分岔理论 - 版本历史

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 ==编者推荐==
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 ====[https://campus.swarma.org/course/697 非线性动力学与混沌]====
 非线性动力学和混沌理论是系统发展的，从一阶微分方程及其分岔开始，然后是相平面分析，极限环和它们的分岔，最终得到Lorenz方程，混沌，迭代映射，周期倍增，重整化，分形和奇怪吸引。
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 此系列课程由斯蒂文·斯特罗加茨主持，内容包括机械振动，激光，生物节律，超导电路，昆虫爆发，化学振荡器，遗传控制系统，混沌水轮，甚至是使用混乱发送秘密信息的技术。在每种情况下，科学背景都在初级阶段进行解释，并与数学理论紧密结合。
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 [[File:Saddlenode.gif|thumb|right|300px|显示鞍结分岔的相位图]]
-'''分岔理论 Bifurcation theory'''是数学中研究给定族的定性或[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔 Bifurcation'''常用于[[动力系统]]的数学研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book |first=P. |last=Blanchard |first2=R. L. |last2=Devaney|author2-link= Robert L. Devaney |first3=G. R. |last3=Hall |title=Differential Equations |location=London |publisher=Thompson |year=2006 |pages=96–111 |isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱 Henri Poincaré]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[Henri Poincaré]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。
+'''分岔理论 Bifurcation theory'''是数学中研究给定族的定性或[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔 Bifurcation'''常用于[[动力系统]]的数学研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book |first=P. |last=Blanchard |first2=R. L. |last2=Devaney |first3=G. R. |last3=Hall |title=Differential Equations |location=London |publisher=Thompson |year=2006 |pages=96–111 |isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱 Henri Poincaré]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[Henri Poincaré]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。
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-*'''同宿分岔 Homoclinic bifurcation'''是指[[极限环]]与[[鞍点]]相重合。<ref>{{cite book |last=Strogatz |first=Steven H. |date=1994 |title=Nonlinear Dynamics and Chaos |publisher=[[Addison-Wesley]] |page=262 |isbn=0-201-54344-3 |author-link=Steven Strogatz}}</ref> 同宿分岔出现在超临界或亚临界状态下。上面的变体是“小”或者“I型”同宿分岔。 二维情况下，在同宿轨道“捕获”鞍的不稳定和稳定流形的另一端存在“大”或“II型”同宿分岔。在三维或多维情况下，可能会出现高共维分岔，产生复杂性系统，可能是[[混沌]]动力学。
+*'''同宿分岔 Homoclinic bifurcation'''是指[[极限环]]与[[鞍点]]相重合。<ref>{{cite book |last=Strogatz |first=Steven H. |date=1994 |title=Nonlinear Dynamics and Chaos |publisher=Addison-Wesley |page=262 |isbn=0-201-54344-3 }}</ref> 同宿分岔出现在超临界或亚临界状态下。上面的变体是“小”或者“I型”同宿分岔。 二维情况下，在同宿轨道“捕获”鞍的不稳定和稳定流形的另一端存在“大”或“II型”同宿分岔。在三维或多维情况下，可能会出现高共维分岔，产生复杂性系统，可能是[[混沌]]动力学。
 *'''异宿分岔 Heteroclinic bifurcation'''是指极限环与两个或多个鞍点重合，这涉及到[[异宿环]]。<ref>{{cite book |title=Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems|last=Luo|first=Dingjun|authorlink=  |publisher=World Scientific|year=1997|isbn=981-02-2094-4|page=26}}</ref> 异宿分岔有两种类型：共振分岔和横向分岔，两种类型的分岔都会导致异宿环稳定性的改变。 在共振分岔处，当环的平衡点的特征值和特征向量的代数条件满足时，环的稳定性改变。这通常伴随着[[周期轨道]]的出现和消失。当一个异宿环中某个平衡点的横向特征值的实部通过零时，就会引起该环的横向分岔，同时也会引起异宿环稳定性的变化。

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	[[File:Saddlenode.gif\|thumb\|right\|300px\|显示鞍结分岔的相位图]]		[[File:Saddlenode.gif\|thumb\|right\|300px\|显示鞍结分岔的相位图]]

