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第93行： − ==协同学的数学框架== − − ===变量选择=== − 在许多情况下，例如激光物理学，非线性量子光学，等离子物理学，变量是电场和磁场强度以及原子量，例如偶极矩和原子能级的占据数。在许多情况下，使用介观方法，其中将许多原子或分子集中到一个体积元素中，该体积元素足够大，可以使用平均方法，但又足够小，可以适当地覆盖局部不同部分的时空变化。这样的局部平均值例如人口密度或物质密度，局部通量等可以在大多数领域中用作变量。还可以将诸如受试者经历的疼痛量之类的估计量用作变量。 − − − ===运动方程=== − 动力学由所考虑的变量的演化方程式描述，即相关变量的时间变化由系统的当前状态确定。通常，这些方程是包含Îto或Stratonovich类型波动的随机，非线性，偏微分或积分微分方程。通常，它们要么源于消除系统与外部油藏的耦合，要么源于消除内部变量。由此也可以考虑用于系统与外部的耦合的术语，例如通入系统的通量或能量耗散。 − − − ===解法=== − 当然，还必须考虑初始条件和边界条件的演化方程的一般解是不可能的。但是，以下技术在协同作用的整个范围内都非常成功：对于给定的控制参数值或一组控制参数，我们从已知吸引子或可能接近吸引子的假设开始。这可能是定点吸引子，极限环吸引子，圆环或混乱吸引子。 − − 然后，当一个或多个控制参数发生变化时，便会检查解决方案的稳定性，这在Synergetics中使用的常规方法是通过线性稳定性理论来完成的。根据谱理论，线性稳定性问题的解本质上是指数性质的。呈指数增长或中性的解表示“不稳定模式”。在完全非线性的处理中，它们的幅度或相位成为阶跃参数，这也考虑了波动。然后将运动方程式转换为这些新变量，定义阶数参数的振幅和相位以及仍然稳定的模式。然后，考虑到波动，消除了阻尼（稳定）模式（从动原理）。所得的阶次参数方程通常是低维的，属于Langevin方程类型，但是具有非线性。它们可以被转换成福克-普朗克方程。 − − ==序参量概念== − Essential in synergetics is the order-parameter concept which was originally introduced in the [[Ginzburg–Landau theory]] in order to describe [[phase transition|phase-transitions]] in thermodynamics. The order parameter concept is generalized by Haken to the "enslaving-principle" saying that the dynamics of fast-relaxing (stable) modes is completely determined by the 'slow' dynamics of as a rule only a few 'order-parameters' (unstable modes). The order parameters can be interpreted as the amplitudes of the unstable modes determining the macroscopic pattern. − − − 序参量的概念是协同学的核心。这个概念最初是在[[Ginzburg-Landau理论]]中为了描述热力学中[[相变]]而引入的。哈肯将序参量概念概括为“奴役原理”，即快速释放(稳定)模态的动力学完全被由少数“有序参量”（不稳定模态）构成的“慢”动力学所决定。可以把有序参量理解为决定宏观斑图的不稳定模态振幅。 − − − As a consequence, self-organization means an enormous reduction of [[Degrees of freedom (physics and chemistry)|degrees of freedom]] (entropy) of the system which macroscopically reveals an increase of 'order' (pattern-formation). This far-reaching macroscopic order is independent of the details of the microscopic interactions of the subsystems. This supposedly explains the [[self-organization]] of patterns in so many different systems in physics, chemistry and biology. − − − 因此，自我组织意味着系统[[自由度（物理和化学）]](熵)的显著减少，宏观上表现为“秩序”(斑图形成)的增加。这种广泛的宏观秩序独立于子系统之间微观相互作用细节。这可能解释了物理、化学和生物学方面许多不同系统中斑图的[[自组织]]现象。
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协同学与其他学科有很多联系，例如复杂性理论（目前至少可能是其最连贯的部分），动力学系统理论，分叉理论，中心流形理论，混沌理论，巨灾理论，随机过程，包括非线性Langevin方程，Fokker-Planck方程，主方程。与混沌理论和突变理论的联系尤其是通过阶数参数的概念和从动原理来建立的，根据这种理论，即使是复杂系统，动力学也几乎由不稳定性控制，几乎不受变量的影响。
