更改

=== 密度 ===

=== 密度 ===

网络的密度 <math>D</math> 通常定义为在具有 <math>N</math> 个节点的网络中，连边数量 <math>E</math> 与可能的连边数的比率，例如在简单图中，由二项式系数 <math>\tbinom N2</math> 计算得出，则 <math>D =\frac{E-(N-1)}{Emax - (N-1)} = \frac{2(E-N+1)}{N(N-3)+2}</math>。另一个可能的等式为<math>D = \frac{T-2N+2}{N(N-3)+2}</math> ，而联系<math>T</math> 是单向的。这为网络密度提供了更好的概述，因为单向关系是可测量的。

网络的密度 <math>D</math> 通常定义为在具有 <math>N</math> 个节点的网络中，连边数量 <math>E</math> 与可能的连边数的比率，例如在简单图中，由二项式系数 <math>\tbinom N2</math> 计算得出，则 <math>D =\frac{E-(N-1)}{Emax - (N-1)} = \frac{2(E-N+1)}{N(N-3)+2}</math>。另一个可能的等式为<math>D = \frac{T-2N+2}{N(N-3)+2}</math> ，而联系<math>T</math> 是单向的。这为网络密度提供了更好的概述，因为单向关系是可测量的。

=== 平面网络密度 ===

=== 平面网络密度 ===

网络直径指的是网络中所有计算出来的最短路径中的最大值，它是另一种测量网络图的方法。它是网络中两个最远节点之间的最短距离。换言之，只要计算出来网络中每个节点到其他所有节点的最短路径长度，直径就是所有计算出的路径长度中最长的。网络直径代表网络的线性规模。假如网络的节点以A-B-C-D的方式连接，那么从A->D的路径长度3（3个跳跃，3个连接）就是这个网络的直径。

网络直径指的是网络中所有计算出来的最短路径中的最大值，它是另一种测量网络图的方法。它是网络中两个最远节点之间的最短距离。换言之，只要计算出来网络中每个节点到其他所有节点的最短路径长度，直径就是所有计算出的路径长度中最长的。网络直径代表网络的线性规模。假如网络的节点以A-B-C-D的方式连接，那么从A->D的路径长度3（3个跳跃，3个连接）就是这个网络的直径。

===聚集系数===

===聚集系数===

从概率的角度来看，期望的局部聚集系数是同一节点的任意两个相邻节点之间存在连接的可能性。

从概率的角度来看，期望的局部聚集系数是同一节点的任意两个相邻节点之间存在连接的可能性。

=== 连通性 ===

=== 连通性 ===

Erdős–Rényi 模型的聚集系数是{{math|0}} [[Almost surely|a.s]]。 <math>G(n, p)</math> 的行为可以分为三个区域：

Erdős–Rényi 模型的聚集系数是{{math|0}} [[Almost surely|a.s]]。 <math>G(n, p)</math> 的行为可以分为三个区域：

#亚临界 <math>n p < 1</math>: 所有分量都是简单而且很小的，其中最大分量的大小为 <math>|C_1| = O(\log n)</math>;

#亚临界 <math>n p < 1</math>: 所有分量都是简单而且很小的，其中最大分量的大小为 <math>|C_1| = O(\log n)</math>;

#临界 <math>n p = 1</math>: <math>|C_1| = O(n^\frac{2}{3})</math>;

#临界 <math>n p = 1</math>: <math>|C_1| = O(n^\frac{2}{3})</math>;

最大的连通分量复杂性最高，其他所有分量都是简单而且很小的 <math>|C_2| = O(\log n)</math>.

最大的连通分量复杂性最高，其他所有分量都是简单而且很小的 <math>|C_2| = O(\log n)</math>。

 