−	'''分岔理论 Bifurcation theory'''~~是数学中研究给定[[族]]的定性或~~[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔 Bifurcation'''常用于[[动力系统]]的数学研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book \|first=P. \|last=Blanchard \|first2=R. L. \|last2=Devaney\|author2-link= Robert L. Devaney \|first3=G. R. \|last3=Hall \|title=Differential Equations \|location=London \|publisher=Thompson \|year=2006 \|pages=96–111 \|isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱 Henri Poincaré]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[Henri Poincaré]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。	+	'''分岔理论 Bifurcation theory'''是数学中研究给定族的定性或[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔 Bifurcation'''常用于[[动力系统]]的数学研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book \|first=P. \|last=Blanchard \|first2=R. L. \|last2=Devaney\|author2-link= Robert L. Devaney \|first3=G. R. \|last3=Hall \|title=Differential Equations \|location=London \|publisher=Thompson \|year=2006 \|pages=96–111 \|isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱 Henri Poincaré]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[Henri Poincaré]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。

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 ====《应用非线性动力学》胡海岩====
 本书第1章阐述非线性动力系统的理论与实验建模方法，第2章和第3章分别介绍单自由度自治系统的定性和定量分析方法，第4章和第5章侧重于分析单自由度非自治系统和多自由度系统的非线性动力学行为。第6章介绍非线性系统的运动稳定性及分叉理论。第7章阐述混沌现象及混沌的控制。第8章阐述如何运用数值方法分析非线性动力系统的行为，特别是系统的周期运动、分叉与混沌。书末附录阐述了如何借助计算机代数软件MAPLE分析非线性动力学问题。
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 [[File:Saddlenode.gif|thumb|right|300px|显示鞍结分岔的相位图]]
-'''分岔理论 Bifurcation theory'''是[[数学]]中研究给定[[族]]的定性或[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔 Bifurcation'''常用于[[动力系统]]的[[数学]]研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book |first=P. |last=Blanchard |first2=R. L. |last2=Devaney|author2-link= Robert L. Devaney |first3=G. R. |last3=Hall |title=Differential Equations |location=London |publisher=Thompson |year=2006 |pages=96–111 |isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱 Henri Poincaré]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[亨利 · 庞加莱]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。
+'''分岔理论 Bifurcation theory'''是数学中研究给定[[族]]的定性或[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔 Bifurcation'''常用于[[动力系统]]的数学研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book |first=P. |last=Blanchard |first2=R. L. |last2=Devaney|author2-link= Robert L. Devaney |first3=G. R. |last3=Hall |title=Differential Equations |location=London |publisher=Thompson |year=2006 |pages=96–111 |isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱 Henri Poincaré]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[Henri Poincaré]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。
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-*局部分岔 Local bifurcations是指可用[[平衡点]]的局部稳定性、周期轨道或其他不变集作为参数穿过临界阈值完全分析的分岔；
+*局部分岔 Local bifurcations是指可用平衡点的局部稳定性、周期轨道或其他不变集作为参数穿过临界阈值完全分析的分岔；
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 如果[[雅可比]]矩阵<math> \textrm{d}f_{x_0,\lambda_0}</math>
-具有实部为零的[[特征值]]，则在<math>(x_0,\lambda_0)</math>处发生局部分岔。若特征值为零，则分岔为稳态分岔，若特征值非零而为纯虚数，则分岔为[[霍普夫分岔]]。
