。<math>\mathbf{f}</math> 表示盐收支决定的演化，<math>\mathbf{u}(t)</math> 为随时间变化的外部强迫。<math>\boldsymbol{w}_t</math> 是描述连续随机扰动的多维[[维纳过程]]，矩阵 <math>\mathbf{B}</math> 指定扰动的强度及其作用于各变量的方式。式（7）采用伊藤解释，即随机系数按每一步起点的状态计算。它是模型类别的通用表示，具体研究需要指定随机项，并使箱间补偿和总盐量约束一致<ref name="Sinet_2024" /><ref name="JacquesDumas_2024" />。
这类扩展将研究问题从“给定强迫下有哪些稳定状态”推进到“变化多快会触发转变、随机扰动会产生哪些转变路径”。Sinet 等研究了冰盖融水的速率与噪声效应，Jacques-Dumas 等则在另一套包含跃密层深度的随机箱式模型中估计转变概率。跃密层是海水密度随深度变化较快的层。这些结果各自对应其模型、参数及强迫设定<ref name="Sinet_2024" /><ref name="JacquesDumas_2024" />。
== 复杂系统建模与临界预警 ==
== 复杂系统建模与临界预警 ==