更改

===1<μ<3===

===1<μ<3===

*当<math>μ</math>在1到2之间，种群数量会很快接近<math>\frac{\mu-1}{\mu}</math>,不论最初种群为何值

*当<math>\mu</math>在1到2之间，种群数量会很快接近<math>\frac{\mu-1}{\mu}</math>,不论最初种群为何值

[[File:Mu02.png|400px|thumb|center|图3]]

[[File:Mu02.png|400px|thumb|center|图3]]

图3展示的是<math>μ=1.2</math>，右图表示的是<math>μ=2.7</math>的时候方程的迭代结果，我们看到，两种情况下，方程的迭代结果仍然收敛于固定值，分别是0.18和0.63。也就是说，这个稳定值可以随着<math>μ</math>发生变化。

图3展示的是<math>\mu</math>=1.2，右图表示的是<math>\mu</math>=2.7的时候方程的迭代结果，我们看到，两种情况下，方程的迭代结果仍然收敛于固定值，分别是0.18和0.63。也就是说，这个稳定值可以随着<math>μ</math>发生变化。

*当<math>μ</math>在2到3之间，人口数在经历一段时间的波动后会趋于稳定值<math>\frac{\mu-1}{\mu}</math>其,收敛速度满足线性变化。但当<math>μ = 3</math>时，比线性收敛还要缓慢。（详情见[[分岔记忆Bifurcation memory]]）

*当<math>\mu</math>在2到3之间，人口数在经历一段时间的波动后会趋于稳定值<math>\frac{\mu-1}{\mu}</math>其,收敛速度满足线性变化。但当<math>\mu </math>=3时，比线性收敛还要缓慢。（详情见[[分岔记忆Bifurcation memory]]）

事实上，只要<math>μ<3 </math>，系统都会收敛到一个不动点，而这个不动点的数值可以通过求解下列方程而得到：

事实上，只要<math>\mu </math><3，系统都会收敛到一个不动点，而这个不动点的数值可以通过求解下列方程而得到：

:<math>

:<math>

</math>

</math>

其中，<math>x^*_1=0</math>对应的是<math>μ<1</math>时候的不动点，<math>x^*_2=\frac{\mu-1}{\mu}</math>对应的是<math>μ>1</math>时候的不动点。

其中，<math>x^*_1=0</math>对应的是<math>\mu</math><1时候的不动点，<math>x^*_2=\frac{\mu-1}{\mu}</math>对应的是<math>\mu</math>>1时候的不动点。

所谓的迭代不动点，也就是：一旦出现某一个<math>T</math>使得<math>x(T)=x^*_1,x^*_2</math>，则对任意的<math>t>T</math>都会有：<math>x(t)=x^*_1,x^*_2</math>。

所谓的迭代不动点，也就是：一旦出现某一个<math>T</math>使得<math>x(T)=x^*_1,x^*_2</math>，则对任意的<math>t>T</math>都会有：<math>x(t)=x^*_1,x^*_2</math>。

===3<μ<3.6===

===3<μ<3.6===

*当<math>μ</math>在3到1+√6 ≈ 3.44949，在所有的初始条件下，人口数会持续在两个依赖<math>μ</math>的值之间近似永久振荡。

*当<math>μ</math>在3到1+√6 ≈ 3.44949，在所有的初始条件下，人口数会持续在两个依赖<math>\mu</math>的值之间近似永久振荡。

图4右图展示了当<math>\mu=3.5</math>的时候，系统在4个值上下反复跳动即0.87-->0.4-->0.82-->0.5。蓝色的轨迹和紫色的轨迹在初始略有不同，但是最终收敛到了一起。如果进一步增加<math>\mu</math>值，系统还会呈现出更多的周期，包括8周期、16周期……

图4右图展示了当<math>\mu</math>=3.5的时候，系统在4个值上下反复跳动即0.87-->0.4-->0.82-->0.5。蓝色的轨迹和紫色的轨迹在初始略有不同，但是最终收敛到了一起。如果进一步增加<math>\mu</math>值，系统还会呈现出更多的周期，包括8周期、16周期……

事实上，从<math>\mu>3.54</math>以后，系统震荡的周期就变得越来越长。

事实上，从<math>\mu</math>>3.54以后，系统震荡的周期就变得越来越长。

*当<math>μ≈ 3.56995</math>（在[https://en.wikipedia.org/wiki/On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences OEIS]中的[https://oeis.org/A098587  A098587]）,出现混沌现象，在倍周期级联的末端。在所有的初始条件下，不再观察到有限周期内的振动。 随着时间的推移，初始种群数的微小变化会产生明显不同的结果，这是混沌的主要特征。

