豪斯多夫维数 Hausdorff dimension

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非整数维度示例:前四个Koch 曲线的迭代,在每次迭代后,所有原始线段都被替换为四个,每个自相似的复制是原始线段长度的1 / 3。豪斯多夫维数的一个建模是使用比例因子(3)和自相似对象的数量(4)来计算维度 D,在第一次迭代后为 D = (log N)/(log S) = (log 4)/(log 3) ≈ 1.26.[1] 也就是说,单点的豪斯多夫维数为零,线段为1,正方形为2,立方体为3时,但对于分形,对象可以有一个非整数维度。


在数学中,豪斯多夫维数 Hausdorff dimension是一种粗糙度的度量单位,或者更确切地说,分形维数,是由数学家 Felix Hausdorff 在1918年首次提出的。[2]例如,单点的豪斯多夫维数为零,线段为1,正方形为2,立方体为3。也就是说,对于定义了一个光滑形状或一个有少数几个角的形状---- 传统几何学和科学的形状---- 的点集来说,豪斯多夫维数是一个整数,符合通常的维度意义,也称为拓扑维度。然而,还有一些公式允许计算其他不太简单的对象的维数,其中仅仅根据它们的标度和自相似特性,就可以得出结论: 特定的对象——包括分形——具有非整数的 Hausdorff 维数。由于Abram Samoilovitch Besicovitch的重大技术进步,允许计算高度不规则或“粗糙”集的维度,这个维度通常也被称为Hausdorff-Besicovitch 维度


更具体地说,豪斯多夫维数是一个与给定集合相关联的更进一步的维数,其中定义了该集合所有成员之间的距离。这样的集合称为度量空间。维数是从扩展的实数,[math]\displaystyle{ \overline{\mathbb{R}} }[/math],而不是更直观的维数概念(它不与一般的度量空间相关联,只取非负整数的值)。


用数学术语来说,豪斯多夫维数概括了实向量空间维数的概念。也就是说,n 维内积空间的豪斯多夫维数等于 n。 这就是早期假设的基础,一个点的豪斯多夫维数是零,一条线是一等等,不规则集可以有非整数的豪斯多夫维数。例如,右边所示的 Koch 雪花是由一个正三角形构成的; 在每次迭代中,它的组成线段被分成单位长度的3段,新创建的中间线段被用作一个指向外部的新正三角形的基础,然后人们删除这个基础线段用来保留单位长度4的迭代中的最终对象。[3]也就是说,在第一次迭代之后,每个原始线段都被替换为 N=4,其中每个自相似拷贝的长度是原始线段的1/S = 1/3 。换句话说,我们取一个欧几里得维数D的物体,在每个方向上将其线性比例减少1/3,使其长度增加到N=SD[4]这个方程很容易求解为 D,产生出现在图形中的对数(或自然对数)的比率,并给出——在 Koch 和其他分形情况下——这些对象的非整数维数。


豪斯多夫维数是更简单但通常等价的计盒维数 box-counting闵可夫斯基维数 Minkowski-Bouligand的继承者。


概念

几何对象X的尺寸的直观概念是指需要多少个独立参数才能找到一个独特的点。但是,任何由两个参数指定的点都可以由一个参数指定,因为实平面的基数等于实线的基数(这可以通过交织两个数字以产生一个编码相同信息的单个数字看到)。空间填充曲线 space-filling curve的例子表明,可以将实线完美和连续地映射到实平面(把一个实数转换成一对实数,从而覆盖所有实数对),由此一维对象完全填充了一个高维对象。


每条空间填充曲线都会多次击中某些点,且不存在连续的逆。将二维以连续和连续可逆的方式映射到一维是不可能的。拓扑维度 topological dimension,也被称为“Lebesgue覆盖维数”,解释了为什么。如果在X的每个小开球覆盖中,至少有一个点 n + 1个球重叠,这个维度是 n。例如,当用短的开区间覆盖一条线时,某些点必须被覆盖两次,给出维数n = 1。


但是,拓扑维度是对空间局部尺寸(点附近的尺寸)的一个非常粗略的度量。一条几乎是空间填充的曲线仍然可以有一维拓扑,即使它填充了一个区域的大部分面积。分形具有整数的拓扑维数,但就其所占的空间量而言,它看起来像一个更高维的空间。