=== 配置模型 ===

=== 配置模型 ===

配置模型以一个度序列<ref>{{Cite journal|last=Bender|first=Edward A|last2=Canfield|first2=E.Rodney|date=May 1978|title=The asymptotic number of labeled graphs with given degree sequences|journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A|volume=24|issue=3|pages=296–307|doi=10.1016/0097-3165(78)90059-6|issn=0097-3165}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal|last=Molloy|first=Michael|last2=Reed|first2=Bruce|date=March 1995|title=A critical point for random graphs with a given degree sequence|journal=Random Structures & Algorithms|language=en|volume=6|issue=2–3|pages=161–180|doi=10.1002/rsa.3240060204|issn=1042-9832|citeseerx=10.1.1.24.6195}}</ref> 或度分布<ref name=":1">{{Cite journal|last=Newman|first=M. E. J.|last2=Strogatz|first2=S. H.|last3=Watts|first3=D. J.|date=2001-07-24|title=Random graphs with arbitrary degree distributions and their applications|journal=Physical Review E|volume=64|issue=2|pages=026118|doi=10.1103/PhysRevE.64.026118|pmid=11497662|arxiv=cond-mat/0007235|bibcode=2001PhRvE..64b6118N}}</ref> （用于生成度序列）作为输入，生成除了度序列外各方面随机连接的图。这意味着对于给定的度序列，图是从符合这个度序列的所有图的集合中随机均匀地选择的。图中任意节点的度<math>k</math>是一个[[独立同分布|独立同分布]]的随机变量，其值为整数。当  <math display="inline">\mathbb E [k^2] - 2 \mathbb E [k]>0</math> 时，配置图包含[[超大分量|超大连通分量]]，其大小是无穷。<ref name=":0" /> 其他分量大小是有限的，可以用大小分布来定量表示。图中任意取的一个节点和大小为<math>n</math>的分量相连接的概率 <math>w(n)</math> 由度分布的[[卷积幂]]给出：<ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2017-05-02|title=General expression for the component size distribution in infinite configuration networks|journal=Physical Review E|volume=95|issue=5|pages=052303|doi=10.1103/PhysRevE.95.052303|pmid=28618550|arxiv=1703.05413|bibcode=2017PhRvE..95e2303K}}</ref><math display="block">w(n)=\begin{cases}

配置模型以一个度序列<ref>{{Cite journal|last=Bender|first=Edward A|last2=Canfield|first2=E.Rodney|date=May 1978|title=The asymptotic number of labeled graphs with given degree sequences|journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A|volume=24|issue=3|pages=296–307|doi=10.1016/0097-3165(78)90059-6|issn=0097-3165}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal|last=Molloy|first=Michael|last2=Reed|first2=Bruce|date=March 1995|title=A critical point for random graphs with a given degree sequence|journal=Random Structures & Algorithms|language=en|volume=6|issue=2–3|pages=161–180|doi=10.1002/rsa.3240060204|issn=1042-9832|citeseerx=10.1.1.24.6195}}</ref> 或度分布<ref name=":1">{{Cite journal|last=Newman|first=M. E. J.|last2=Strogatz|first2=S. H.|last3=Watts|first3=D. J.|date=2001-07-24|title=Random graphs with arbitrary degree distributions and their applications|journal=Physical Review E|volume=64|issue=2|pages=026118|doi=10.1103/PhysRevE.64.026118|pmid=11497662|arxiv=cond-mat/0007235|bibcode=2001PhRvE..64b6118N}}</ref> （用于生成度序列）作为输入，生成除了度序列外各方面随机连接的图。这意味着对于给定的度序列，图是从符合这个度序列的所有图的集合中随机均匀地选择的。图中任意节点的度<math>k</math>是一个[[独立同分布|独立同分布]]的随机变量，其值为整数。当  <math display="inline">\mathbb E [k^2] - 2 \mathbb E [k]>0</math> 时，配置图包含[[超大分量|超大连通分量]]，其大小是无穷。<ref name=":0" /> 其他分量大小是有限的，可以用大小分布来定量表示。图中任意取的一个节点和大小为<math>n</math>的分量相连接的概率 <math>w(n)</math> 由度分布的[[卷积幂]]给出：<ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2017-05-02|title=General expression for the component size distribution in infinite configuration networks|journal=Physical Review E|volume=95|issue=5|pages=052303|doi=10.1103/PhysRevE.95.052303|pmid=28618550|arxiv=1703.05413|bibcode=2017PhRvE..95e2303K}}</ref><math display="block">w(n)=\begin{cases}

\frac{\mathbb E [k]}{n-1} u_1^{*n}(n-2),& n>1, \\

\frac{\mathbb E [k]}{n-1} u_1^{*n}(n-2),& n>1, \\

u(0) & n=1,

u(0) & n=1.

