Floquet 理论

在动力系统理论中，Floquet 理论（Floquet theory）是分析极限环稳定性的核心工具，适用于任意 [math]\displaystyle{ n }[/math] 维自治系统。其基本思想是对系统在极限环附近进行线性化，通过分析所得周期线性系统的单值矩阵特征值来判定极限环的横截稳定性。该理论以法国数学家 Gaston Floquet 命名。

理论框架

设系统 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{x}) }[/math] 存在一条周期为 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的极限环 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math]。对系统在 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] 附近线性化，得到线性变分方程：

[math]\displaystyle{ \dot{\boldsymbol{\xi}} = J(\mathbf{x}^*(t))\boldsymbol{\xi} }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ J(\mathbf{x}^*(t)) }[/math] 为系统在极限环上的雅可比矩阵，是以 [math]\displaystyle{ T }[/math] 为周期的矩阵函数，[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\xi}(t) }[/math] 为小扰动。

该线性系统在一个完整周期 [math]\displaystyle{ T }[/math] 内的基本解矩阵称为单值矩阵（monodromy matrix），记为 [math]\displaystyle{ M }[/math]。其特征值称为 Floquet 乘子（Floquet multipliers），又称特征乘子（characteristic multipliers）。

稳定性判据

对于 [math]\displaystyle{ n }[/math] 维系统，沿极限环切方向本身对应一个模恒为 1 的 Floquet 乘子，不计入横截稳定性分析。因此实际决定横截稳定性的乘子共有 [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] 个，其模决定了极限环的稳定性：

• 若所有 [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] 个乘子的模均小于 1，则极限环渐近稳定；
• 若存在模大于 1 的乘子，则极限环不稳定；
• 若存在模等于 1 的乘子（且其余均小于 1），则对应稳定性的临界情形，需进一步分析。

在二维情形下，[math]\displaystyle{ n-1=1 }[/math]，退化为单个特征乘子，对应庞加莱映射在不动点处的导数。

三维示例

考虑三维系统： [math]\displaystyle{ \begin{cases} \dot{x} = -y + x(1 - x^2 - y^2), \\ \dot{y} = x + y(1 - x^2 - y^2), \\ \dot{z} = -z. \end{cases} }[/math]

前两个方程在极坐标下化为 [math]\displaystyle{ \dot{r} = r(1-r^2) }[/math]、[math]\displaystyle{ \dot{\theta} = 1 }[/math]，第三个方程独立。系统在单位圆柱面 [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math] 上存在极限环：

[math]\displaystyle{ \Gamma: \quad x(t) = \cos t,\quad y(t) = \sin t,\quad z(t) = 0, \quad T = 2\pi }[/math]

对系统在 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] 附近线性化，变分方程的单值矩阵可分块对角化。沿 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] 方向（横截于极限环），特征乘子为：

[math]\displaystyle{ \mu_1 = e^{-4\pi} \approx 3.5 \times 10^{-6} }[/math]

沿 [math]\displaystyle{ z }[/math] 方向，特征乘子为：

[math]\displaystyle{ \mu_2 = e^{-2\pi} \approx 0.0019 }[/math]

由于 [math]\displaystyle{ |\mu_1| \lt 1 }[/math] 且 [math]\displaystyle{ |\mu_2| \lt 1 }[/math]，所有横截特征乘子的模均小于 1，故该极限环渐近稳定。

与庞加莱映射的关系

Floquet 乘子与庞加莱映射在概念上密切相关：庞加莱映射返回映射在不动点处线性化的特征值，恰好就是 Floquet 乘子。在二维情形下，两者直接等价；在高维情形下，Floquet 理论提供了更系统的计算框架。

与不变流形的关系

Floquet 乘子的模直接决定了极限环周围不变流形的结构：模小于 1 的乘子对应稳定流形 [math]\displaystyle{ W^s(\Gamma) }[/math] 的方向，模大于 1 的乘子对应不稳定流形 [math]\displaystyle{ W^u(\Gamma) }[/math] 的方向，模等于 1 的乘子对应中心流形 [math]\displaystyle{ W^c(\Gamma) }[/math] 的方向。