动力学平均场理论 - 版本历史

2024年5月21日 (二) 02:05 思无涯咿呀咿呀

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薄荷：/* Hubbard模型的 DMFT 描述 */

2022-06-05T11:20:03Z

Hubbard模型的 DMFT 描述

薄荷：/* 编辑推荐 */

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编辑推荐

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2022年6月4日 (六) 13:12 Bingyu Jiang

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Bingyu Jiang：/* 哈伯德模型的 DMFT 描述 */

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哈伯德模型的 DMFT 描述

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	[[Category:量子力学]]		[[Category:量子力学]]
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 ==Hubbard模型的 DMFT 描述==
-=== DMFT 映射 ====
+=== DMFT 映射 ===
 '''单轨道哈伯德模型'''
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 # 为新的杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(i\omega_n)</math>求解AIM，提取其自能量: <math>\Sigma_\mathrm{imp}(i\omega_n) = (\mathcal{G}_0)^{-1}(i\omega_n) - (G_\mathrm{imp})^{-1}(i\omega_n)  </math>
 # 返回到第2步，直到收敛，即当 <math>G_\mathrm{imp}^n = G_\mathrm{imp}^{n+1}</math>.
 ==应用==

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第137行：		第137行：
	==编辑推荐==		==编辑推荐==
	===集智课程===		===集智课程===
		+	====[https://campus.swarma.org/course/4440 循环神经网络的动力学平均场理论]====
		+	生物神经网络是大脑执行各种认知功能的基础，而这些网络从物理的角度可以简化地用一种无序非对称的相互作用连接来构建模型。这种无序系统可以利用统计场论来很好地描述和分析。
		+
		+	该期读书会将从经典的最简单的随机神经网络中的混沌开始，介绍统计场论在分析该问题中发挥的关键作用，然后利用统计场论进一步讨论真实大脑脉冲发放数据中隐含的网络临界状态，并探讨该状态在计算功能中发挥的关键作用及其机制。
		+
		+	*成对脉冲关联的宽分布；
		+	*神经活动元统计的平均场理论--系综下的一般性模型；
		+	*循环神经网络的动力学平均场理论；
		+	*混沌边缘在机器学习中的应用
		+
		+
		+	====[https://campus.swarma.org/course/1397 平衡态系统的平均场理论]====
		+	平均场论（英语：Mean field theory，MFT）是一种研究复杂多体问题的方法，将数量巨大的互相作用的多体问题转化成每一个粒子处在一种弱周期场中的单体问题，这种方法常见于统计物理、固体物理和生物物理的研究中。本课程中，讲解平均场理论的沿革以及具体应用。
		+
		+
		+	*已知系统的序参量后，朗道给出序参量的平均场理论
		+	*朗道的平均场理论给出平均场临界指数
		+	*考虑了对平均场的涨落以后，得到金兹堡-朗道-威尔逊哈密尔顿量
		+	*仅考虑涨落的高斯项，可以精确求解
		+

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−	同样，DMFT将一个晶格问题（如Hubbard模型）映射到一个单点问题。在DMFT中，局部观测指标是局部格林函数。因此，DMFT的自洽条件是杂质格林函数通过有效的平均场重现晶格局部格林函数，在DMFT中，平均场是杂质模型的杂化函数 <math>\Delta(\tau)</math> 。DMFT的名称归功于这样一个事实：平均场 <math>\Delta(\tau)</math> 是随时间变化的，或者说是动态的。这也指出了Ising MFT和DMFT之间的主要区别：Ising MFT将N个自旋问题映射为一个单点、单自旋问题。DMFT将晶格问题映射到单点问题上，但后者从根本上说仍然是一个N体问题，它捕捉到了由于电子-电子相关的时间波动。	+	同样，DMFT将一个晶格问题（如Hubbard模型）映射到一个单点问题。在DMFT中，局部观测指标是局部格林函数。因此，DMFT的自洽条件是杂质格林函数通过有效的平均场重现晶格局部格林函数，在DMFT中，平均场是杂质模型的杂化函数 <math>\Delta(\tau)</math>。DMFT的名称归功于这样一个事实：平均场 <math>\Delta(\tau)</math> 是随时间变化的，或者说是动态的。这也指出了Ising MFT和DMFT之间的主要区别：Ising MFT将N个自旋问题映射为一个单点、单自旋问题。DMFT将晶格问题映射到单点问题上，但后者从根本上说仍然是一个N体问题，它捕捉到了由于电子-电子相关的时间波动。

