三体问题 - 版本历史

卫淇奥：/* N体问题 */

2022-03-14T09:05:49Z

N体问题

卫淇奥：/* 三体问题的最终运动 */

2022-03-14T08:43:07Z

三体问题的最终运动

卫淇奥：/* 三体问题的最终运动 */

2022-03-14T08:40:07Z

三体问题的最终运动

卫淇奥：/* 限制性三体问题 */

2022-03-14T08:29:43Z

限制性三体问题

卫淇奥：/* 三体问题的最终运动 */

2022-03-14T01:51:05Z

三体问题的最终运动

卫淇奥：/* 三体问题的最终运动 */

2022-03-14T01:50:49Z

三体问题的最终运动

卫淇奥：/* 三体小说 */

2022-03-14T01:49:55Z

三体小说

2022年3月14日 (一) 01:33 卫淇奥

2022-03-14T01:33:02Z

2022年3月13日 (日) 13:06 卫淇奥

2022-03-13T13:06:24Z

卫淇奥：/* 历史 */

2022-03-13T12:49:12Z

历史

←上一版本		2022年3月14日 (一) 09:05的版本
第62行：		第62行：

	我们从运动方程上可以看出，限制性三体问题有两个自由度，即以两维的位置变量和相应的动量变量就可以完全刻画其运动。若要完全求解限制性三体问题，我们需要在总能量之外，找到第二个守恒量，庞加莱发现这第二个守恒量是不存在，即证明了限制性三体问题的不可解性。		我们从运动方程上可以看出，限制性三体问题有两个自由度，即以两维的位置变量和相应的动量变量就可以完全刻画其运动。若要完全求解限制性三体问题，我们需要在总能量之外，找到第二个守恒量，庞加莱发现这第二个守恒量是不存在，即证明了限制性三体问题的不可解性。
		+
		+
		+	在庞加莱接近临终的时候，通过对限制性三体问题的研究，他提出庞加莱最后几何定理，由美国数学家Birkhoff证明。定理内容为：考虑环面<math>[0,1]\times \mathbb R/\mathbb Z</math>上的一个保面积的微分同胚，假设它保持两个边界，并把两个边界朝想法的方向扭转，则它有两个不动点。这个定理意味着限制性三体问题中周期轨的存在性。这个定理有深刻的拓扑内涵，对后世数学产生了巨大的影响。一个重要的结果就是导致了Arnold猜想和辛几何这一领域的诞生。

	== Hill月球问题 ==		== Hill月球问题 ==

←上一版本		2022年3月14日 (一) 08:43的版本
第115行：		第115行：

	前面六类多是两体问题的推广，而最后一类是三体问题的一类混沌解。在上文的限制性三体问题里会出现这种解，另外一个重要的模型出现这种解的是Sitnikov模型。考虑x-y平面上两个等质量天体做椭圆或者圆周运动，z轴上另外一个0质量的粒子在另外两个天体的吸引下运动。在这个模型中会出现OS型的解。		前面六类多是两体问题的推广，而最后一类是三体问题的一类混沌解。在上文的限制性三体问题里会出现这种解，另外一个重要的模型出现这种解的是Sitnikov模型。考虑x-y平面上两个等质量天体做椭圆或者圆周运动，z轴上另外一个0质量的粒子在另外两个天体的吸引下运动。在这个模型中会出现OS型的解。
		+
		+	对三体问题所有可能的解的分类，除去上述的7类最终运动之外，还有可能是碰撞解。如果系统发生碰撞，我们可以考虑对碰撞解做爆破，就是把空间放大时间变慢，这样从碰撞解中，我们可以得到自相似解。三体问题的自相似解主要是由下文的Euler共线解和Lagrange的等边三角形解刻画。由此，我们对于三体问题所有可能的解的情况有一个分类。

	==特殊的求解方法==		==特殊的求解方法==

@@ 第95行： / 第95行： @@
 == 三体问题的最终运动 ==
 考虑任给初值得到的三体问题微分方程的解，假设这个解不带来碰撞，Chazy给出了所有可能的最终运动，即[math]\displaystyle{t\to \infty}[/math]时解的分类。
 ==特殊的求解方法==

