分形维数 - 版本历史

Swarma：修复双重重定向: 豪斯多夫维数 Hausdorff dimension → 豪斯多夫维数

2025-07-14T05:58:39Z

修复双重重定向: 豪斯多夫维数 Hausdorff dimension → 豪斯多夫维数

思无涯咿呀咿呀：已将重定向目标从中央处理器更改为豪斯多夫维数 Hausdorff dimension

2024-05-03T01:51:28Z

已将重定向目标从中央处理器更改为豪斯多夫维数 Hausdorff dimension

思无涯咿呀咿呀：重定向页面至中央处理器

2024-05-03T01:50:56Z

重定向页面至中央处理器

薄荷：页面内容被替换为“内容已迁移至豪斯多夫维数 Hausdorff dimension”

2021-09-22T13:52:36Z

页面内容被替换为“内容已迁移至豪斯多夫维数 Hausdorff dimension”

显示更改

2021年9月22日 (三) 13:48 薄荷

2021-09-22T13:48:59Z

薄荷：/* 豪斯多夫维数 Hausdorff dimension */

2021-09-22T13:38:48Z

豪斯多夫维数 Hausdorff dimension

薄荷：/* 概念 */

2021-09-22T13:37:48Z

概念

薄荷：/* 编者推荐 */

2021-09-22T13:33:19Z

编者推荐

2021年9月22日 (三) 13:30 薄荷

2021-09-22T13:30:11Z

显示更改

2020年11月1日 (日) 18:17 Ruili

2020-11-01T18:17:50Z

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−	#REDIRECT[[豪斯多夫维数 ~~Hausdorff dimension~~]]	+	#REDIRECT [[豪斯多夫维数]]

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−	#REDIRECT[[~~中央处理器~~]]	+	#REDIRECT[[豪斯多夫维数 Hausdorff dimension]]

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−	~~内容已迁移至~~[[~~豪斯多夫维数 Hausdorff dimension~~]]	+	#REDIRECT[[中央处理器]]

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+{{#seo:
 非整数维度示例：前四个[[Koch 曲线]]的迭代，在每次迭代后，所有原始线段都被替换为四个，每个自相似的复制是原始线段长度的1 / 3。豪斯多夫维数的一个建模是使用比例因子(3)和自相似对象的数量(4)来计算维度 D，在第一次迭代后为 D = (log N)/(log S) = (log 4)/(log 3) ≈ 1.26.<ref name=CampbellAnnenberg15>。MacGregor Campbell, 2013, "5.6 Scaling and the Hausdorff Dimension," 在 ''Annenberg Learner:MATHematics illuminated'', 参见 [http://www.learner.org/courses/mathilluminated/units/5/textbook/06.php], accessed 5 March 2015.</ref> 也就是说，单点的豪斯多夫维数为零，线段为1，正方形为2，立方体为3时，但对于分形，对象可以有一个非整数维度。
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 ==实例==
-[[Image:Sierpinski deep.svg|thumb|250px|进一步的[[分形维数]]的例子，进一步的分形维数的例子是谢尔宾斯基三角形，它是一个豪斯多夫维数为log(3)/log(2)≈1.58.<ref name=ClaytonSCTPLS96/>的物体]]
+[[Image:Sierpinski deep.svg.png|thumb|250px|进一步的[[分形维数]]的例子，进一步的分形维数的例子是谢尔宾斯基三角形，它是一个豪斯多夫维数为log(3)/log(2)≈1.58.<ref name=ClaytonSCTPLS96/>的物体]]
-* [[康托尔集 Cantor set]]拥有豪斯多夫维数0。<ref name="schleicher">{{cite journal |last1=Schleicher |first1=Dierk |title=Hausdorff Dimension, Its Properties, and Its Surprises |journal=The American Mathematical Monthly |date=June 2007 |volume=114 |issue=6 |pages=509–528 |doi=10.1080/00029890.2007.11920440 |language=en |issn=0002-9890|arxiv=math/0505099 }}</ref>
+* 可数集拥有豪斯多夫维数0。<ref name="schleicher">{{cite journal |last1=Schleicher |first1=Dierk |title=Hausdorff Dimension, Its Properties, and Its Surprises |journal=The American Mathematical Monthly |date=June 2007 |volume=114 |issue=6 |pages=509–528 |doi=10.1080/00029890.2007.11920440 |language=en |issn=0002-9890|arxiv=math/0505099 }}</ref>
 * 欧几里得空间 ℝ<sup>''n''</sup> 有豪斯多夫维数 ''n''，循环'''S'''<sup>1</sup> 拥有豪斯多夫维数1.<ref name="schleicher" />
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 * [[布朗运动]]在2维及以上的轨迹被推测为豪斯多夫2维。<ref>{{cite book | last=Morters | first=Peres | title= Brownian Motion | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2010 }}</ref>
-[[image:Great Britain Hausdorff.svg|thumb|250px|英国海岸有多长?统计自相似性和分数维数]]
+[[image:Great Britain Hausdorff.svg.png|thumb|250px|英国海岸有多长?统计自相似性和分数维数]]
 * Lewis Fry Richardson已经通过豪斯多夫维数去测量了很多海岸线。它的结果涵盖从1.02的南非海岸线到1.25的大英帝国西海岸模型。<ref name="mandelbrot" />