*当<math>μ</math>≈ 3.56995（在[https://en.wikipedia.org/wiki/On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences OEIS]中的[https://oeis.org/A098587  A098587]）,出现混沌现象，在倍周期级联的末端。在所有的初始条件下，不再观察到有限周期内的振动。 随着时间的推移，初始种群数的微小变化会产生明显不同的结果，这是混沌的主要特征。

*3.56995以上的<math>μ</math>值大多表现出混沌行为，但仍有一定的孤立范围表现出非混沌行为;这些岛屿有时被称为稳定岛。例如，从1 +√8(约3.82843)开始，<ref>{{cite journal|last=Zhang |first=Cheng |title=Period three begins |journal=Mathematics Magazine|volume=83 |date=October 2010 |pages=295–297 |doi=10.4169/002557010x521859}}</ref> 有一个参数<math>μ</math>的范围，在3个值之间显示<math>μ</math>振荡，在6个值之间显示稍高的<math>μ</math>振荡，然后在12个值之间显示稍高的<math>μ</math>振荡，等等

*3.56995以上的<math>μ</math>值大多表现出混沌行为，但仍有一定的孤立范围表现出非混沌行为;这些岛屿有时被称为稳定岛。例如，从1 +√8(约3.82843)开始，<ref>{{cite journal|last=Zhang |first=Cheng |title=Period three begins |journal=Mathematics Magazine|volume=83 |date=October 2010 |pages=295–297 |doi=10.4169/002557010x521859}}</ref> 有一个参数<math>μ</math>的范围，在3个值之间显示<math>\mu</math>振荡，在6个值之间显示稍高的<math>\mu</math>振荡，然后在12个值之间显示稍高的<math>\mu</math>振荡，等等

[[File:450px-Logistic_map.gif|400px|thumb|图7 不同的初始条件下关于μ的函数 （横轴的r为μ）]]

[[File:450px-Logistic_map.gif|400px|thumb|图7 不同的初始条件下关于μ的函数 （横轴的r为μ）]]

当参数<math>μ</math>从大约3.56995变化到3.82843时，Logistic映射的混沌行为的发展过程有时被称为'''Pomeau-Manneville场景 the Pomeau–Manneville scenario'''，其特征是周期性(层流)阶段被非周期性行为突然打断。The Pomeau–Manneville scenario在半导体器件中有应用。<ref name="carson82">{{cite journal|first1=Carson |last1=Jeffries|first2=José |last2=Pérez |journal=Physical Review A|year=1982|title=Observation of a Pomeau–Manneville intermittent route to chaos in a nonlinear oscillator|volume=26 |issue=4 |pages=2117–2122|doi=10.1103/PhysRevA.26.2117|bibcode = 1982PhRvA..26.2117J |url=http://www.escholarship.org/uc/item/2dm2k8mm}}</ref> 此时函数值在5个值之间来回波动;所有的振荡周期都依赖于<math>\mu</math>。带参数<math>c</math>的倍周期是由一系列子序列组成的<math>\mu</math>值范围。第k个子区间包含了<math>\mu</math>的值，其中有一个<math>2^{k}c</math>的稳定周期(一个周期吸引了一组单位测度的初始点)。这个子范围的序列称为谐波级联cascade of harmonics。<ref name="May">{{cite journal | first = R. M. |last=May | title = Simple mathematical models with very complicated dynamics | journal = Nature | year = 1976 | volume = 261 | issue = 5560 | pages = 459–67 | doi = 10.1038/261459a0 | pmid = 934280|bibcode = 1976Natur.261..459M | hdl = 10338.dmlcz/104555 | hdl-access = free }}</ref> 在一个稳定周期为<math>2^{k^*}c</math>的子范围内，所有<math>k < k^*</math>都存在周期为<math>2^{k}c</math>的不稳定周期。在无限子区间序列末端的<math>\mu</math>值称为谐波级联cascade of harmonics的积累点。随着<math>\mu</math>的升高，出现了一系列具有不同<math>c</math>值的新窗口。第一个是<math>c</math> = 1;所有包含奇数<math>c</math>的后续窗口都以<math>c</math>的递减顺序出现，以任意大的<math>c</math>开始。<ref name="May" /><ref>{{cite journal |last1=Baumol |first1=William J. |last2=Benhabib |first2=Jess |title=Chaos: Significance, Mechanism, and Economic Applications |journal=Journal of Economic Perspectives]] |date=February 1989 |volume=3 |issue=1 |pages=77–105 |doi=10.1257/jep.3.1.77 }}</ref>  