+具有实部为零的特征值，则在<math>(x_0,\lambda_0)</math>处发生局部分岔。若特征值为零，则分岔为稳态分岔，若特征值非零而为纯虚数，则分岔为[[霍普夫分岔 Hopf bifurcation]]。
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 * [[跨临界分岔 Transcritical bifurcation]]
-* [[叉式分岔 Pitchfork bifurcation]]
+* [[叉形分岔 Pitchfork bifurcation]]
 * [[周期倍增(翻转)分岔 Period-doubling (flip) bifurcation]]
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 *'''同宿分岔 Homoclinic bifurcation'''是指[[极限环]]与[[鞍点]]相重合。<ref>{{cite book |last=Strogatz |first=Steven H. |date=1994 |title=Nonlinear Dynamics and Chaos |publisher=[[Addison-Wesley]] |page=262 |isbn=0-201-54344-3 |author-link=Steven Strogatz}}</ref> 同宿分岔出现在超临界或亚临界状态下。上面的变体是“小”或者“I型”同宿分岔。 二维情况下，在同宿轨道“捕获”鞍的不稳定和稳定流形的另一端存在“大”或“II型”同宿分岔。在三维或多维情况下，可能会出现高共维分岔，产生复杂性系统，可能是[[混沌]]动力学。
-*'''异宿分岔 Heteroclinic bifurcation'''是指极限环与两个或多个鞍点重合，这涉及到[[异宿环]]。<ref>{{cite book |title=Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems|last=Luo|first=Dingjun|authorlink=  |publisher=World Scientific|year=1997|isbn=981-02-2094-4|page=26}}</ref> 异宿分岔有两种类型：共振分岔和横向分岔，两种类型的分岔都会导致异宿环稳定性的改变。 在共振分岔处，当环的平衡点的[[特征值]]和特征向量的代数条件满足时，环的稳定性改变。这通常伴随着[[周期轨道]]的出现和消失。当一个异宿环中某个平衡点的横向特征值的实部通过零时，就会引起该环的横向分岔，同时也会引起异宿环稳定性的变化。
+*'''异宿分岔 Heteroclinic bifurcation'''是指极限环与两个或多个鞍点重合，这涉及到[[异宿环]]。<ref>{{cite book |title=Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems|last=Luo|first=Dingjun|authorlink=  |publisher=World Scientific|year=1997|isbn=981-02-2094-4|page=26}}</ref> 异宿分岔有两种类型：共振分岔和横向分岔，两种类型的分岔都会导致异宿环稳定性的改变。 在共振分岔处，当环的平衡点的特征值和特征向量的代数条件满足时，环的稳定性改变。这通常伴随着[[周期轨道]]的出现和消失。当一个异宿环中某个平衡点的横向特征值的实部通过零时，就会引起该环的横向分岔，同时也会引起异宿环稳定性的变化。
-* '''无限周期分岔 Infinite-period bifurcation'''是指在极限环上同时出现稳定点和鞍点。<ref>James P. Keener, "Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches", ''SIAM Journal on Applied Mathematics'', Vol. 41, No. 1 (August 1981), pp. 127&ndash;144.</ref>当参数的[[极限]]接近某个临界值时，振荡速度变慢，周期接近无穷大。无限周期分岔发生在此临界值处。 在临界值外，极限环上相继出现两个不动点，破坏振荡，形成了两个[[鞍点]]。
+* '''无限周期分岔 Infinite-period bifurcation'''是指在极限环上同时出现稳定点和鞍点。<ref>James P. Keener, "Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches", ''SIAM Journal on Applied Mathematics'', Vol. 41, No. 1 (August 1981), pp. 127&ndash;144.</ref>当参数的极限接近某个临界值时，振荡速度变慢，周期接近无穷大。无限周期分岔发生在此临界值处。 在临界值外，极限环上相继出现两个不动点，破坏振荡，形成了两个[[鞍点]]。
 * [[蓝天突变 Blue sky catastrophe]]是指极限环与非双曲环相重合。
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 * {{cite book |first=Stephen |last=Wiggins |title=Global bifurcations and Chaos: Analytical Methods |year=1988 |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-0-387-96775-2 |url=https://books.google.com/books?id=s1zdBwAAQBAJ }}
 ==外部链接 ==
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 * [http://prola.aps.org/abstract/RMP/v63/i4/p991_1 Introduction to Bifurcation theory] by John David Crawford
 《分岔理论概论》约翰·大卫·克劳福德

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-* {{cite book |first=V. S. |last=Afrajmovich |first2=V. I. |last2=Arnold |author2link=Vladimir Arnold |title=Bifurcation Theory and Catastrophe Theory |location= |publisher= |year=1994 |isbn=978-3-540-65379-0 |display-authors=etal}}