←上一版本		2022年3月14日 (一) 08:29的版本
第60行：		第60行：

	其中<math>r_i = \sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2}</math>，在这种形式下，运动方程通过坐标具有明确的时间依赖性<math>x_i(t), y_i(t)</math>。但可以通过转换为旋转参考系来消除这种时间相关性，从而简化了后续的分析。		其中<math>r_i = \sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2}</math>，在这种形式下，运动方程通过坐标具有明确的时间依赖性<math>x_i(t), y_i(t)</math>。但可以通过转换为旋转参考系来消除这种时间相关性，从而简化了后续的分析。
		+
		+	我们从运动方程上可以看出，限制性三体问题有两个自由度，即以两维的位置变量和相应的动量变量就可以完全刻画其运动。若要完全求解限制性三体问题，我们需要在总能量之外，找到第二个守恒量，庞加莱发现这第二个守恒量是不存在，即证明了限制性三体问题的不可解性。

	== Hill月球问题 ==		== Hill月球问题 ==

@@ 第92行： / 第92行： @@
 == 三体问题的最终运动 ==
-考虑任给初值得到的三体问题微分方程的解，假设这个解不带来碰撞，Chazy给出了所有可能的最终运动，即[math]\displaystyle{t\to \infty}[/math]时解的分类。$t\to\infty$
+考虑任给初值得到的三体问题微分方程的解，假设这个解不带来碰撞，Chazy给出了所有可能的最终运动，即[math]\displaystyle{t\to \infty}[/math]时解的分类。
 ==特殊的求解方法==

@@ 第92行： / 第92行： @@
 == 三体问题的最终运动 ==
-考虑任给初值得到的三体问题微分方程的解，假设这个解不带来碰撞，Chazy给出了所有可能的最终运动，即$t\to \infty$时解的分类。
+考虑任给初值得到的三体问题微分方程的解，假设这个解不带来碰撞，Chazy给出了所有可能的最终运动，即[math]\displaystyle{t\to \infty}[/math]时解的分类。
 ==特殊的求解方法==
@@ 第167行： / 第167行： @@
 引力三体问题也被通过广义相对论进行了研究。在物理上，相对论性的处理在引力场非常强的系统中变得非常必要，比如在黑洞的视界附近。然而，相对论性问题比牛顿力学困难得多，需要复杂的数值技术。即使是完整的两体问题（即任意质量比）在广义相对论中也没有严格的解析解。<ref>{{cite journal | last1=Musielak | first1=Z E | last2=Quarles | first2=B | title=The three-body problem | journal=Reports on Progress in Physics | volume=77 | issue=6 | pages=065901 | year=2014 | issn=0034-4885 | doi=10.1088/0034-4885/77/6/065901 | pmid=24913140| arxiv=1508.02312 | bibcode=2014RPPh...77f5901M}}</ref>
 ==N体问题==
 三体问题是N体问题的一个特例，它描述了n个物体在其中一种物理力（如重力）下如何运动。这些问题具有收敛幂级数形式的全局解析解，比如，Karl F.Sundman证明n=3的情况，Qiudong Wang证明n>3的情况。然而，Sundman级数和Wang级数收敛速度太慢，无法用于实际目的；<ref>[[Florin Diacu]]. [http://www.math.uvic.ca/faculty/diacu/diacuNbody.pdf "The Solution of the ''n''-body Problem"], ''[[The Mathematical Intelligencer]]'', 1996.</ref> 因此，目前有必要通过数值分析以数值积分的形式来近似解，或者在某些情况下，采用经典三角级数近似。原子系统，例如原子、离子和分子，可以用量子N体问题来处理。在经典物理系统中，N体问题通常是指一个星系或一个星系团；行星系统，如恒星、行星及其卫星，也可以被视为N体系统。一些应用可以方便地用扰动理论来处理，其中系统被认为是一个两体问题加上导致偏离假设的无扰动两体轨道的附加力。
 <br>
@@ 第177行： / 第176行： @@
 ==三体小说==
-三体问题被中国作家刘慈欣用于科幻小说三部曲中的情节设计，也被用于作为第一卷和整个三部曲的书名。
+三体问题被中国作家刘慈欣用于科幻小说三部曲中的情节设计，也被用于作为第一卷和整个三部曲的书名。小说获得科幻界最高奖雨果奖。 小说假设在一个三体系统里面有一个文明，高度发达，开始对地球文明的征服。地球文明自救的方式是意识到黑暗森林的原理。在一个黑暗森林里，到处充满未知和风险，猎人需要隐藏好自己，一有风吹草动，猎人最好的办法就是朝吹动的地方开一枪。宇宙就如同一个黑暗森林，各个文明都隐藏其中。 因为知识的爆炸是指数式的，以千年的时间尺度，文明可以突飞猛进，而宇宙间的旅行所用的时间却远超这个时间尺度。 在这个情况下，发现一个文明，哪怕它再原始，也无法预测将来这个文明是不是对自己构成威胁，所以需要第一时刻消灭之。所以当三体人发现地球文明，并且要霸占地球的时候，地球人向三体人展示了其将三体文明的坐标暴露在整个宇宙中的能力，以此震慑三体人维系了一段时间的和平。其黑暗森林，降维打击等词已经成为中文中的成语。
 <br>