\end{cases}</math>其中 <math>u(k)</math> 表示度分布且 <math>u_1(k)=\frac{(k+1)u(k+1)}{\mathbb E[k]}</math>。 通过随机移除临界比例<math>p_c</math>的边，可以摧毁超大连通分量。这个过程叫做 [[渗流理论|随机网络的渗流]]。当度分布的二阶矩是有限的，即<math display="inline">\mathbb E [k^2]<\infty</math> 时，这个边数的临界比例为 <ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2018-01-01|title=Analytic results on the polymerisation random graph model|journal=Journal of Mathematical Chemistry|language=en|volume=56|issue=1|pages=140–157|doi=10.1007/s10910-017-0785-1|issn=0259-9791|doi-access=free}}</ref> <math>p_c=1-\frac{\mathbb E[k]}{ \mathbb E [k^2] - \mathbb E[k]}</math> ，且超大连通分量中 [[平均路径长度|顶点与顶点间的平均距离]] <math>l</math> 的大小和网络的总规模呈对数比例， <math>l = O(\log N) </math>.<ref name=":1" />。

\end{cases}</math>其中 <math>u(k)</math> 表示度分布且 <math>u_1(k)=\frac{(k+1)u(k+1)}{\mathbb E[k]}</math>。 通过随机移除临界比例<math>p_c</math>的边，可以摧毁超大连通分量。这个过程叫做 [[渗流理论|随机网络的渗流]]。当度分布的二阶矩是有限的，即<math display="inline">\mathbb E [k^2]<\infty</math> 时，这个边数的临界比例为 <ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2018-01-01|title=Analytic results on the polymerisation random graph model|journal=Journal of Mathematical Chemistry|language=en|volume=56|issue=1|pages=140–157|doi=10.1007/s10910-017-0785-1|issn=0259-9791|doi-access=free}}</ref> <math>p_c=1-\frac{\mathbb E[k]}{ \mathbb E [k^2] - \mathbb E[k]}</math> ，且超大连通分量中 [[平均路径长度|顶点与顶点间的平均距离]] <math>l</math> 的大小和网络的总规模呈对数比例， <math>l = O(\log N) </math>.<ref name=":1" />。

\mathbb{E}[k_\text{in}^2]  

\mathbb{E}[k_\text{in}^2]  

+\mathbb{E}[k_\text{in}^2] \mathbb{E}[k_\text{out}^2]  

+\mathbb{E}[k_\text{in}^2] \mathbb{E}[k_\text{out}^2]  

  - \mathbb{E}[k_\text{in} k_\text{out}]^2 >0.</math>注意 <math display="inline">\mathbb E [k_\text{in}]</math> 和 <math display="inline">\mathbb E [k_\text{out}]</math> 是相等的，因此在后面的不等式中二者可交换。对于图中任意一个节点，它属于大小为<math>n</math>的子图的概率由下式给出：（入分量） <ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2017-11-02|title=Finite connected components in infinite directed and multiplex networks with arbitrary degree distributions|journal=Physical Review E|volume=96|issue=5|pages=052304|doi=10.1103/PhysRevE.96.052304|pmid=29347790|arxiv=1709.04283|bibcode=2017PhRvE..96e2304K}}</ref><math display="block">h_\text{in}(n)=\frac{\mathbb E[k_{in}]}{n-1} \tilde u_\text{in}^{*n}(n-2),  \;n>1, \; \tilde u_\text{in}=\frac{k_\text{in}+1}{\mathbb E[k_\text{in}]}\sum\limits_{k_\text{out}\geq 0}u(k_\text{in}+1,k_\text{out}) </math>，