+* {{cite book |first=V. S. |last=Afrajmovich |first2=V. I. |last2=Arnold |author2link=Vladimir Arnold |title=Bifurcation Theory and Catastrophe Theory |location= |publisher= |year=1994 |isbn=978-3-540-65379-0}}
 *Guardia, M.; Martinez-Seara, M.; Teixeira, M. A. (2011). [https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039610004456 Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov Systems]. "Journal of differential equations", Febrer 2011, vol. 250, núm. 4, pp. 1967-2023. DOI: [[doi:10.1016/j.jde.2010.11.016|10.1016/j.jde.2010.11.016]]
 * {{cite book |first=Stephen |last=Wiggins |title=Global bifurcations and Chaos: Analytical Methods |year=1988 |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-0-387-96775-2 |url=https://books.google.com/books?id=s1zdBwAAQBAJ }}
 ==外部链接 ==

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 {{#seo:
 |keywords=分岔理论,局部分岔,全局分岔
-|description=Julia分岔,非线性动力系统,混沌
+|description=Julia分岔,动力系统,混沌
 }}
 [[File:Saddlenode.gif|thumb|right|300px|显示鞍结分岔的相位图]]
-'''分岔理论Bifurcation theory'''是[[数学]]中研究给定[[族]]的定性或[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔'''常用于[[动力系统]]的[[数学]]研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book |first=P. |last=Blanchard |first2=R. L. |last2=Devaney|author2-link= Robert L. Devaney |first3=G. R. |last3=Hall |title=Differential Equations |location=London |publisher=Thompson |year=2006 |pages=96–111 |isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[亨利 · 庞加莱]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。
+'''分岔理论 Bifurcation theory'''是[[数学]]中研究给定[[族]]的定性或[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔 Bifurcation'''常用于[[动力系统]]的[[数学]]研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book |first=P. |last=Blanchard |first2=R. L. |last2=Devaney|author2-link= Robert L. Devaney |first3=G. R. |last3=Hall |title=Differential Equations |location=London |publisher=Thompson |year=2006 |pages=96–111 |isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱 Henri Poincaré]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[亨利 · 庞加莱]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。
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-*局部分岔Local bifurcations是指可用[[平衡点]]的局部稳定性、周期轨道或其他不变集作为参数穿过临界阈值完全分析的分岔；
+*局部分岔 Local bifurcations是指可用[[平衡点]]的局部稳定性、周期轨道或其他不变集作为参数穿过临界阈值完全分析的分岔；
-*全局分岔Global bifurcations是指不能仅通过平衡点(或不动点)的稳定性来分析的分岔，它常在系统的较大不变集之间“碰撞”（重合）时，或较大不变集与系统的平衡点“碰撞”（重合）时出现。
+*全局分岔 Global bifurcations是指不能仅通过平衡点(或不动点)的稳定性来分析的分岔，它常在系统的较大不变集之间“碰撞”（重合）时，或较大不变集与系统的平衡点“碰撞”（重合）时出现。
-===局部分岔Local bifurcations===
+===局部分岔 Local bifurcations===
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 局部分岔的例子有:
-* [[鞍结(折叠)分岔Saddle-node (fold) bifurcation]]
+* [[鞍结(折叠)分岔 Saddle-node (fold) bifurcation]]
-* [[跨临界分岔Transcritical bifurcation]]
+* [[跨临界分岔 Transcritical bifurcation]]
-* [[叉式分岔Pitchfork bifurcation]]
+* [[叉式分岔 Pitchfork bifurcation]]
-* [[周期倍增(翻转)分岔Period-doubling (flip) bifurcation]]
+* [[周期倍增(翻转)分岔 Period-doubling (flip) bifurcation]]
-* [[霍普夫分岔Hopf bifurcation]]
+* [[霍普夫分岔 Hopf bifurcation]]
-* [[Neimark–Sacker(次级霍普夫)分岔Neimark–Sacker (secondary Hopf) bifurcation]]