豪斯多夫维数测量一个空间的局部大小时,会考虑到点之间距离(度量)。考虑半径最大为r的球数 N (r) ,需要完全覆盖 X。当r很小时,N(r)以1/r 的多项式增长。对于一个表现足够好的 X,豪斯多夫维数是唯一的数d,这样当r趋近于零时, N(r) 增长为1/rd 。更确切地说,这定义了盒子计数维度,当值d是不足以覆盖空间的增长率和过度充裕的增长率之间的临界边界时,它等于豪斯多夫维数。


对于光滑的形状,或者有少量棱角的形状,传统几何和科学的形状,豪斯多夫维数是一个整数,与拓扑维度一致。但是伯努瓦·曼德布洛特 Benoit Mandelbrot观察到分形——具有非整数豪斯多夫维数的集合---- 在自然界中随处可见。他观察到,我们周围大多数粗糙形状的理想化不是光滑的理想化形状,而是分形理想化形状:


Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line.

云不是球体,山不是锥体,海岸线不是圆圈,树皮不平滑,闪电也不是直线运动。[5]


对于自然界中出现的分形,豪斯多夫维数和盒计数维数是一致的。封装尺寸是另一个类似的概念,它为许多形状提供相同的值,但是在所有这些尺寸不同的情况,都做了很好的说明。

形式化定义

豪斯多夫集 Hausdorff content

X是度量空间。若SXd ∈ [0, ∞) ,则 Sd维无限 豪斯多夫集定义为


[math]\displaystyle{ C_H^d(S):=\inf\Bigl\{\sum_i r_i^d:\text{ there is a cover of } S\text{ by balls with radii }r_i\gt 0\Bigr\}. }[/math]


换句话说,[math]\displaystyle{ C_H^d(S) }[/math] 是数字集合[math]\displaystyle{ \delta \geq 0 }[/math]的下确界,使得在 i ∈&nbsp中存在一些球集合 [math]\displaystyle{ \{B(x_i,r_i):i\in I\} }[/math] i 包含 s,对于每个 ri > 0 满足 i 中的和[math]\displaystyle{ \sum_{i\in I} r_i^d\lt \delta }[/math] (在这里,我们使用inf Ø = ∞ 的标准约定)。


豪斯多夫分形测量 Hausdorff measurement

豪斯多夫外测度不同于无界的豪斯多夫,因为我们不考虑 s 的所有可能,我们看到当球的大小变为零时会发生什么。对于 [math]\displaystyle{ d \geq 0 }[/math],我们定义了 Sd维豪斯多夫Hausdorff 外测度为

[math]\displaystyle{ \mathcal{H}^d(S):=\lim_{r \to 0} \inf\Bigl\{\sum_i r_i^d:\text{ there is a cover of } S\text{ by balls with radii } 0 \lt r_i \lt r\Bigr\}. }[/math]


豪斯多夫维数 Hausdorff dimension

X的豪斯多夫维数定义为


[math]\displaystyle{ \dim_{\operatorname{H}}(X):=\inf\{d\ge 0: \mathcal{H}^d(X)=0\}. }[/math]


等价地,dim H(X)可定义为 d ∈ [0, ∞) 集的下确界,使得Xd-维 豪斯多夫测度 为零。这与 d ∈ [0, ∞)的集合的上确界相同,因此X的 d 维豪斯多夫测度是无限的(除非后一个集合 d 是空的,豪斯多夫维数为零)。


实例

进一步的分形维数的例子,进一步的分形维数的例子是谢尔宾斯基三角形,它是一个豪斯多夫维数为log(3)/log(2)≈1.58.[4]的物体
  • 可数集拥有豪斯多夫维数0。[6]
  • 欧几里得空间 ℝn 有豪斯多夫维数 n,循环S1 拥有豪斯多夫维数1.[6]
  • 分形一般是那些豪斯多夫维数直接超过其拓扑维数的空间。例如康托尔集是一个o维拓扑空间,由两个自己复制而成,每一个复制品都是原来的三分之一,因此它的豪斯多夫维数是 ln(2)/ln(3) ≈ 0.63。[7]一个谢尔宾斯基三角 Recurrence relation是他自身三个复制的组合。每一个是原来的 1/2,它的豪斯多夫维数ln(3)/ln(2) ≈ 1.58。[1]在递归算法中解决递归关系时,这些豪斯多夫维数与算法分析主定理的临界指标相联系。
  • 空间填充曲线拥有和他们填充空间同样的豪斯多夫维数,如皮亚诺曲线 Peano curve
  • 布朗运动在2维及以上的轨迹被推测为豪斯多夫2维。[8]
英国海岸有多长?统计自相似性和分数维数
  • Lewis Fry Richardson已经通过豪斯多夫维数去测量了很多海岸线。它的结果涵盖从1.02的南非海岸线到1.25的大英帝国西海岸模型。[5]