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−	等价地，dim <sub>H</sub>(''X'')可定义为 ''d'' ∈ [0, ∞) 集的下确界，使得''X'' 的''d''-维 [[豪斯多夫测度]] 为零。这与 ''d'' ∈ [0, ∞)的集合的上确界相同，因此''X''的 d ~~维豪斯多夫测度是无限的(除非后一个集合~~ ''d'' ~~是空的，豪斯多夫维数为零)。~~	+	等价地，dim <sub>H</sub>(''X'')可定义为 ''d'' ∈ [0, ∞) 集的下确界，使得''X'' 的''d''-维 [[豪斯多夫测度]] 为零。这与 ''d'' ∈ [0, ∞)的集合的上确界相同，因此''X''的 d 维豪斯多夫测度是无限的（除非后一个集合 ''d'' 是空的，豪斯多夫维数为零）。

		+	<br>

	==实例==		==实例==

@@ 第31行： / 第31行： @@
-对于光滑的形状，或者有少量棱角的形状，传统几何和科学的形状，豪斯多夫维数是一个整数，与拓扑维度一致。但是[[Benoit Mandelbrot]]观察到[[分形]]——具有非整数豪斯多夫维数的集合---- 在自然界中随处可见。他观察到，我们周围大多数粗糙形状的理想化不是光滑的理想化形状，而是分形理想化形状:
+对于光滑的形状，或者有少量棱角的形状，传统几何和科学的形状，豪斯多夫维数是一个整数，与拓扑维度一致。但是[[伯努瓦·曼德布洛特 Benoit Mandelbrot]]观察到[[分形]]——具有非整数豪斯多夫维数的集合---- 在自然界中随处可见。他观察到，我们周围大多数粗糙形状的理想化不是光滑的理想化形状，而是分形理想化形状:
@@ 第40行： / 第40行： @@
 对于自然界中出现的分形，豪斯多夫维数和盒计数维数是一致的。封装尺寸是另一个类似的概念，它为许多形状提供相同的值，但是在所有这些尺寸不同的情况，都做了很好的说明。
 ==形式化定义==

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-== 编者推荐==
+==编者推荐==
-[[File:人工智能 2020.png|300px|thumb|[https://campus.swarma.org/course/1153 人工智能 2020]]]
+[[File:大自然的分形几何.jpg|400px|right|thumb|书籍《大自然的分形几何》封面]]
-===集智课程===

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	The Hausdorff dimension measures the local size of a space taking into account the distance between points, the metric. Consider the number N(r) of balls of radius at most r required to cover X completely. When r is very small, N(r) grows polynomially with 1/r. For a sufficiently well-behaved X, the Hausdorff dimension is the unique number d such that N(r) grows as 1/r<sup>d</sup> as r approaches zero. More precisely, this defines the box-counting dimension, which equals the Hausdorff dimension when the value d is a critical boundary between growth rates that are insufficient to cover the space, and growth rates that are overabundant.		The Hausdorff dimension measures the local size of a space taking into account the distance between points, the metric. Consider the number N(r) of balls of radius at most r required to cover X completely. When r is very small, N(r) grows polynomially with 1/r. For a sufficiently well-behaved X, the Hausdorff dimension is the unique number d such that N(r) grows as 1/r<sup>d</sup> as r approaches zero. More precisely, this defines the box-counting dimension, which equals the Hausdorff dimension when the value d is a critical boundary between growth rates that are insufficient to cover the space, and growth rates that are overabundant.

−	~~豪斯多夫维数测量一个空间的局部大小时，会考虑到点之间距离的度量。考虑半径最大为~~ r 的球数 ''N'' (r) ，需要完全覆盖 ''X''。当 r 很小时，n (r)以1/''r'' ~~增长多项式。对于一个表现足够好的~~ ''X''，豪斯多夫维数是唯一的数 d，这样当 r 趋近于零时， N(r)增长为1/r<sup>d</sup> 。更确切地说，这定义了盒子计数维度，当值 d ~~是不足以覆盖空间的增长率和过度充裕的增长率之间的关键边界时，它等于豪斯多夫维数。~~	+	豪斯多夫维数测量一个空间的局部大小时，会考虑到点之间距离（度量）。考虑半径最大为 r 的球数 ''N'' (r) ，需要完全覆盖 ''X''。当 r 很小时，n (r)以1/''r'' 的多项式增长。对于一个表现足够好的 ''X''，豪斯多夫维数是唯一的数 d，这样当 r 趋近于零时， N(r)增长为1/r<sup>d</sup> 。更确切地说，这定义了盒子计数维度，当值 d 是不足以覆盖空间的增长率和过度充裕的增长率之间的临界边界时，它等于豪斯多夫维数。