@@ 第11行： / 第11行： @@
 历史上看，第一个被拓展研究的特定三体问题是月球、地球和太阳构成的“三体”问题。<ref name="first">{{cite web |url=http://www.wolframscience.com/reference/notes/972d |title=Historical Notes: Three-Body Problem |access-date=19 July 2017}}</ref>从现代意义上讲，拓展的三体问题可以是经典力学或量子力学中模拟三个粒子运动的任何问题。
 ==数学描述==
@@ 第47行： / 第45行： @@
 限制性三体问题有庞加莱引入，作为三体问题的一个简化的版本。 在限制性三体问题中，<ref name="Barrow-Green1997" />一个质量可忽略不计的天体(“小行星”)在两个质量巨大的天体的影响下运动。由于质量可忽略不计，小行星对这两个质量巨大的天体所施加的力可忽略不计，因此可以可以用两个物体的运动来描述，对该系统进行分析。通常这种两体运动被认为是由围绕质心的圆形轨道组成的，并且假定小行星在圆形轨道所定义的平面内运动。
 受限制的三体问题比完全的三体问题更容易从理论上分析。它也具有实际意义，因为它准确地描述了许多现实世界的问题，其中最重要的例子是地球-月亮-太阳的系统，这也是在三体问题的历史发展中有重要地位的一个典型。
@@ 第65行： / 第61行： @@
 其中<math>r_i = \sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2}</math>，在这种形式下，运动方程通过坐标具有明确的时间依赖性<math>x_i(t), y_i(t)</math>。但可以通过转换为旋转参考系来消除这种时间相关性，从而简化了后续的分析。
-<br>
+== Hill月球问题 ==
-==求解==
+==三体问题的级数解==
 由简单的代数表达式和积分给出的三体没有一般的解析解。<ref name="PrincetonCompanion"/> 此外，除特殊情况，三个物体的运动一般是不重复的。<ref name=13solutions>{{cite journal |first=Jon |last=Cartwright |title=Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem | journal=Science Now |url=http://www.sciencemag.org/news/2013/03/physicists-discover-whopping-13-new-solutions-three-body-problem |date=8 March 2013 |access-date = 2013-04-04}}</ref>
@@ 第96行： / 第92行： @@
 == 三体问题的最终运动 ==
 ==特殊的求解方法==
@@ 第115行： / 第112行： @@
 [[File:Three body problem figure-8 orbit animation.gif|400px|thumb|三体问题的图 8 解在单个周期 T ≃ 6.3259 上的动画。<ref>Here the gravitational constant ''G'' has been set to 1, and the initial conditions are '''r'''<sub>1</sub>(0) = −'''r'''<sub>3</sub>(0) = (−0.97000436, 0.24308753); '''r'''<sub>2</sub>(0) = (0,0); '''v'''<sub>1</sub>(0) = '''v'''<sub>3</sub>(0) = (0.4662036850, 0.4323657300); '''v'''<sub>2</sub>(0) = (−0.93240737, −0.86473146). The values are obtained from Chenciner & Montgomery (2000).</ref>]]
-年，[[圣塔菲研究所]]的物理学家克里斯摩尔 Cris Moore提出了一种零角动量解，该解适用于三个相等质量围绕一个八字形运动。<ref>{{citation | last = Moore | first = Cristopher | bibcode = 1993PhRvL..70.3675M | doi = 10.1103/PhysRevLett.70.3675 | issue = 24 | journal = Physical Review Letters | pages = 3675–3679 | pmid = 10053934 | title = Braids in classical dynamics | url = http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf | volume = 70 | year = 1993}}</ref>这种方法在2000年由数学家阿兰·契纳 Alain Chenciner和理查德·蒙哥马利 Richard Montgomery证明。<ref>{{cite journal|author=Chenciner, Alain|author2=Montgomery, Richard|title=A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series|volume=152|issue=3|year=2000|pages=881–902|doi=10.2307/2661357|arxiv=math/0011268| jstor=2661357| bibcode=2000math.....11268C}}</ref><ref>{{citation | last = Montgomery | first = Richard | volume = 48 | journal = Notices of the American Mathematical Society | pages = 471–481 | title = A new solution to the three-body problem | url = https://www.ams.org/notices/200105/fea-montgomery.pdf | year = 2001}}</ref>在数值上证明了该解对于质量和轨道参数的小扰动是稳定的，这增加了在物理宇宙中可以观察到这种轨道的可能性。