微分方程

通过求解热力学方程，我们建立了泵壳内传热的可视化模型。热量在内部产生并在边界冷却，从而为整体提供稳定的温度分布。

在数学上，微分方程 Differential Equation是可以将一个或多个函数及其导数相互关联的方程。^[1]在实际应用中，函数通常代表物理量，导数代表其变化率，而微分方程则定义了两者之间的关系。由于这种关系十分普遍，因此微分方程在包括工程学、物理学、经济学和生物学在内的许多学科中得到了广泛的应用。

微分方程的研究主要包括对微分方程解(满足每个方程的函数集)及其解的性质的研究。只有最简单的微分方程才能直接用公式求解；然而，有时无需精确计算便可以确定给定微分方程的解的许多性质。

一般地，当闭式解不存在时，可以用计算机求方程的近似解。动力系统理论着重于对由微分方程描述的系统进行定性分析。同时，现在已经得出了许多数值方法来计算给定精度下微分方程的解。

历史

微分方程是在牛顿和莱布尼茨发明微积分后才出现的。Isaac Newton 艾萨克·牛顿在他1671年的著作《无限的循环与系列 Method of Fluxions》的第二章^[2]中列出了三种微分方程:

[math]\displaystyle{ \begin{align} & \frac {dy}{dx} = f(x) \\[5pt] & \frac {dy}{dx} = f(x,y) \\[5pt] & x_1 \frac {\partial y}{\partial x_1} + x_2 \frac {\partial y}{\partial x_2} = y \end{align} }[/math]

在这些例子中， $y$ 是自变量 $x$ (或者是[math]\displaystyle{ x_1 }[/math] 和 [math]\displaystyle{ x_2 }[/math])的未知函数，并且 $f$ 是一个给定的函数。

他利用无穷级数来求解这些以及其他例子，并讨论了解的非唯一性。

雅可比·伯努利 Jacob Bernoulli在1695年提出了伯努利微分方程。^[3]这种方程是常微分方程 Ordinary Differential Equation的一种形式，

[math]\displaystyle{ y'+ P(x)y = Q(x)y^n\, }[/math]

莱布尼茨 Leibniz于第二年将方程简化从而得到了方程的解。^[4]

历史上，让·勒朗·达朗贝尔 Jean le Rond d'Alembert，欧拉 Leonhard Euler，丹尼尔·伯努利 Daniel Bernoulli和约瑟夫·路易斯·拉格朗日 Joseph-Louis Lagrange等都研究过弦（比如乐器的弦）振动问题。^[5]^[6]^[7]^[8] 1746年，达朗贝尔发现了一维波动方程，十年之内，欧拉又发现了三维波动方程。^[9]

欧拉-拉格朗日方程式 Euler–Lagrange equation是欧拉和拉格朗日在18世纪50年代结合他们对等时降线问题的研究而发明的。这是一个不考虑起始点的曲线求解问题，其中一个加权的粒子将在一个给定的时间内下降到一个固定的点。拉格朗日在1755年解决了这个问题，并将其寄给欧拉。二人都进一步发展了拉格朗日的方法并将其应用于力学，从而促使了拉格朗日力学的形成。

1822年，Joseph Fourier 傅立叶在《热的分析理论 Théorie analytique de la chaleur》中发表了他关于热流的研究成果，^[10]其中他以牛顿的冷却定律 Newton's law of cooling为基础进行推导，即两个相邻分子之间的热流与它们之间微小的温差成正比。这本书中包含了傅立叶关于热传导扩散的热方程式的建议。现在，每一个学习数学物理的学生都需要学习这类偏微分方程。

示例

在经典力学中，物体运动是由其不断随时间变化的位置和速度来描述的。这些变量的表达在牛顿定律中是动态的(给定位置、速度、加速度和作用在物体上的各种力) ，并以时间函数的形式给出了未知物体位置的微分方程。

在某些情况下，这种微分方程(称为运动方程)可以精确地求解。

使用微分方程来模拟现实世界问题的一个例子是仅考虑重力和空气阻力来确定球在空中落下的速度。球对地面的加速度是重力加速度减去由于空气阻力提供的加速度。重力被认为是常数，空气阻力可以被模拟为与球的速度成正比。这意味着球的加速度，也就是其速度的导数，取决于速度(而速度取决于时间)。找到时间的函数--速度--需要解决一个微分方程问题并验证其正确性。

