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其中<math> r </math> 等于驱动参数，也就是导致种群变化的因素，而 <math> x_n </math> 代表种群数量。 为了使用这个方程，你需要从一个固定的<math> r </math> 值和一个初始值 <math> x</math>  开始。 然后迭代运行这个方程，得到<math> x_1，x_2，x_3 </math> 的值，一直到<math> x_n </math> 。当梅在20世纪70年代早期研究这个方程式时，他开始得到混淆的结果。 当驱动参数<math> r </math>保持较低时，一切正常——总体稳定在一个单一的值上。 但当驱动参数爬升得越来越高时，结果却是一片混乱。梅咨询了他的朋友、马里兰大学学院市分校的数学教授 James Yorke。 大约在同一时间，约克在《大气科学杂志 the Journal of the Atmospheric Sciences》上看到了洛伦茨的论文，他认为天气和动物数量的变化之间可能存在联系。 他运用逻辑差分方程，并对其进行了计算。结果也是出现<math> x_n </math> 的值来回震荡。1975年，Yorke 和合著者 t.y. Li 总结了他们的发现[http://www.its.caltech.edu/~matilde/LiYorke.pdf 第三阶段意味着混乱 Period Three Implies Chaos ] ，这是一篇里程碑式的论文，向世界介绍了术语“混乱”和“混乱”行为。 在逐步研究逻辑差分方程的数学过程中，他重申了庞加莱 Poincaré和洛伦兹 Lorenz已经发现的东西---- 即使是由相对简单的方程控制的简单系统也可能产生非常复杂、不可预测的行为。 但他也在他的分叉图中瞥见了秩序。 当他仔细观察它们时，他可以看到模式和可重复性。 当时的其他科学家，比如 benot Mandelbrot，也看到了类似的情况。（详可参见[[曼德布洛特集 Mandelbrot set]]）

其中<math> r </math> 等于驱动参数，也就是导致种群变化的因素，而 <math> x_n </math> 代表种群数量。 为了使用这个方程，你需要从一个固定的<math> r </math> 值和一个初始值 <math> x</math>  开始。 然后迭代运行这个方程，得到<math> x_1，x_2，x_3 </math> 的值，一直到<math> x_n </math> 。当梅在20世纪70年代早期研究这个方程式时，他开始得到混淆的结果。 当驱动参数<math> r </math>保持较低时，一切正常——总体稳定在一个单一的值上。 但当驱动参数爬升得越来越高时，结果却是一片混乱。梅咨询了他的朋友、马里兰大学学院市分校的数学教授 James Yorke。 大约在同一时间，约克在《大气科学杂志 the Journal of the Atmospheric Sciences》上看到了洛伦茨的论文，他认为天气和动物数量的变化之间可能存在联系。 他运用逻辑差分方程，并对其进行了计算。结果也是出现<math> x_n </math> 的值来回震荡。1975年，Yorke 和合著者 t.y. Li 总结了他们的发现[http://www.its.caltech.edu/~matilde/LiYorke.pdf 第三阶段意味着混乱 Period Three Implies Chaos ] ，这是一篇里程碑式的论文，向世界介绍了术语'''“混乱 Chaos”'''和“混乱”行为。 在逐步研究逻辑差分方程的数学过程中，他重申了庞加莱 Poincaré和洛伦兹 Lorenz已经发现的东西---- 即使是由相对简单的方程控制的简单系统也可能产生非常复杂、不可预测的行为。 但他也在他的分叉图中瞥见了秩序。 当他仔细观察它们时，他可以看到模式和可重复性。 当时的其他科学家，比如 benot Mandelbrot，也看到了类似的情况。（详可参见[[曼德布洛特集 Mandelbrot set]]）

这是混沌理论在生物学上的第一个应用。

这是混沌理论在生物学上的第一个应用。

===昆虫学 zoology===

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