但有人认为不太可能发生这种情况，因为稳定性的范围小。在数值上证明了该解对于质量和轨道参数的小扰动是稳定的，这增加了在物理宇宙中可以观察到这种轨道的可能性。但是，由于稳定性的范围小，因此不太可能发生这种情况。例如，二元-二元散射事件导标号-8轨道的概率估计为1%的一小部分。<ref>{{citation | last = Heggie | first = Douglas C. | doi = 10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x | volume = 318 | issue = 4 | journal = Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
+年，[[圣塔菲研究所]]的物理学家克里斯摩尔 Cris Moore提出了一种零角动量解，该解适用于三个相等质量围绕一个八字形运动。<ref>{{citation | last = Moore | first = Cristopher | bibcode = 1993PhRvL..70.3675M | doi = 10.1103/PhysRevLett.70.3675 | issue = 24 | journal = Physical Review Letters | pages = 3675–3679 | pmid = 10053934 | title = Braids in classical dynamics | url = http://tuvalu.santafe.edu/~moore/braids-prl.pdf | volume = 70 | year = 1993}}</ref>这种方法在2000年由数学家阿兰·尚西奈 Alain Chenciner和理查德·蒙哥马利 Richard Montgomery证明。<ref>{{cite journal|author=Chenciner, Alain|author2=Montgomery, Richard|title=A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series|volume=152|issue=3|year=2000|pages=881–902|doi=10.2307/2661357|arxiv=math/0011268| jstor=2661357| bibcode=2000math.....11268C}}</ref><ref>{{citation | last = Montgomery | first = Richard | volume = 48 | journal = Notices of the American Mathematical Society | pages = 471–481 | title = A new solution to the three-body problem | url = https://www.ams.org/notices/200105/fea-montgomery.pdf | year = 2001}}</ref>在数值上证明了该解对于质量和轨道参数的小扰动是稳定的，这增加了在物理宇宙中可以观察到这种轨道的可能性。但有人认为不太可能发生这种情况，因为稳定性的范围小。在数值上证明了该解对于质量和轨道参数的小扰动是稳定的，这增加了在物理宇宙中可以观察到这种轨道的可能性。但是，由于稳定性的范围小，因此不太可能发生这种情况。例如，二元-二元散射事件导标号-8轨道的概率估计为1%的一小部分。<ref>{{citation | last = Heggie | first = Douglas C. | doi = 10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x | volume = 318 | issue = 4 | journal = Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
   | pages = L61–L63 | title = A new outcome of binary–binary scattering | year = 2000| arxiv = astro-ph/9604016 | bibcode = 2000MNRAS.318L..61H }}</ref>
@@ 第142行： / 第139行： @@
 Laplace和Lagrange引入了N体问题的平均法，并证明了太阳系大约在1000年左右的时间尺度之内的稳定性。
+二十世纪中叶，Kolmogorov-Arnold-Moser通过对N体问题的研究提出了著名的KAM定理。这一定理意味着，N体问题中存在大量的不变环面，上面的轨道做拟周期运动。
 亚美利哥·韦斯普奇 Amerigo Vespucci和随后的 伽利略·伽利雷 Galileo Galilei提出了三体问题; 1499年，韦斯普奇 Vespucci利用对月球位置的了解来确定自己在巴西的位置。因为这种方法适用于导航，特别是在海上确定经度，1720年代该方法变得非常技术实用。事实上确定经度的问题被 约翰·哈里森 John Harrison发明的航海经线仪所解决。但是，由于太阳和行星对月球绕地球运动的干扰作用，月球理论的准确性很低。

