更改

[[流距离]]是集体注意力流网络最核心的概念之一<ref name=":6" />。它不是最短路径距离，也不是普通随机游走距离，而是指用户沿所有可能路径从节点 i第一次到达节点 j的平均步数。这个定义同时考虑了网络拓扑和真实流量，因此比只看链接结构更能反映“用户实际上多容易从一个内容资源跳到另一个内容资源”。

[[流距离]]是集体注意力流网络最核心的概念之一<ref name=":6" />。它不是最短路径距离，也不是普通随机游走距离，而是指用户沿所有可能路径从节点 i第一次到达节点 j的平均步数。这个定义同时考虑了网络拓扑和真实流量，因此比只看链接结构更能反映“用户实际上多容易从一个内容资源跳到另一个内容资源”。

在''开放流网络''中，给定通量矩阵/注意力流矩阵 $F=\{f_{ij}\}$，其中节点 $0$ 为源，$N+1$ 为汇，其余 $1\sim N$ 为内部网站节点。为计算用户跳转“平均步数”，先由流量归一化得到马尔可夫转移矩阵 $M$：

在''开放流网络''中，给定通量矩阵/注意力流矩阵<math>F=\{f_{ij}\}</math>，其中节点<math>0</math>为源，<math>N+1</math>为汇，其余<math>1\sim N</math>为内部网站节点。为计算用户跳转“平均步数”，先由流量归一化得到马尔可夫转移矩阵<math>M</math>：

<math>

<math>

m_{ij}=\frac{f_{ij}}{\sum_{k=1}^{N+1} f_{ik}}

m_{ij}=\frac{f_{ij}}{\sum_{k=1}^{N+1} f_{ik}}

<math>U_{ij}</math>可理解为：在所有可能路径中，从<math>i</math>到<math>j</math>的“累计（伪）到达概率质量”的生成函数结果。它把拓扑结构与流动概率统一编码进同一个矩阵对象中。

<math>U_{ij}</math>可理解为：在所有可能路径中，从<math>i</math>到<math>j</math>的“累计（伪）到达概率质量”的生成函数结果。它把拓扑结构与流动概率统一编码进同一个矩阵对象中。

===总流距离 $t_{ij}$（Total flow distance）===

* '''总流距离<math>t_{ij}</math>（Total flow distance） '''

文献给出的流距离核心计算包含一个“从 $i$ 出发并考虑所有路径的累计步数项”，可用中间量（总流距离）表示为：

文献给出的流距离核心计算包含一个“从 $i$ 出发并考虑所有路径的累计步数项”，可用中间量（总流距离）表示为：

<math>

<math>

</math>

</math>

直观解释：分子 $(MU^2)_{ij}$ 将“转移一步（$M$）”与“通过所有可能继续传播的累计结构（$U^2$）”合并；再用 $(U)_{ij}$ 进行归一化，相当于在“所有能到达 $j$ 的路径集合”之上取条件平均，从而得到与路径步数相关的累计量。该量仍然不是“首次到达”的指标，因此需要进一步做差分处理。

直观解释：分子<math>(MU^2)_{ij}</math>将“转移一步（<math>M</math>）”与“通过所有可能继续传播的累计结构（<math>U^2</math>）”合并；再用<math>(U)_{ij}</math>进行归一化，相当于在“所有能到达<math>j</math>的路径集合”之上取条件平均，从而得到与路径步数相关的累计量。该量仍然不是“首次到达”的指标，因此需要进一步做差分处理。

===首次通过流距离 $l_{ij}$（First-passage flow distance）===

* '''首次通过流距离<math>l_{ij}</math>First-passage flow distance） '''

''首次通过流距离''定义为从 $i$ 出发到 $j$ 的首次到达（first time arrival）所需的期望步数。计算上，文献采用“对称的去偏/校正”差分形式：

''首次通过流距离''定义为从 $i$ 出发到 $j$ 的首次到达（first time arrival）所需的期望步数。计算上，文献采用“对称的去偏/校正”差分形式：

<math>

<math>

</math>

</math>

其中 $t_{jj}$ 是从 $j$ 出发到 $j$ 的“基线累计量”。因此 $l_{ij}$ 可以理解为：把“到达 $j$ 后再计入的累计步数成分”扣除掉，只保留“从 $i$ 出发直到首次到达 $j$”这段所对应的期望步数。

其中<math>t_{jj}</math>是从<math>j</math>出发到<math>j</math>的“基线累计量”。因此<math>l_{ij}</math>可以理解为：把“到达<math>j</math>后再计入的累计步数成分”扣除掉，只保留“从<math>i</math>出发直到首次到达<math>j</math>”这段所对应的期望步数。

* 在本文语境中，这个距离比最短路距离更贴近用户真实行为：它并不只看拓扑上需要几步，而是把每一步的转移概率（由点击流形成）以及可能的绕行路径都纳入平均。

* 在本文语境中，这个距离比最短路距离更贴近用户真实行为：它并不只看拓扑上需要几步，而是把每一步的转移概率（由点击流形成）以及可能的绕行路径都纳入平均。

* 同时，由于存在源/汇导致的开流网络结构，距离刻画的是用户在“可在网络中持续转移、最终会离开到汇”的情形下，到达目标前的平均转移步数。

* 同时，由于存在源/汇导致的开流网络结构，距离刻画的是用户在“可在网络中持续转移、最终会离开到汇”的情形下，到达目标前的平均转移步数。

===对称流距离 $c_{ij}$（Symmetric flow distance）===

* '''对称流距离<math>c_{ij}</math>（Symmetric flow distance） '''

''流距离矩阵 $L=\{l_{ij}\}$ 通常不对称''（因为从 $i$ 到 $j$ 的到达容易程度与从 $j$ 到 $i$ 的容易程度一般不同）。但若要把节点嵌入欧氏空间（让欧氏距离尽量等于距离矩阵），需要一个对称的距离度量 $C$。

''流距离矩阵<math>L=\{l_{ij}\}</math>通常不对称''（因为从<math>i</math>到<math>j</math>的到达容易程度与从<math>j</math>到<math>i</math>的容易程度一般不同）。但若要把节点嵌入欧氏空间（让欧氏距离尽量等于距离矩阵），需要一个对称的距离度量 $C$。