  - \mathbb{E}[k_\text{in} k_\text{out}]^2 >0.</math>注意 <math display="inline">\mathbb E [k_\text{in}]</math> 和 <math display="inline">\mathbb E [k_\text{out}]</math> 是相等的，因此在后面的不等式中二者可交换。对于图中任意一个节点，它属于大小为<math>n</math>的子图的概率由下式给出：（入分量） <ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2017-11-02|title=Finite connected components in infinite directed and multiplex networks with arbitrary degree distributions|journal=Physical Review E|volume=96|issue=5|pages=052304|doi=10.1103/PhysRevE.96.052304|pmid=29347790|arxiv=1709.04283|bibcode=2017PhRvE..96e2304K}}</ref><math display="block">h_\text{in}(n)=\frac{\mathbb E[k_{in}]}{n-1} \tilde u_\text{in}^{*n}(n-2),  \;n>1, \; \tilde u_\text{in}=\frac{k_\text{in}+1}{\mathbb E[k_\text{in}]}\sum\limits_{k_\text{out}\geq 0}u(k_\text{in}+1,k_\text{out}) </math>，（出分量） <math>h_\text{out}(n)=\frac{\mathbb E[k_\text{out}]}{n-1} \tilde u_\text{out}^{*n}(n-2),  \;n>1, \;\tilde u_\text{out}=\frac{k_\text{out}+1}{\mathbbE[k_\text{out}]}\sum\limits_{k_\text{in}\geq0}u(k_\text{in},k_\text{out}+1) </math>。

=== Watts–Strogatz 小世界模型 ===

=== Watts–Strogatz 小世界模型 ===

当包括Erdős Rényi随机图模型和一些小世界网络在内的许多模型的直径D正比于log N时，BA模型表现为D~loglogN（超小世界）。<ref>{{cite journal|last=Cohen|first=R. |title=Scale-free networks are ultrasmall|journal=Phys. Rev. Lett.|year=2003|volume=90|pages=058701|url=http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Scale-free+networks+are+ultrasmall&year=*&match=all|doi=10.1103/PhysRevLett.90.058701|pmid=12633404|first2=S.|last2=Havlin|issue=5|bibcode=2003PhRvL..90e8701C |arxiv=cond-mat/0205476}}</ref> 注意，平均路径长度随N的变化和直径相同。

当包括Erdős Rényi随机图模型和一些小世界网络在内的许多模型的直径D正比于log N时，BA模型表现为D~loglogN（超小世界）。<ref>{{cite journal|last=Cohen|first=R. |title=Scale-free networks are ultrasmall|journal=Phys. Rev. Lett.|year=2003|volume=90|pages=058701|url=http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Scale-free+networks+are+ultrasmall&year=*&match=all|doi=10.1103/PhysRevLett.90.058701|pmid=12633404|first2=S.|last2=Havlin|issue=5|bibcode=2003PhRvL..90e8701C |arxiv=cond-mat/0205476}}</ref> 注意，平均路径长度随N的变化和直径相同。

===中介驱动依附 MDA模型===

===中介驱动依附 MDA模型===

然而，当<math>m=1</math> 时，它描述了赢者通吃的机制，因为我们可以发现，几乎<math>99\%</math> 的节点的度仅为1，而某一个节点的度超级大。当<math>m</math>的值增加时，超级富人和穷人之间的差距减小；当<math>m>14</math>时，从赢者通吃机制转变为富人更富机制。

然而，当<math>m=1</math> 时，它描述了赢者通吃的机制，因为我们可以发现，几乎<math>99\%</math> 的节点的度仅为1，而某一个节点的度超级大。当<math>m</math>的值增加时，超级富人和穷人之间的差距减小；当<math>m>14</math>时，从赢者通吃机制转变为富人更富机制。

=== 适应度模型 ===

=== 适应度模型 ===

SIR模型是预测全球传染病在感染人群中传播的最著名的算法之一。

SIR模型是预测全球传染病在感染人群中传播的最著名的算法之一。

=====易感人群=====

=====易感人群=====

跟踪人群中易感人数随时间的变化：

跟踪人群中易感人数随时间的变化：

: <math>\Delta S = \beta \times S {1\over N} \, \Delta t</math>

: <math>\Delta S = \beta \times S {1\over N} \, \Delta t</math>

=====从感染到康复=====

=====从感染到康复=====

从另一个角度来看:

从另一个角度来看:

: <math>R(A) = \sum {R_B\over B_\text{(outlinks)}} + \cdots + {R_n \over n_\text{(outlinks)}}</math>

: <math>R(A) = \sum {R_B\over B_\text{(outlinks)}} + \cdots + {R_n \over n_\text{(outlinks)}}</math>

===中心性度量===

===中心性度量===