@@ 第42行： / 第42行： @@
 <br>
-==受限制的三题问题==
+==限制性三体问题==
 [[File:Restricted Three-Body Problem - Energy Potential Analysis.png|thumb|300px|圆形受限三体问题是在太阳系中发现的椭圆轨道的有效近似，这可以看作是由于两个主要天体的重力以及它们旋转（科里奥利）产生的离心效应而产生的势的组合效果是动态的，未显示）。然后可以将拉格朗日点视为合成表面上梯度为零的五个位置（显示为蓝线），表明力在那里处于平衡状态。]]
-在受限制的三体问题中，<ref name="Barrow-Green1997"/>一个质量可忽略不计的天体(“小行星”)在两个质量巨大的天体的影响下运动。由于质量可忽略不计，小行星对这两个质量巨大的天体所施加的力可忽略不计，因此可以可以用两个物体的运动来描述，对该系统进行分析。通常这种两体运动被认为是由围绕质心的圆形轨道组成的，并且假定小行星在圆形轨道所定义的平面内运动。
@@ 第92行： / 第95行： @@
 但不幸运的是，对应的级数收敛得非常慢。也就是说，为了获得一定精度的值需要很多级数项，这样的解法并没有什么实际用途。的确，在1930年，大卫·贝洛里奇 David Beloriszky计算出，如果将Sundman级数用于天文观测，则计算将至少涉及10<sup>8000000</sup>项。<ref>{{cite journal |last=Beloriszky |first=D. |year=1930 |title=Application pratique des méthodes de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps |journal=Bulletin Astronomique |volume=6 |series=Série 2 |pages=417–434|bibcode=1930BuAst...6..417B }}</ref>
-<br>
+== 三体问题的最终运动 ==
 ==特殊的求解方法==
@@ 第101行： / 第104行： @@
-在1892年至1899年的工作中，亨利·波因加 Henri Poincaré建立了无穷有限三体问题的周期解，以及将这些解法继续推广到一般三体问题的技巧。
@@ 第139行： / 第143行： @@
-法国数学家庞加莱Poincare年轻的时候参加一个数学大奖赛，名字是奥斯卡国王二世奖。奥斯卡国王是当时挪威和瑞典的国王，非常热爱数学。庞加莱选择的题目是N体问题的级数解。在十九世纪，数学家普遍认为。
 亚美利哥·韦斯普奇 Amerigo Vespucci和随后的 伽利略·伽利雷 Galileo Galilei提出了三体问题; 1499年，韦斯普奇 Vespucci利用对月球位置的了解来确定自己在巴西的位置。因为这种方法适用于导航，特别是在海上确定经度，1720年代该方法变得非常技术实用。事实上确定经度的问题被 约翰·哈里森 John Harrison发明的航海经线仪所解决。但是，由于太阳和行星对月球绕地球运动的干扰作用，月球理论的准确性很低。