协同学与其他学科有很多联系，例如复杂性理论（目前至少可能是其最连贯的部分），动力学系统理论，分叉理论，中心流形理论，混沌理论，巨灾理论，随机过程，包括非线性Langevin方程，Fokker-Planck方程，主方程。与混沌理论和突变理论的联系尤其是通过阶数参数的概念和从动原理来建立的，根据这种理论，即使是复杂系统，动力学也几乎由不稳定性控制，几乎不受变量的影响。
==协同学的数学框架==
===变量选择===
在许多情况下，例如激光物理学，非线性量子光学，等离子物理学，变量是电场和磁场强度以及原子量，例如偶极矩和原子能级的占据数。在许多情况下，使用介观方法，其中将许多原子或分子集中到一个体积元素中，该体积元素足够大，可以使用平均方法，但又足够小，可以适当地覆盖局部不同部分的时空变化。这样的局部平均值例如人口密度或物质密度，局部通量等可以在大多数领域中用作变量。还可以将诸如受试者经历的疼痛量之类的估计量用作变量。
===运动方程===
动力学由所考虑的变量的演化方程式描述，即相关变量的时间变化由系统的当前状态确定。通常，这些方程是包含Îto或Stratonovich类型波动的随机，非线性，偏微分或积分微分方程。通常，它们要么源于消除系统与外部油藏的耦合，要么源于消除内部变量。由此也可以考虑用于系统与外部的耦合的术语，例如通入系统的通量或能量耗散。
===解法===
当然，还必须考虑初始条件和边界条件的演化方程的一般解是不可能的。但是，以下技术在协同作用的整个范围内都非常成功：对于给定的控制参数值或一组控制参数，我们从已知吸引子或可能接近吸引子的假设开始。这可能是定点吸引子，极限环吸引子，圆环或混乱吸引子。
然后，当一个或多个控制参数发生变化时，便会检查解决方案的稳定性，这在Synergetics中使用的常规方法是通过线性稳定性理论来完成的。根据谱理论，线性稳定性问题的解本质上是指数性质的。呈指数增长或中性的解表示“不稳定模式”。在完全非线性的处理中，它们的幅度或相位成为阶跃参数，这也考虑了波动。然后将运动方程式转换为这些新变量，定义阶数参数的振幅和相位以及仍然稳定的模式。然后，考虑到波动，消除了阻尼（稳定）模式（从动原理）。所得的阶次参数方程通常是低维的，属于Langevin方程类型，但是具有非线性。它们可以被转换成福克-普朗克方程。
==序参量概念==
Essential in synergetics is the order-parameter concept which was originally introduced in the [[Ginzburg–Landau theory]] in order to describe [[phase transition|phase-transitions]] in thermodynamics. The order parameter concept is generalized by Haken to the "enslaving-principle" saying that the dynamics of fast-relaxing (stable) modes is completely determined by the 'slow' dynamics of as a rule only a few 'order-parameters' (unstable modes). The order parameters can be interpreted as the amplitudes of the unstable modes determining the macroscopic pattern.
序参量的概念是协同学的核心。这个概念最初是在[[Ginzburg-Landau理论]]中为了描述热力学中[[相变]]而引入的。哈肯将序参量概念概括为“奴役原理”，即快速释放(稳定)模态的动力学完全被由少数“有序参量”（不稳定模态）构成的“慢”动力学所决定。可以把有序参量理解为决定宏观斑图的不稳定模态振幅。
As a consequence, self-organization means an enormous reduction of [[Degrees of freedom (physics and chemistry)|degrees of freedom]] (entropy) of the system which macroscopically reveals an increase of 'order' (pattern-formation). This far-reaching macroscopic order is independent of the details of the microscopic interactions of the subsystems. This supposedly explains the [[self-organization]] of patterns in so many different systems in physics, chemistry and biology.
因此，自我组织意味着系统[[自由度（物理和化学）]](熵)的显著减少，宏观上表现为“秩序”(斑图形成)的增加。这种广泛的宏观秩序独立于子系统之间微观相互作用细节。这可能解释了物理、化学和生物学方面许多不同系统中斑图的[[自组织]]现象。
==协同学的众多应用==
==协同学的众多应用==
'''神经科学'''：与感觉运动功能的相变有关的大脑活动模式，不稳定性和转换，
'''神经科学'''：与感觉运动功能的相变有关的大脑活动模式，不稳定性和转换，
==参见==
==参见==