微分方程的类型

微分方程可分为以下几种类型。除了描述方程本身的性质之外，微分方程的多种类型为我们选择何种解决方案提供了多种指导。常见的微分方程有: 常微分/偏微分方程、线性/非线性方程和齐次/非齐次方程。微分方程还有许多类型，以及许多在特定的情况下实用的其它性质和子类。

常微分方程

常微分方程 ordinary differential equation(ODE)是只含有一个实变量或复变量的未知函数，其导数以及此函数的一些方程。未知函数因变量(通常由 $y$ 表示)，其常常随 $x$ 的变化而变化。因此 $x$ 通常被称为方程式的自变量。“常微分方程”一词与偏微分方程一词相比，后者涉及一个以上的独立变量。

线性微分方程是指方程中未知函数及其导数都是线性的微分方程。关于这些方程的理论发展得很好，在多数情况下可以用积分来表示它们的解。

物理学中遇到的大多数常微分方程都是线性的。因此，大多数特殊函数可以定义为线性微分方程的解(见完整性函数)。

一般地，微分方程的解不能用解析解表示，而会在计算机上利用数值方法求解。

偏微分方程

偏微分方程 Partial Differential Equation(PDE)是一种包含多元函数及其偏导数的微分方程函数(这与处理单变量函数及其导数的常微分方程不同)。偏微分方程可用于描述涉及多元函数的问题求闭式解，或者用于创建相关的计算机模型。

偏微分方程可以用来描述自然界中各种各样的现象，如声音、热量、静电、电动力学、流体流动、弹性和量子力学等。这些看起来截然不同的物理现象其实都可以用相似的偏微分方程表达。正如常微分方程常被用于对一维动力系统进行建模一样，偏微分方程常被用于对多维系统进行建模。随机偏微分方程延伸了偏微分方程在模拟随机性上的应用。

非线性微分方程

非线性微分方程是微分方程的一种，但它不是关于未知函数及其导数的线性方程(这里不考虑函数本身的线性或非线性)。能够精确求解非线性微分方程的方法很少; 那些已有的方法通常依赖于方程具有某种特定的对称性。非线性微分方程在更长的时间段内表现出非常复杂的行为，具有混沌特性。即使非线性微分方程也有解的存在性、唯一性和可扩展性等基本问题以及初边值问题的适定性问题，但对其研究也是一个难题（可参考纳维-斯托克斯方程的存在性和光滑性)。然而，如果微分方程是一个有意义物理过程的正确表述，那么人们期望它有一个解析解。

线性微分方程经常作为非线性方程的近似形式出现。这些近似只有某些限制条件下才有效。例如，谐振子方程是非线性摆方程的近似这一情况只有对于小幅度振荡是有效的(见下文)。

方程的阶

微分方程的阶数是由它们的导数的最高阶决定的。只含有一阶导数的方程是一阶微分方程，含有二阶导数的方程是二阶微分方程，等等。描述自然现象的微分方程几乎总是只有一阶和二阶导数^[11]^[12]，但也有一些例外，例如薄膜方程，它是一个四阶偏微分方程。

示例

在第一组示例中，待求解的u是x的函数，c和ω是应该已知的常数。常微分方程和偏微分方程这两种广义分类下还要区分微分方程的线性和非线性，以及区分微分方程的齐次和非齐次。

非齐次一阶常系数常微分方程:

[math]\displaystyle{ \frac{du}{dx} = cu+x^2. }[/math]

齐次二阶线性常微分方程:

[math]\displaystyle{ \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0. }[/math]

用于描述简谐振动的齐次二阶常系数常系数微分方程:

[math]\displaystyle{ \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0. }[/math]

非齐次一阶非线性常微分方程:

[math]\displaystyle{ \frac{du}{dx} = u^2 + 4. }[/math]

用于描述摆长为L的钟摆运动的二阶非线性（因正弦函数产生）常微分方程:

[math]\displaystyle{ L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0. }[/math]

在下一组例子中，未知函数u依赖于两个变量x 和 t或者x和y。

齐次一阶线性偏微分方程:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0. }[/math]

齐次二阶线性常系数椭圆形偏微分方程，也称为拉普拉斯方程:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. }[/math]

齐次三阶非线性偏微分方程:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}. }[/math]

