一维动力学 - 版本历史

何瑞杰：/* 模型定义 */

2026-01-29T12:55:38Z

模型定义

何瑞杰：/* 解的形式 */

2026-01-29T12:47:43Z

解的形式

何瑞杰：/* 奇异点分析 */

2026-01-29T12:47:12Z

奇异点分析

何瑞杰：/* 奇异点分析 */

2026-01-29T12:46:48Z

奇异点分析

何瑞杰：/* 数学形式 */

2026-01-29T12:45:55Z

数学形式

何瑞杰：/* 模型背景与动力学意义 */

2026-01-29T12:45:32Z

模型背景与动力学意义

何瑞杰：/* 模型定义 */

2026-01-29T12:42:28Z

模型定义

何瑞杰：/* 不动点分析 */

2026-01-29T12:40:46Z

不动点分析

何瑞杰：/* 不动点分析 */

2026-01-29T12:40:32Z

不动点分析

何瑞杰：/* 存在性与唯一性 */

2026-01-29T12:36:52Z

存在性与唯一性

@@ 第199行： / 第199行： @@
-考虑下图所示的 RC 电路，电阻大小为 <math>R</math>，电容量为 <math>C</math>。记左端输入电压为 <math>V_{\text{in}}</math>，电容器两端的电压 <math>V_{C}</math> 为输出电压，电路中的电流为 <math>I</math>。由于<math>I=\dot{Q}</math>电容器上的电荷量 <math>Q</math> 遵循下面的微分方程
+考虑下图所示的 RC 电路，电阻大小为 <math>R</math>，电容量为 <math>C</math>。记左端输入电压为 <math>V_{\text{in}}</math>，电容器两端的电压 <math>V_{C}</math> 为输出电压，电路中的电流为 <math>I</math>。由于<math>I=\dot{Q}</math>，电容器上的电荷量 <math>Q</math> 遵循下面的微分方程
 {{NumBlk|:|
 <math>

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 其中
-* <math>\gamma \approx [1-\left(\frac{1-\beta_L}{1-\beta_I}\right)\left(\frac{c_L}{1-c_L}\right)]/(1-\beta_I),</math>
+* <math>\gamma \approx [1-\left(\frac{1-\beta_L}{1-\beta_I}\right)\left(\frac{c_L}{1-c_L}\right)]/(1-\beta_I)</math>，
-* <math> c = \exp \left\{ \frac{1}{1-\beta_I} \left[ \ln \frac{(1-\beta_I)c_I}{(1-c_L)}\right] \left[ 1- \left(\frac{1-\beta_L}{1-\beta_I}\right)\left(\frac{c_L}{1-c_L}\right) \right] + \frac{\beta_{I}(1-\beta_L)}{(1-\beta_I)^2}\left(\frac{c_L}{1-c_L}\right) \right\}.</math>
+* <math> c = \exp \left\{ \frac{1}{1-\beta_I} \left[ \ln \frac{(1-\beta_I)c_I}{(1-c_L)}\right] \left[ 1- \left(\frac{1-\beta_L}{1-\beta_I}\right)\left(\frac{c_L}{1-c_L}\right) \right] + \frac{\beta_{I}(1-\beta_L)}{(1-\beta_I)^2}\left(\frac{c_L}{1-c_L}\right) \right\}</math>。
 ===不动点分析===

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	进一步分析可知，方程存在奇异点，即分母为0的情况，此时<math>\displaystyle\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} \to \infty</math>。下面我们对奇异点<math>A^*</math>展开分析。		进一步分析可知，方程存在奇异点，即分母为0的情况，此时<math>\displaystyle\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} \to \infty</math>。下面我们对奇异点<math>A^*</math>展开分析。

−	令分母<math>D(x) = 1-c_L\beta_LA^{\beta_L-1} = 0</math>，得到奇异点<math>A^*=\left(c_L\beta_L\right)^{1/(1-\beta_L)}</math>	+	令分母<math>D(x) = 1-c_L\beta_LA^{\beta_L-1} = 0</math>，得到奇异点<math>A^*=\left(c_L\beta_L\right)^{1/(1-\beta_L)}</math>。

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 ===奇异点分析===
-进一步分析可知，方程存在奇异点，即分母为0的情况，此时<math>\mathrm{d}A/\mathrm{d}t \to \infty</math>。下面我们对奇异点<math>A^*</math>展开分析。
+进一步分析可知，方程存在奇异点，即分母为0的情况，此时<math>\displaystyle\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} \to \infty</math>。下面我们对奇异点<math>A^*</math>展开分析。
 令分母<math>D(x) = 1-c_L\beta_LA^{\beta_L-1} = 0</math>，得到奇异点<math>A^*=\left(c_L\beta_L\right)^{1/(1-\beta_L)}</math>

