二项分布 - 版本历史

不是海绵宝宝：撤销不是海绵宝宝（讨论）的版本26032

2021-08-21T02:22:37Z

撤销不是海绵宝宝（讨论）的版本26032

2021年8月21日 (六) 02:22 不是海绵宝宝

2021-08-21T02:22:00Z

2021年8月15日 (日) 11:26 不是海绵宝宝

2021-08-15T11:26:51Z

显示更改

2021年8月15日 (日) 11:20 不是海绵宝宝

2021-08-15T11:20:49Z

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2021年8月15日 (日) 11:19 不是海绵宝宝

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不是海绵宝宝：/* 编者推荐 */

2021-08-15T10:58:37Z

编者推荐

不是海绵宝宝：/* 两个二项式分布的比值 */

2021-08-15T10:57:38Z

两个二项式分布的比值

不是海绵宝宝：/* 条件二项式 */

2021-08-15T10:56:34Z

条件二项式

不是海绵宝宝：/* 值信区间 */

2021-08-08T14:27:09Z

值信区间

不是海绵宝宝：/* 模 */

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模

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 *[https://zhuanlan.zhihu.com/p/138038450 二项式分布]
-===论文推荐===
+*[https://zhuanlan.zhihu.com/p/32932782 一张图说明二项分布、泊松分布、指数分布、几何分布、负二项分布、伽玛分布的联系]
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 *[https://zhuanlan.zhihu.com/p/138038450 二项式分布]
-*[https://zhuanlan.zhihu.com/p/32932782 一张图说明二项分布、泊松分布、指数分布、几何分布、负二项分布、伽玛分布的联系]
+===论文推荐===
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 *[https://zhuanlan.zhihu.com/p/138038450 二项式分布]
+*[https://zhuanlan.zhihu.com/p/32932782 一张图说明二项分布、泊松分布、指数分布、几何分布、负二项分布、伽玛分布的联系]
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−	基本近似通常随着 n 的增加而改进(至少20) ，当 p 不接近0或1时更好。经验法则可以用来判断 n 是否足够大，p的极值是否远离0或1:<ref name="Katz1978">{{cite journal \|last1=Katz \|first1=D. \|displayauthors=1 \|first2=J. \|last2=Baptista \|first3=S. P. \|last3=Azen \|first4=M. C. \|last4=Pike \|year=1978 \|title=Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies \|journal=Biometrics \|volume=34 \|issue=3 \|pages=469–474 \|doi=10.2307/2530610 \|jstor=2530610 }}</ref>	+	基本近似通常随着 n 的增加而改进(至少20) ，当 p 不接近0或1时更好。经验法则可以用来判断 n 是否足够大，p的极值是否远离0或1<ref name="Katz1978">{{cite journal \|last1=Katz \|first1=D. \|displayauthors=1 \|first2=J. \|last2=Baptista \|first3=S. P. \|last3=Azen \|first4=M. C. \|last4=Pike \|year=1978 \|title=Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies \|journal=Biometrics \|volume=34 \|issue=3 \|pages=469–474 \|doi=10.2307/2530610 \|jstor=2530610 }}</ref>

	这个结果最早是由卡兹 Katz和合著者在1978年得出的。<ref name="Katz1978">{{cite journal \|last1=Katz \|first1=D. \|displayauthors=1 \|first2=J. \|last2=Baptista \|first3=S. P. \|last3=Azen \|first4=M. C. \|last4=Pike \|year=1978 \|title=Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies \|journal=Biometrics \|volume=34 \|issue=3 \|pages=469–474 \|doi=10.2307/2530610 \|jstor=2530610 }}</ref>		这个结果最早是由卡兹 Katz和合著者在1978年得出的。<ref name="Katz1978">{{cite journal \|last1=Katz \|first1=D. \|displayauthors=1 \|first2=J. \|last2=Baptista \|first3=S. P. \|last3=Azen \|first4=M. C. \|last4=Pike \|year=1978 \|title=Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies \|journal=Biometrics \|volume=34 \|issue=3 \|pages=469–474 \|doi=10.2307/2530610 \|jstor=2530610 }}</ref>