当参数<math>\mu</math>从大约3.56995变化到3.82843时，Logistic映射的混沌行为的发展过程有时被称为'''Pomeau-Manneville场景 the Pomeau–Manneville scenario'''，其特征是周期性(层流)阶段被非周期性行为突然打断。The Pomeau–Manneville scenario在半导体器件中有应用。<ref name="carson82">{{cite journal|first1=Carson |last1=Jeffries|first2=José |last2=Pérez |journal=Physical Review A|year=1982|title=Observation of a Pomeau–Manneville intermittent route to chaos in a nonlinear oscillator|volume=26 |issue=4 |pages=2117–2122|doi=10.1103/PhysRevA.26.2117|bibcode = 1982PhRvA..26.2117J |url=http://www.escholarship.org/uc/item/2dm2k8mm}}</ref> 此时函数值在5个值之间来回波动;所有的振荡周期都依赖于<math>\mu</math>。带参数<math>c</math>的倍周期是由一系列子序列组成的<math>\mu</math>值范围。第k个子区间包含了<math>\mu</math>的值，其中有一个<math>2^{k}c</math>的稳定周期(一个周期吸引了一组单位测度的初始点)。这个子范围的序列称为谐波级联cascade of harmonics。<ref name="May">{{cite journal | first = R. M. |last=May | title = Simple mathematical models with very complicated dynamics | journal = Nature | year = 1976 | volume = 261 | issue = 5560 | pages = 459–67 | doi = 10.1038/261459a0 | pmid = 934280|bibcode = 1976Natur.261..459M | hdl = 10338.dmlcz/104555 | hdl-access = free }}</ref> 在一个稳定周期为<math>2^{k^*}c</math>的子范围内，所有<math>k < k^*</math>都存在周期为<math>2^{k}c</math>的不稳定周期。在无限子区间序列末端的<math>\mu</math>值称为谐波级联cascade of harmonics的积累点。随着<math>\mu</math>的升高，出现了一系列具有不同<math>c</math>值的新窗口。第一个是<math>c</math> = 1;所有包含奇数<math>c</math>的后续窗口都以<math>c</math>的递减顺序出现，以任意大的<math>c</math>开始。<ref name="May" /><ref>{{cite journal |last1=Baumol |first1=William J. |last2=Benhabib |first2=Jess |title=Chaos: Significance, Mechanism, and Economic Applications |journal=Journal of Economic Perspectives]] |date=February 1989 |volume=3 |issue=1 |pages=77–105 |doi=10.1257/jep.3.1.77 }}</ref>  

当<math>\mu</math>持续增大的时候，迭代运行的轨道就会在周期类型和混沌类型之间来回切换。直到<math>\mu=4</math>，系统处于完全混沌的状态，最终的长期行为会在[0,1]区间上均匀分布。

当<math>\mu</math>持续增大的时候，迭代运行的轨道就会在周期类型和混沌类型之间来回切换。直到<math>\mu</math>=4，系统处于完全混沌的状态，最终的长期行为会在[0,1]区间上均匀分布。

===μ = 4===

===μ = 4===

<math>μ = 4</math>的特殊之处与<math>μ = 2</math>相同，其可以获得精确的解，<ref name="Schröder" /> 虽然，一般情况只能通过统计来预测。<ref>{{cite journal | last1 = Little | first1 = M. | last2 = Heesch | first2 = D. | year = 2004 | title = Chaotic root-finding for a small class of polynomials | url = http://www.maxlittle.net/publications/GDEA41040.pdf | format = PDF | journal = Journal of Difference Equations and Applications | volume = 10 | issue = 11| pages = 949–953 | doi = 10.1080/10236190412331285351 | arxiv = nlin/0407042 }}</ref>   

<math>\mu</math> = 4的特殊之处与<math>\mu</math>= 2相同，其可以获得精确的解，<ref name="Schröder" /> 虽然，一般情况只能通过统计来预测。<ref>{{cite journal | last1 = Little | first1 = M. | last2 = Heesch | first2 = D. | year = 2004 | title = Chaotic root-finding for a small class of polynomials | url = http://www.maxlittle.net/publications/GDEA41040.pdf | format = PDF | journal = Journal of Difference Equations and Applications | volume = 10 | issue = 11| pages = 949–953 | doi = 10.1080/10236190412331285351 | arxiv = nlin/0407042 }}</ref>   

当<math>μ = 4</math> 时，<ref name="Schröder">

当<math>\mu</math> = 4 时，<ref name="Schröder">

{{cite journal |doi=10.1007/BF01443992 |last=Schröder |first=Ernst |year=1870 |title=Über iterierte Funktionen |journal=Math. Ann. |volume=3 |issue= 2|pages=296–322 |id= |url= |accessdate= |quote= }}</ref><ref>{{cite journal|last=Lorenz |first=Edward |date=1964 |title=The problem of deducing the climate from the governing equations |journal=Tellus |volume=16 |issue=February |pages=1–11}}</ref>

{{cite journal |doi=10.1007/BF01443992 |last=Schröder |first=Ernst |year=1870 |title=Über iterierte Funktionen |journal=Math. Ann. |volume=3 |issue= 2|pages=296–322 |id= |url= |accessdate= |quote= }}</ref><ref>{{cite journal|last=Lorenz |first=Edward |date=1964 |title=The problem of deducing the climate from the governing equations |journal=Tellus |volume=16 |issue=February |pages=1–11}}</ref>