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 * <math>c_L</math>和<math>\beta_L</math>代表资产和企业总债务<math>L</math>之间的[[幂律]]关系参数（<math>L = c_L A^{\beta_L}</math>）
-上式被称为企业普适生长方程（General growth equation)
+上式被称为企业普适生长方程（general growth equation)
 === 解的形式 ===

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 === 模型背景与动力学意义 ===
-'''[[逻辑斯谛方程]]'''（Logistic equation）是一类用于描述有限资源环境下种群增长的常[[微分方程]]模型。该方程由比利时数学家皮埃尔·弗朗索瓦·费赫尔胡斯特（Pierre-François Verhulst）于 1838 年提出，最初用于解释人口增长过程中由资源限制引起的自我[[抑制]]现象，被认为是一维[[动力系统]]方法在种群生物学中的早期且经典的应用实例<ref name="Verhulst1838">Verhulst, P.-F. (1838). "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement". ''Correspondance Mathématique et Physique''.</ref>。
+'''[[逻辑斯谛方程]]'''（logistic equation）是一类用于描述有限资源环境下种群增长的常[[微分方程]]模型。该方程由比利时数学家皮埃尔·弗朗索瓦·费赫尔胡斯特（Pierre-François Verhulst）于 1838 年提出，最初用于解释人口增长过程中由资源限制引起的自我[[抑制]]现象，被认为是一维[[动力系统]]方法在种群生物学中的早期且经典的应用实例<ref name="Verhulst1838">Verhulst, P.-F. (1838). "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement". ''Correspondance Mathématique et Physique''.</ref>。
 从[[动力学]]角度看，[[逻辑斯谛方程]]刻画了种群数量在规模较小时近似呈指数增长，而随着资源竞争加剧，增长速度逐渐减慢并最终趋向某一稳定上限（环境承载量）的典型过程。这种由[[正反馈]]与[[负反馈]]共同作用所产生的 S 型增长行为，使该模型成为理解[[非线性]][[反馈]]如何改变增长规律的入门范例，并在生态学、[[流行病学]]以及更一般的生物动力学建模中得到广泛应用<ref name="Murray2002">Murray, J. D. (2002). ''Mathematical Biology I: An Introduction'' (3rd ed.). Springer.</ref>。
 === 连续时间模型 ===

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 ===不动点分析===
-分析企业生长方程的[[动力学]]性质，我们可知，方程只有一个[[不动点]]<math>A = 0</math>，该点意味着企业的资产为<math>0</math>，考虑到企业资产往往不会出现为<math>0</math>的情况，该点并通常无实际的经济意义。
+分析企业生长方程的[[动力学]]性质，我们可知，方程只有一个[[不动点]]<math>A = 0</math>，该点意味着企业的资产为<math>0</math>，考虑到企业资产往往不会出现为<math>0</math>的情况，该点通常并无实际的经济意义。
 ===奇异点分析===

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−	* 考虑<math>\dot{x} = x^{1/3}, x(0) = 0</math> 这一例子中的 <math>f(x)</math> 在 <math>x=0</math> 处有无穷间断点，因此不满足存在性和唯一性定理的条件。'''注意该定理只是说解在初始时间的某个邻域内存在，而不是说解对所有时间都有存在'''。	+	* 考虑<math>\dot{x} = x^{1/3}, x(0) = 0</math> 这一例子中的 <math>f'(x)</math> 在 <math>x=0</math> 处有无穷间断点，因此不满足存在性和唯一性定理的条件。'''注意该定理只是说解在初始时间的某个邻域内存在，而不是说解对所有时间都有存在'''。
	* 考虑系统 <math>\dot{x}=1+x^2, x(0) = x_0</math> 可以检查该系统符合上述定理的条件，在 <math>t=0</math> 的一个邻域内存在唯一解。解上述[[微分方程]]可得 <math>x(t) = \tan(t)</math>，可知只有当 <math>t \in (-\pi/2, \pi/2)</math> 时才有解。		* 考虑系统 <math>\dot{x}=1+x^2, x(0) = x_0</math> 可以检查该系统符合上述定理的条件，在 <math>t=0</math> 的一个邻域内存在唯一解。解上述[[微分方程]]可得 <math>x(t) = \tan(t)</math>，可知只有当 <math>t \in (-\pi/2, \pi/2)</math> 时才有解。