豪斯多夫维数特性 Properties of Hausdorff dimension

豪斯多夫维数和归纳维数 Hausdorff dimension and inductive dimension

X 是任意可分度量空间。对于X 有一个递归定义的归纳维数拓扑概念。它总是一个整数(或 + ∞) ,记为dimind(X)。


定理:假设X 是非空的, 那么


[math]\displaystyle{ \dim_{\mathrm{Haus}}(X) \geq \dim_{\operatorname{ind}}(X). }[/math]

此外,


[math]\displaystyle{ \inf_Y \dim_{\operatorname{Haus}}(Y) =\dim_{\operatorname{ind}}(X), }[/math]

其中Y是度量空间同胚到 X的范围。换句话说, XY具有相同的基本点集,Y的度量dY 拓扑等价于dX


这些结果最初是由Edward Szpilrajn(1907–1976)建立的, 参见 Hurewicz and Wallman, Chapter VII.第七章。


豪斯多夫维数和闵可夫斯基维度 Hausdorff dimension and Minkowski dimension

闵可夫斯基维数与豪斯多夫维数相似,至少和它一样大,而且在许多情况下是相等的。然而,[0,1]中有理点集的豪斯多夫维数为0,闵可夫斯基维数为1。还有一些紧集的闵可夫斯基维数严格大于豪斯多夫维数。


豪斯多夫维度和弗洛斯曼测度 Hausdorff dimensions and Frostman measures

如果在度量空间 X 的 Borel 子集上定义一个测度 μ,使得μ(X) > 0 和μ(B(x, r)) ≤ rs,对于某个常数 s > 0 和 X 中的每个球 B(x, r) 成立,则 dimHaus(X) ≥ s 。 部分逆向转换由弗洛斯曼引理定义。


联合和产品下的行为

如果 [math]\displaystyle{ X=\bigcup_{i\in I}X_i }[/math] 是一个有限或可数的联合,则


[math]\displaystyle{ \dim_{\operatorname{Haus}}(X) =\sup_{i\in I} \dim_{\operatorname{Haus}}(X_i). }[/math]


这可以直接从定义得到验证。


如果 XY是非空度量空间,那么它们乘积的豪斯多夫维数满足[9]


[math]\displaystyle{ \dim_{\operatorname{Haus}}(X\times Y)\ge \dim_{\operatorname{Haus}}(X)+ \dim_{\operatorname{Haus}}(Y). }[/math]


这种不平等可以是严格的。有可能找到两个维数为0的集合,其乘积的维数为1。[10]相反,我们知道当XYRn的 Borel 子集时, X × Y的豪斯多夫维数从上面以 X的豪斯多夫维数加上 Y的上填充维数为界。Mattila (1995)曾就这些情况进行了讨论。


自相似集合 Self-similar sets

许多由自相似条件定义的集合具有可以显式确定的维数。粗略地说,如果集合E是集值ψ变换的不动点,即ψ(E) = E, 则它是自相似的,尽管下面给出了确切的定义。


定理:假设


[math]\displaystyle{ \psi_i: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^n, \quad i=1, \ldots , m }[/math]


Rn上的压缩常数rj'< 1的压缩映射。则有一个唯一的非空紧集A


[math]\displaystyle{ A = \bigcup_{i=1}^m \psi_i (A). }[/math]



这个定理来源于 Stefan Banach 的压缩映射不动点定理,该定理应用于 具有豪斯多夫距离的Rn 的非空紧子集的完整度量空间。[11]


开集条件 The open set condition

为了确定自相似集A 的维数(在某些情况下) ,我们需要一个关于收缩序列的称为开集条件(OSC)的技术条件ψi


有一个相对紧的开集V


[math]\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^m\psi_i (V) \subseteq V, }[/math]


左边并集的集合成对不相交。


开集条件是保证图像ψi(V) 不重叠“太多”的分离条件。


定理假设开集条件成立,并且每个ψi 是一个相似度,即等距和某个点周围的膨胀的组合。。那么唯一的不动点是Hausdorff维数为 s 的集合,其中 ss [12]的唯一解