+* [[Neimark–Sacker(次级霍普夫)分岔 Neimark–Sacker (secondary Hopf) bifurcation]]
-===全局分岔Global bifurcations===
+===全局分岔 Global bifurcations===
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-*'''同宿分岔Homoclinic bifurcation'''是指[[极限环]]与[[鞍点]]相重合。<ref>{{cite book |last=Strogatz |first=Steven H. |date=1994 |title=Nonlinear Dynamics and Chaos |publisher=[[Addison-Wesley]] |page=262 |isbn=0-201-54344-3 |author-link=Steven Strogatz}}</ref> 同宿分岔出现在超临界或亚临界状态下。上面的变体是“小”或者“I型”同宿分岔。 二维情况下，在同宿轨道“捕获”鞍的不稳定和稳定流形的另一端存在“大”或“II型”同宿分岔。在三维或多维情况下，可能会出现高共维分岔，产生复杂性系统，可能是[[混沌]]动力学。
+*'''同宿分岔 Homoclinic bifurcation'''是指[[极限环]]与[[鞍点]]相重合。<ref>{{cite book |last=Strogatz |first=Steven H. |date=1994 |title=Nonlinear Dynamics and Chaos |publisher=[[Addison-Wesley]] |page=262 |isbn=0-201-54344-3 |author-link=Steven Strogatz}}</ref> 同宿分岔出现在超临界或亚临界状态下。上面的变体是“小”或者“I型”同宿分岔。 二维情况下，在同宿轨道“捕获”鞍的不稳定和稳定流形的另一端存在“大”或“II型”同宿分岔。在三维或多维情况下，可能会出现高共维分岔，产生复杂性系统，可能是[[混沌]]动力学。
-*'''异宿分岔Heteroclinic bifurcation'''是指极限环与两个或多个鞍点重合，这涉及到[[异宿环]]。<ref>{{cite book |title=Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems|last=Luo|first=Dingjun|authorlink=  |publisher=World Scientific|year=1997|isbn=981-02-2094-4|page=26}}</ref> 异宿分岔有两种类型：共振分岔和横向分岔，两种类型的分岔都会导致异宿环稳定性的改变。 在共振分岔处，当环的平衡点的[[特征值]]和特征向量的代数条件满足时，环的稳定性改变。这通常伴随着[[周期轨道]]的出现和消失。当一个异宿环中某个平衡点的横向特征值的实部通过零时，就会引起该环的横向分岔，同时也会引起异宿环稳定性的变化。
+*'''异宿分岔 Heteroclinic bifurcation'''是指极限环与两个或多个鞍点重合，这涉及到[[异宿环]]。<ref>{{cite book |title=Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems|last=Luo|first=Dingjun|authorlink=  |publisher=World Scientific|year=1997|isbn=981-02-2094-4|page=26}}</ref> 异宿分岔有两种类型：共振分岔和横向分岔，两种类型的分岔都会导致异宿环稳定性的改变。 在共振分岔处，当环的平衡点的[[特征值]]和特征向量的代数条件满足时，环的稳定性改变。这通常伴随着[[周期轨道]]的出现和消失。当一个异宿环中某个平衡点的横向特征值的实部通过零时，就会引起该环的横向分岔，同时也会引起异宿环稳定性的变化。
-* '''无限周期分岔Infinite-period bifurcation'''是指在极限环上同时出现稳定点和鞍点。<ref>James P. Keener, "Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches", ''SIAM Journal on Applied Mathematics'', Vol. 41, No. 1 (August 1981), pp. 127&ndash;144.</ref>当参数的[[极限]]接近某个临界值时，振荡速度变慢，周期接近无穷大。无限周期分岔发生在此临界值处。 在临界值外，极限环上相继出现两个不动点，破坏振荡，形成了两个[[鞍点]]。
+* '''无限周期分岔 Infinite-period bifurcation'''是指在极限环上同时出现稳定点和鞍点。<ref>James P. Keener, "Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches", ''SIAM Journal on Applied Mathematics'', Vol. 41, No. 1 (August 1981), pp. 127&ndash;144.</ref>当参数的[[极限]]接近某个临界值时，振荡速度变慢，周期接近无穷大。无限周期分岔发生在此临界值处。 在临界值外，极限环上相继出现两个不动点，破坏振荡，形成了两个[[鞍点]]。
-* [[蓝天突变Blue sky catastrophe]]是指极限环与非双曲环相重合。
+* [[蓝天突变 Blue sky catastrophe]]是指极限环与非双曲环相重合。
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-[[Bogdanov-Takens分岔]]是研究余维数为2的分岔的一个很好的例子。
+[[Bogdanov-Takens 分岔]]是研究余维数为2的分岔的一个很好的例子。
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-* [[分岔图Bifurcation diagram]]
+* [[分岔图 Bifurcation diagram]]
-* [[分叉记忆Bifurcation memory]]
+* [[分叉记忆 Bifurcation memory]]
-* [[突变理论Catastrophe theory]]
+* [[突变理论 Catastrophe theory]]
-* [[费根鲍姆常数Feigenbaum constants]]
+* [[费根鲍姆常数 Feigenbaum constants]]
-* [[地磁反转Geomagnetic reversal]]
+* [[地磁反转 Geomagnetic reversal]]
-* [[相位图Phase portrait]]
+* [[相位图 Phase portrait]]
-* [[网球拍定理Tennis racket theorem]]
+* [[网球拍定理 Tennis racket theorem]]