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==== 利用邻接矩阵求特征向量中心性 ====

==== 利用邻接矩阵求特征向量中心性 ====

给定一个节点集合为<math>|V|</math>的图<math>G=(V,E)</math>，定义其[[邻接矩阵]]:<math>A = (a_{v,t})</math>，当<math>v</math>与<math>t</math>相连时<math>a_{v,t} = 1</math>，否则:<math>a_{v,t} = 0</math>。则节点:<math>v</math>中心性:<math>x</math>的分数其求解公式为：

给定一个节点集合为<math>|V|</math>的图<math>G=(V,E)</math>，定义其[[邻接矩阵]]:<math>A = (a_{v,t})</math>，当<math>v</math>与<math>t</math>相连时<math>a_{v,t} = 1</math>，否则:<math>a_{v,t} = 0</math>。则节点:<math>v</math>中心性:<math>x</math>的分数其求解公式为：

:<math>x_v = \frac {1}{ \lambda} \sum_{t \in M(v)} x_t = \frac {1}{ \lambda} \sum_{t \in G} a_{v,t} x_t </math>

:<math>x_v = \frac {1}{ \lambda} \sum_{t \in M(v)} x_t = \frac {1}{ \lambda} \sum_{t \in G} a_{v,t} x_t </math>

其中:<math>M(v)</math>是节点:<math>v</math>的相邻节点集合，:<math>\lambda</math>是一个常数。经过一系列变形，该公式可变换为如下所示的[[特征向量]]方程：

其中:<math>M(v)</math>是节点:<math>v</math>的相邻节点集合，:<math>\lambda</math>是一个常数。经过一系列变形，该公式可变换为如下所示的[[特征向量]]方程：

:<math>\mathbf{Ax} = \lambda \mathbf{x}</math>

:<math>\mathbf{Ax} = \lambda \mathbf{x}</math>

通常来说，有许多不同的特征值:<math>\lambda</math>能使得一个特征方程有非零解存在。然而，考虑到特征向量中的所有项均为非负值，根据[[佩伦-弗罗贝尼乌斯定理]]，只有特征值最大时才能测量出想要的中心性。然后通过计算网络中的节点:<math>v</math> 其特征向量的相关分量:<math>v^\text{th}</math>便能得出其对应的中心性的分数。特征向量的定义只有一个公因子，因此各节点中心性的比例可以很好确定。为了确定一个绝对分数，必须将其中一个特征值标准化，例如所有节点评分之和为1或者节点数&nbsp;''n''。[[冪次迭代|幂次迭代]]是许多特征值算法中的一种，该算法可以用来寻找这种主导特征向量。此外，以上方法可以推广，使得矩阵''A''中每个元素可以是表示连接强度的实数，例如[[随机矩阵]]。

通常来说，有许多不同的特征值:<math>\lambda</math>能使得一个特征方程有非零解存在。然而，考虑到特征向量中的所有项均为非负值，根据[[佩伦-弗罗贝尼乌斯定理]]，只有特征值最大时才能测量出想要的中心性。然后通过计算网络中的节点:<math>v</math> 其特征向量的相关分量:<math>v^\text{th}</math>便能得出其对应的中心性的分数。特征向量的定义只有一个公因子，因此各节点中心性的比例可以很好确定。为了确定一个绝对分数，必须将其中一个特征值标准化，例如所有节点评分之和为1或者节点数&nbsp;''n''。[[冪次迭代|幂次迭代]]是许多特征值算法中的一种，该算法可以用来寻找这种主导特征向量。此外，以上方法可以推广，使得矩阵''A''中每个元素可以是表示连接强度的实数，例如[[随机矩阵]]。

===Katz中心性===

===Katz中心性===