对于<math>μ= 4</math>，用复数代替三角函数的等价解为：<ref name="schr">{{cite journal |last=Schröder |first=Ernst |year=1870 |title=Ueber iterirte Functionen|journal=Mathematische Annalen |volume=3 |issue= 2|pages=296–322 | doi=10.1007/BF01443992 }}</ref>

对于<math>\mu</math>= 4，用复数代替三角函数的等价解为：<ref name="schr">{{cite journal |last=Schröder |first=Ernst |year=1870 |title=Ueber iterirte Functionen|journal=Mathematische Annalen |volume=3 |issue= 2|pages=296–322 | doi=10.1007/BF01443992 }}</ref>

:<math>x_t=\frac{-\alpha^{2^t} -\alpha^{-2^t} +2}{4}</math>

:<math>x_t=\frac{-\alpha^{2^t} -\alpha^{-2^t} +2}{4}</math>

其模量为1，正如就像三角函数中的平方正弦函数不会导致点集的缩小或扩大，在后者的解决方案中，可通过<math>α</math>的单位模量来实现该种结果。

其模量为1，正如就像三角函数中的平方正弦函数不会导致点集的缩小或扩大，在后者的解决方案中，可通过<math>\alpha</math>的单位模量来实现该种结果。

相比之下，<math>\mu =2</math>的解为：<ref name="schr" />

相比之下，<math>\mu</math> =2的解为：<ref name="schr" />

:<math>x_t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x_0)^{2^{t}}</math>

:<math>x_t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x_0)^{2^{t}}</math>

<math>\mu =4</math>时，几乎所有的初值都会使Logistic映射出现混沌特性，不过也存在无限个初值会使Logistic映射最后呈周期性变化。而且对于所有正整数，都存在一初值使Logistic映射的周期为正整数。可以利用

<math>\mu</math> =4时，几乎所有的初值都会使Logistic映射出现混沌特性，不过也存在无限个初值会使Logistic映射最后呈周期性变化。而且对于所有正整数，都存在一初值使Logistic映射的周期为正整数。可以利用

Logistic映射和移位映射之间的关系来找出任何周期的循环。若<math>x</math>依照Logistic映射<math>x_{t+1} = 4 x_t(1-x_t) ,</math>,而<math>y</math>依照移位映射

Logistic映射和移位映射之间的关系来找出任何周期的循环。若<math>x</math>依照Logistic映射<math>x_{t+1} = 4 x_t(1-x_t) ,</math>,而<math>y</math>依照移位映射

将其转换到<math>\mu =4</math>的Logistic映射后，所得到的逻辑循环为611260467... → 950484434... → 188255099... → 611260467...。其他周期为3的循环也可以转换为Logistic映射。同样地，任何长度为k的循环都可以在移位映射中找到，然后转换成相应的Logistic映射。

将其转换到<math>\mu </math>=4的Logistic映射后，所得到的逻辑循环为611260467... → 950484434... → 188255099... → 611260467...。其他周期为3的循环也可以转换为Logistic映射。同样地，任何长度为k的循环都可以在移位映射中找到，然后转换成相应的Logistic映射。

对于<math>\mu </math>=4的Logistic映射，此时对应<math>\mu </math>= 2的帐篷映射 Tent map。（最小）长度k = 1，2，3，…的循环数是一个已知的整数序列（OEIS中的序列A001037）：2，1 ，2、3、6、9、18、30、56、99、186、335、630、1161…这告诉我们，<math>\mu =4</math>的Logistic映射具有2个固定点，长度为2时的周期为1，长度为3时的周期为2，依此类推。对于素数k有序列：<math>2\frac{2^{k-1}-1}{k}</math>

对于<math>\mu </math>=4的Logistic映射，此时对应<math>\mu </math>= 2的帐篷映射 Tent map。（最小）长度k = 1，2，3，…的循环数是一个已知的整数序列（OEIS中的序列A001037）：2，1 ，2、3、6、9、18、30、56、99、186、335、630、1161…这告诉我们，<math>\mu </math>=4的Logistic映射具有2个固定点，长度为2时的周期为1，长度为3时的周期为2，依此类推。对于素数k有序列：<math>2\frac{2^{k-1}-1}{k}</math>

例如：<math>2\frac{2^{13-1}-1}{13}</math>是长度为13的循环数。在所有初始条件下，映射都是混乱的，所以这些有限长度的循环都是不稳定的。

例如：<math>2\frac{2^{13-1}-1}{13}</math>是长度为13的循环数。在所有初始条件下，映射都是混乱的，所以这些有限长度的循环都是不稳定的。