2024年12月22日 (日) 05:35 相信未来

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相信未来：建立内容为“对于向量空间之间的线性映射 $f : X \rightarrow Y$ ，其余核是指f的陪域Y除以f的像所得到的商空间 $Y / \text{im}(f)$
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建立内容为“对于向量空间之间的线性映射<math>f : X \rightarrow Y</math>，其余核是指f的陪域Y除以f的像所得到的商空间<math>Y / \text{im}(f)</math…”的新页面

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对于向量空间之间的线性映射<math>f : X \rightarrow Y</math>，其余核是指f的陪域Y除以f的像所得到的商空间<math>Y / \text{im}(f)</math>。我们把余核的维数称为f的余秩。

余核与范畴论中的核是对偶的概念，这也是其名称的由来：核是定义域的子对象（它映射到定义域），而余核则是陪域的商对象（它从陪域出发映射）。

从直观上理解，当我们试图求解方程<math>f(x) = y</math>时，余核衡量的是y必须满足的约束条件，这些约束决定了方程是否有解，即解的障碍；而核则衡量的是在解存在的情况下，解的自由度。这一点在后文的直观解释部分会有详细说明。

更一般地，在某个范畴中（例如群之间的同态或希尔伯特空间之间的有界线性算子），态射<math>f : X \rightarrow Y</math>的余核是指一个对象Q和一个态射<math>q : Y \rightarrow Q</math>，使得复合<math>q f</math>是该范畴中的零态射，并且q关于这个性质是泛性的。通常我们默认了映射q的存在，直接称Q为f的余核。

在抽象代数的许多情况下，比如对于交换群、向量空间或模，同态<math>f : X \rightarrow Y</math>的余核就是Y除以f的像所得到的商。在拓扑的背景下，例如希尔伯特空间之间的有界线性算子，我们通常需要先取像的闭包，然后再做商空间。

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−	对于向量空间之间的线性映射<math>f : X \rightarrow Y</math>，其余核是指f的陪域Y除以f的像所得到的商空间<math>Y / \text{im}(f)</math>~~。我们把余核的维数称为f的余秩。~~	+	对于向量空间之间的线性映射<math>f : X \rightarrow Y</math>，其余核是指f的陪域Y除以f的像所得到的商空间<math>Y / \text{im}(f)</math>。我们把余核的维数称为<math>f</math>的余秩。

	余核与范畴论中的核是对偶的概念，这也是其名称的由来：核是定义域的子对象（它映射到定义域），而余核则是陪域的商对象（它从陪域出发映射）。		余核与范畴论中的核是对偶的概念，这也是其名称的由来：核是定义域的子对象（它映射到定义域），而余核则是陪域的商对象（它从陪域出发映射）。