厄米矩阵

在数学中，厄米矩阵（或自伴随矩阵）是一种复方阵，它等于其自身的共轭转置矩阵。具体来说，对于任意指标i和j，矩阵中第i行第j列的元素等于第j行第i列元素的复共轭：

[math]\displaystyle{ A \text{ is Hermitian} \iff a_{ij}={\overline{a_{ji}}} }[/math]

用矩阵形式可以表示为：

[math]\displaystyle{ A \text{ is Hermitian} \iff A={\overline{A^{\mathsf{T}}}}. }[/math]

我们可以将厄米矩阵理解为实对称矩阵在复数域上的推广。

如果我们用[math]\displaystyle{ A^{\mathsf{H}} }[/math]来表示矩阵[math]\displaystyle{ A }[/math]的共轭转置，那么厄米性质可以简洁地写成：

[math]\displaystyle{ A \text{ is Hermitian} \iff A=A^{\mathsf{H}} }[/math]

厄米矩阵得名于数学家查尔斯·厄米（Charles Hermite）。他在1855年证明了这类矩阵与实对称矩阵具有相同的重要性质：它们的特征值总是实数。在数学文献中，我们经常看到其他等价的记号表示，如[math]\displaystyle{ A^{\mathsf{H}}=A^{\dagger}=A^{\ast} }[/math]。不过需要注意的是，在量子力学中，[math]\displaystyle{ A^{\ast} }[/math]通常仅表示复共轭，而不是共轭转置。