[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^m r_i^s = 1. }[/math]


相似物的收缩系数就是膨胀的大小。


我们可以使用这个定理来计算谢尔宾斯基三角形的豪斯多夫维数(或者有时候叫做谢尔宾斯基垫圈)。考虑R2 平面上的三个非共线点,a1a2a3,让ψi是围绕着ai比率1/2的膨胀。对应映射的唯一非空不动点是一个谢尔宾斯基垫圈,其维数s是对应映射的唯一解


[math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^s+\left(\frac{1}{2}\right)^s+\left(\frac{1}{2}\right)^s = 3 \left(\frac{1}{2}\right)^s =1. }[/math]


取上述方程两边的自然对数,我们可以求出 s,即: s = ln(3)/ln(2)。该密封垫具有自相似性,满足 OSC 要求。一般来说,集合 E是一个映射的不动点


[math]\displaystyle{ A \mapsto \psi(A) = \bigcup_{i=1}^m \psi_i(A) }[/math]


是自相似的,当且仅当


[math]\displaystyle{ H^s\left(\psi_i(E) \cap \psi_j(E)\right) =0, }[/math]


其中 sE的豪斯多夫维数, Hs 表示 豪斯多夫测度。对于谢尔宾斯基垫圈(交叉点就是点)来说,这一点很明显,但更普遍的情况是:


定理:在与前一定理相同的条件下,其唯一不动点 ψ 是自相似的。


参阅

  • 豪斯多夫分形维数列表:确定性分形与随机和自然分形的示例。
  • Assouad维数,其他被球覆盖方式定义的分形维数,例如豪斯多夫维数。


参考文献

  1. 1.0 1.1 。MacGregor Campbell, 2013, "5.6 Scaling and the Hausdorff Dimension," 在 Annenberg Learner:MATHematics illuminated, 参见 [1], accessed 5 March 2015.
  2. Gneiting, Tilmann; Ševčíková, Hana; Percival, Donald B. (2012). "Estimators of Fractal Dimension: Assessing the Roughness of Time Series and Spatial Data". Statistical Science. 27 (2): 247–277. arXiv:1101.1444. doi:10.1214/11-STS370.
  3. Larry Riddle, 2014, "Classic Iterated Function Systems: Koch Snowflake", Agnes Scott College e-Academy (online), see [2], accessed 5 March 2015.
  4. 4.0 4.1 Keith Clayton, 1996, "Fractals and the Fractal Dimension," Basic Concepts in Nonlinear Dynamics and Chaos (workshop), Society for Chaos Theory in Psychology and the Life Sciences annual meeting, June 28, 1996, Berkeley, California, see [3], accessed 5 March 2015.
  5. 5.0 5.1 Mandelbrot, Benoît (1982). The Fractal Geometry of Nature. Lecture notes in mathematics 1358. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1186-9. https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno. 
  6. 6.0 6.1 Schleicher, Dierk (June 2007). "Hausdorff Dimension, Its Properties, and Its Surprises". The American Mathematical Monthly (in English). 114 (6): 509–528. arXiv:math/0505099. doi:10.1080/00029890.2007.11920440. ISSN 0002-9890.
  7. Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (2nd ed.). John Wiley and Sons. 
  8. Morters, Peres (2010). Brownian Motion. Cambridge University Press. 
  9. Marstrand, J. M. (1954). "The dimension of Cartesian product sets". Proc. Cambridge Philos. Soc. 50 (3): 198–202. Bibcode:1954PCPS...50..198M. doi:10.1017/S0305004100029236.
  10. Falconer, Kenneth J. (2003). Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. 
  11. Falconer, K. J. (1985). "Theorem 8.3". The Geometry of Fractal Sets. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. 
  12. Hutchinson, John E. (1981). "Fractals and self similarity". Indiana Univ. Math. J. 30 (5): 713–747. doi:10.1512/iumj.1981.30.30055.


拓展阅读

  • E. Szpilrajn (1937). "La dimension et la mesure". Fundamenta Mathematicae. 28: 81–9.
  • Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65595-8. 
  • A. S. Besicovitch; H. D. Ursell (1937). "Sets of Fractional Dimensions". Journal of the London Mathematical Society. 12 (1): 18–25. doi:10.1112/jlms/s1-12.45.18.
  • Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (2nd ed.). John Wiley and Sons. 


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