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2025-08-31T06:15:28Z

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= 统计流形 =
统计流形是由一族概率分布构成的光滑几何结构，每个概率分布对应流形上的一个点。全模型M的所有联合概率分布<math>p(x,y)</math>（x和y分别为系统当前与下一状态向量）构成统计流形，分布间的差异通过Kullback-Leibler（KL）散度衡量[]。

= 指数族 =
统计流形中一类重要的概率分布，其概率密度函数可表示为指数形式。全模型M的二元分布（<math>x_i, y_i</math>取 0 或 1）属于指数族，形式为：<math>p(x,y) = \exp\left\{ \sum \theta_i^X x_i + \sum \theta_j^Y y_j + \sum \theta_{ij}^{XX} x_i x_j + \sum \theta_{ij}^{YY} y_i y_j + \sum \theta_{ij}^{XY} x_i y_j + h(x,y) - \psi \right\}</math>

其中<math>\theta</math>为参数，<math>\psi</math>为归一化因子，其分布集合形成对偶平坦流形[]。

= 对偶坐标 =
对偶平坦流形上的一对互补坐标系统：e 坐标（<math>\theta</math>坐标）：基于分布的自然参数，直接定义概率分布的数学形式；m 坐标（<math>\eta</math>坐标）：基于随机变量函数的期望（如<math>\eta_{ij}^{XY}=E[x_i y_j]</math>），描述分布的统计特性。
二者通过 Legendre 变换相互关联，实现参数与统计特性的双向映射。

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