@@ 第131行： / 第131行： @@
 尽管高精度需要大量的CPU时间，但是通过计算机可以使用数值积分可以得到问题的任意高精度解。在2019年，布林 Breen等人。提出了一种快速的神经网络求解器，使用数字积分器对其进行训练。<ref>{{cite journal |last1=Li |first1=Xiaoming |last2=Liao |first2=Shijun |title=Collisionless periodic orbits in the free-fall three-body problem |journal=New Astronomy |volume=70 |pages=22–26 |year=2019 |arxiv=1805.07980 |doi=10.1016/j.newast.2019.01.003 |bibcode=2019NewA...70...22L}}</ref>
-== N体问题 ==
+== 历史 ==
-==历史==
+传统意义上的三个物体的引力问题可以追溯到1687年，当时 艾萨克·牛顿 Isaac Newton 发表了他的《自然哲学的数学原理》。在《原理》第一卷的第66号提案及其22个推论中，牛顿首次定义和研究了三个受相互扰动的重力吸引影响的巨大物体的运动问题。在第三册的第25至35条命题中，牛顿也迈出了第一步，将他的66号命题的结果应用到月球理论中，即月球在地球和太阳的引力影响下的运动。牛顿首先用微积分的技巧求解了两体问题，随后写下了三体问题的运动方程，并对它试图求解。但是他意识到三体问题求解的巨大困难，意识到天体之间的小扰动会使得轨道偏离标准的椭圆型轨道。但是他并不怀疑三体问题的可解性。他认为当天体偏离轨道的时候，上帝会出手把轨道推回到原来的状态。
@@ 第166行： / 第171行： @@
 ==N体问题==
-三体问题是N体问题的一个特例，它描述了n个物体在其中一种物理力（如重力）下如何运动。这些问题具有收敛幂级数形式的全局解析解，比如，Karl F.Sundman证明n=3的情况，qaudong Wang证明n>3的情况。然而，Sundman级数和Wang级数收敛速度太慢，无法用于实际目的；<ref>[[Florin Diacu]]. [http://www.math.uvic.ca/faculty/diacu/diacuNbody.pdf "The Solution of the ''n''-body Problem"], ''[[The Mathematical Intelligencer]]'', 1996.</ref> 因此，目前有必要通过数值分析以数值积分的形式来近似解，或者在某些情况下，采用经典三角级数近似。原子系统，例如原子、离子和分子，可以用量子N体问题来处理。在经典物理系统中，N体问题通常是指一个星系或一个星系团；行星系统，如恒星、行星及其卫星，也可以被视为N体系统。一些应用可以方便地用扰动理论来处理，其中系统被认为是一个两体问题加上导致偏离假设的无扰动两体轨道的附加力。
+三体问题是N体问题的一个特例，它描述了n个物体在其中一种物理力（如重力）下如何运动。这些问题具有收敛幂级数形式的全局解析解，比如，Karl F.Sundman证明n=3的情况，Qiudong Wang证明n>3的情况。然而，Sundman级数和Wang级数收敛速度太慢，无法用于实际目的；<ref>[[Florin Diacu]]. [http://www.math.uvic.ca/faculty/diacu/diacuNbody.pdf "The Solution of the ''n''-body Problem"], ''[[The Mathematical Intelligencer]]'', 1996.</ref> 因此，目前有必要通过数值分析以数值积分的形式来近似解，或者在某些情况下，采用经典三角级数近似。原子系统，例如原子、离子和分子，可以用量子N体问题来处理。在经典物理系统中，N体问题通常是指一个星系或一个星系团；行星系统，如恒星、行星及其卫星，也可以被视为N体系统。一些应用可以方便地用扰动理论来处理，其中系统被认为是一个两体问题加上导致偏离假设的无扰动两体轨道的附加力。
 <br>