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 将 <math> i = k - m </math> 代入上述表达式后，我们得到了
-这个分布是由雅各布伯努利 Jacob Bernoulli推导出来的。他考虑了p = r/(r&nbsp;+&nbsp;s)的情形，其中 p 是成功的概率，r 和 s 是正整数。早些时候，布莱斯 · 帕斯卡 Blaise Pascal考虑过p&nbsp;=&nbsp;1/2的情况。
+这个分布是由雅各布 ·伯努利 Jacob Bernoulli推导出来的。他考虑了p = r/(r&nbsp;+&nbsp;s)的情形，其中 p 是成功的概率，r 和 s 是正整数。早些时候，布莱斯 · 帕斯卡 Blaise Pascal考虑过p&nbsp;=&nbsp;1/2的情况。
 请注意，上述的和（括号内）等于<math> (p - pq + 1 - p)^{n-m} </math>由<font color="#ff8000">二项式定理 binomial theorem</font>得出。将此代入最终得到

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 即使对于相当大的''n''值，平均数的实际分布是显著非正态的，<ref name="Brown2001">{{Citation |first1=Lawrence D. |last1=Brown |first2=T. Tony |last2=Cai |first3=Anirban |last3=DasGupta |year=2001 |title = Interval Estimation for a Binomial Proportion |url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~tcai/paper/html/Binomial-StatSci.html |journal=Statistical Science |volume=16 |issue=2 |pages=101–133 |access-date = 2015-01-05 |doi=10.1214/ss/1009213286|citeseerx=10.1.1.323.7752 }}</ref>由于这个问题，人们提出了几种估计置信区间的方法。
 在下面的置信区间公式中，变量具有以下含义
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 *<math>z</math>是<font color="#ff8000">标准正态分布 standard normal distribution </font>的<math>1 - \tfrac{1}{2}\alpha</math>分位数(即概率)对应的目标错误率 <math>\alpha</math>。例如，95%的<font color="#ff8000">置信度 confidence level </font>的错误率为<math>\alpha</math>&nbsp;=&nbsp;0.05，因此 <math>1 - \tfrac{1}{2}\alpha</math>&nbsp;=&nbsp;0.975 并且<math>z</math>&nbsp;=&nbsp;1.96.
 ====Wald 法====
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 由于X <math>\sim B(n, p)</math>和Y <math>\sim B(X, q)</math>，由<font color="#ff8000">全概率公式 the law of total probability </font>,
-:<math>    \widehat{p\,} + \frac{z^2}{2n} + z</math>
+:<math>\widehat{p\,} + \frac{z^2}{2n} + z</math>
 :<math>\frac{\widehat{p\,}(1 - \widehat{p\,})}{n} </math>
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 Wald法虽然是教科书上普遍推荐的方法，但却是最偏颇的方法。
 伯努利分布是二项分布的一个特例，其中n&nbsp;=&nbsp;1。在符号上，X&nbsp;~&nbsp;B(1,&nbsp;p)与X&nbsp;~&nbsp;Bernoulli(p)具有相同的意义。反之，任何二项分布B(n,&nbsp;p)是 n 个伯努利试验和的分布，每个试验的概率 p 相同。

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 通常二项式''B''(''n'', ''p'')分布的模等于<math>\lfloor (n+1)p\rfloor</math>，其中<math>\lfloor\cdot\rfloor</math>是<font color="#ff8000">向下取整函数 floor function </font>。然而，当(''n''&nbsp;+&nbsp;1)''p''是整数且''p''不为0或1时，二项分布有两种模: (''n''&nbsp;+&nbsp;1)''p''和(''n''&nbsp;+&nbsp;1)''p''&nbsp;−&nbsp;1。当''p''等于0或1时，对应的模为0或n。这些情况可总结如下:
 <math>\text{mode} =
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        \end{cases}</math>
 证明: 让
 <math>f(k)=\binom nk p^k q^{n-k}.</math>
 当<math>p=0</math>，只有<math>f(0)</math>有一个非零值，<math>f(0)=1</math>。当<math>p=1</math>，我们发现当<math>k\neq n</math>，<math>f(n)=1</math>且<math>f(k)=0</math>。这证明了<math>p=0</math>时模为0，<math>p=1</math>时模为<math>n</math>。
 当<math>0 < p < 1</math>。我们发现
 <math>\frac{f(k+1)}{f(k)} = \frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}</math>.
 由此可见
@@ 第210行： / 第202行： @@
 \end{align}</math>
 所以当<math>(n+1)p-1</math>是一个整数时，<math>(n+1)p-1</math>和<math>(n+1)p</math>是一个模。在<math>(n+1)p-1\notin Z</math>的情况下，只有<math>\lfloor (n+1)p-1\rfloor+1=\lfloor (n+1)p\rfloor</math>是模。<ref>See also {{cite web |first=André |last=Nicolas |title=Finding mode in Binomial distribution |work=[[Stack Exchange]] |date=January 7, 2019 |url=https://math.stackexchange.com/q/117940 }}</ref>
 ===中位数===