解的存在性

解微分方程不同于解代数方程。方程解的情况往往是不确定的，而且解是否唯一或是否存在也是值得关注的问题。

对于一阶初值问题，皮亚诺存在性定理给出了一组解存在的情况。给定的x-y平面上的任意点 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] ，定义矩形区域 [math]\displaystyle{ Z }[/math] ，如，[math]\displaystyle{ Z = [l,m]\times[n,p] }[/math] 而且 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] 是 [math]\displaystyle{ Z }[/math] 内部一点。如果我们给出一个微分方程 [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = g(x,y) }[/math] 和当[math]\displaystyle{ x=a }[/math]时[math]\displaystyle{ y=b }[/math]，如果[math]\displaystyle{ g(x,y) }[/math]和[math]\displaystyle{ \frac{\partial g}{\partial x} }[/math]在[math]\displaystyle{ Z }[/math]上是连续的，那么这个问题就有一个局部解。这个解在以 [math]\displaystyle{ a }[/math] 为中心的某些区间上存在，其可能不是唯一的。(其他结果请参见常微分方程。)

然而，这只能帮助我们解决一阶初始值问题。假设我们有一个n阶线性初始值问题:

[math]\displaystyle{ f_{n}(x)\frac{d^n y}{dx^n} + \cdots + f_{1}(x)\frac{d y}{dx} + f_{0}(x)y = g(x) }[/math]

其中有

[math]\displaystyle{ y(x_{0})=y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, y''(x_{0}) = y''_{0}, \cdots }[/math]

对于任意非零 [math]\displaystyle{ f_{n}(x) }[/math] ，如果[math]\displaystyle{ \{f_{0},f_{1},\cdots\} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ g }[/math]在某个包含[math]\displaystyle{ x_{0} }[/math]的区间上连续，则[math]\displaystyle{ y }[/math]是存在且唯一的。^[13]

与差分方程之间的联系

微分方程理论与差分方程理论密切相关。在差分方程理论中，坐标系中只假定存在离散值，计算中会涉及到未知函数或已知函数的值以及坐标附近的值。许多求微分方程数值解或研究微分方程性质的方法，都会涉及通过相应差分方程的解来逼近微分方程的解。

应用

微分方程的研究可以应用于许多领域，如理论数学、应用数学、物理学和工程学，它们都与各种类型的微分方程的性质有关。理论数学关注解的存在性和唯一性，而应用数学则强调求解方法的严格准确性。从天体运动到桥梁设计，再到神经元之间的相互作用，微分方程在几乎所有物理、技术或生物过程的建模中都扮演着重要的角色。用于解决实际问题的微分方程，不一定是直接可解的，如可能不存在闭式解。但我们可以用数值方法来近似得到方程的解。

许多物理和化学的基本定律都可以用微分方程来表示。在生物学和经济学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为。微分方程理论最初是与其起源并得到应用的科学一起发展起来的。然而，有时完全不同的科学领域，却可能产生相同的微分方程。当这种情况发生时，方程后面的数学理论可以被看作是不同现象背后的统一原则。例如，光和声在大气中的传播，或是池塘表面的水波的传播。所有这些过程都可以用相同的二阶偏微分方程来描述，即波动方程。我们把光和声音想象成与水波相似的形式。由约瑟夫·傅里叶提出的热传导的理论由另一个二阶偏微分方程——热方程所支配。事实证明，许多扩散过程，虽然看上去形式不同，但都可以同一个方程来描述;。例如，金融学中的布莱克-斯科尔斯方程就与热方程有关。

事实上，同一类型的微分方程可以应用于不同领域这样的现象屡见不鲜，这足以证明微分方程这一课题的重要性。参见已命名的微分方程列表。

参见

复微分方程
精确微分方程

泛函微分方程

初始条件

积分方程

求解常微分方程的数值方法

求解偏微分方程的数值方法
关于解的存在性和唯一性的皮卡德–林德洛夫定理
递推关系，也称为差分方程
抽象微分方程
微分方程组

参考文献

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↑ Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].
↑ Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum
↑ Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0
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↑ Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). "The Vibrating String Controversy". Am. J. Phys. 55 (1): 33–37. Bibcode:1987AmJPh..55...33W. doi:10.1119/1.15311.
↑ For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
↑ For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)
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拓展阅读

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Blanchard, P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Differential Equations. Thompson.

Boyce, W.; DiPrima, R.; Meade, D. (2017). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Wiley.

Coddington, E. A.; Levinson, N. (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill. https://archive.org/details/theoryofordinary00codd.

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Johnson, W. (1913). A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations. John Wiley and Sons. http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=abv5010.0001.001. In University of Michigan Historical Math Collection

Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F. (2003). Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd ed.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.