	=='''哈伯德(Hubbard)'''模型的 DMFT 描述==		=='''哈伯德(Hubbard)'''模型的 DMFT 描述==

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−	同样，DMFT将一个晶格问题（如Hubbard模型）映射到一个单点问题。在DMFT中，局部观测指标是局部格林函数。因此，DMFT的自洽条件是杂质格林函数通过有效的平均场重现晶格局部格林函数，在DMFT中，平均场是杂质模型的杂化函数 <math>\Delta(\tau)</math> 。DMFT的名称归功于这样一个事实：平均场 <math>\Delta(\tau)</math> 是随时间变化的，或者说是动态的。这也指出了Ising MFT和DMFT之间的主要区别：Ising MFT将N个自旋问题映射为一个单点、单自旋问题。DMFT将晶格问题映射到单点问题上，但后者从根本上说仍然是一个N体问题，它捕捉到了由于电子-电子相关的时间波动。	+	同样，DMFT将一个晶格问题（如Hubbard模型）映射到一个单点问题。在DMFT中，局部观测指标是局部格林函数。因此，DMFT的自洽条件是杂质格林函数通过有效的平均场重现晶格局部格林函数，在DMFT中，平均场是杂质模型的杂化函数 <math>\Delta(\tau)</math> 。DMFT的名称归功于这样一个事实：平均场 <math>\Delta(\tau)</math> 是随时间变化的，或者说是动态的。这也指出了Ising MFT和DMFT之间的主要区别：Ising MFT将N个自旋问题映射为一个单点、单自旋问题。DMFT将晶格问题映射到单点问题上，但后者从根本上说仍然是一个N体问题，它捕捉到了由于电子-电子相关的时间波动。

	=='''哈伯德(Hubbard)'''模型的 DMFT 描述==		=='''哈伯德(Hubbard)'''模型的 DMFT 描述==

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-DMFT 是将一个多体晶格问题映射到一个多体局部问题，即杂质模型。杂质模型通常可以通过各种方案求解，而晶格问题通常是难以解决的。映射本身并不构成近似值。普通DMFT方案中唯一的近似是假定电子自能是一个与动量无关的（局部）量。这种近似在具有无限协调性晶格的极限中变得精确。
 DMFT 的主要成果之一是描述了当电子关联强度增加时金属和莫特绝缘体之间的相变。它与密度泛函理论的局域密度近似相结合，已成功地应用于实际材料。
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 自洽性条件要求杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(\tau)</math> 与局域格林函数 <math>G_{ii}(\tau) = -\langle T c_i(\tau)c_i^{\dagger}(0)\rangle </math>符合:
 :<math> G_\mathrm{imp}(i\omega_n) = G_{ii}(i\omega_n) = \sum_k \frac {1}{i\omega_n +\mu - \epsilon(k) - \Sigma(k,i\omega_n)}</math>
-其中 <math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 表示电子自能。
+其中 <math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 表示晶格自能(lattice self-energy)。
-===DMFT近似：电子自能的局域性===
+===DMFT近似：晶格自能(lattice self-energy)的局域性===
-唯一的DMFT近似（除了可以用来解决 Anderson 模型的近似之外）在于忽略电子自能的空间波动，将其等同于杂质自能:
+唯一的DMFT近似（除了可以用来解决 Anderson 模型的近似之外）在于忽略晶格自能(lattice self-energy)的空间波动，将其等同于杂质自能:
 :<math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_{imp}(i\omega_n) </math>
-这个近似值在无限协调的晶格极限中变得精确，也就是说，当每个位点的邻居数量是无限的。事实上，我们可以证明，在电子自能的图解扩展中，当进入无限协调极限时，只有局部图解存在。
+这个近似值在无限协调的晶格极限中变得精确，也就是说，当每个位点的邻居数量是无限的。事实上，我们可以证明，在晶格自能(lattice self-energy)的图解扩展中，当进入无限协调极限时，只有局部图解存在。
 因此，正如经典的平均场理论一样，DMFT应该随着维度（也就是邻居的数量）的增加而变得更加精确。换句话说，对于低维度，空间波动将使DMFT近似不那么可靠。

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 === 非平衡性 ===
-DMFT已被用于研究非平衡传输和光学激发。在这里，对非平衡状态下的AIM的格林函数的可靠计算仍然是一个很大的挑战。
+DMFT已被用于研究非平衡传输和光学激发。在这里，对非平衡状态下的AIM的格林函数的可靠计算仍然是一个很大的挑战。<references/>
 = See also =

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 '''动力学平均场理论(DMFT)'''是一种确定强关联材料电子结构的方法。在这种材料中，用于密度泛函理论和通常的能带结构计算的独立电子近似失效了。动力学平均场理论是对电子之间局部相互作用的非微扰处理，它在近自由电子气极限和凝聚态物理学的原子极限之间架起了桥梁。
-DMFT 是将一个多体晶格问题映射到一个多体局部问题，即杂质模型。杂质模型通常可以通过各种方案求解，而晶格问题通常是难以解决的。映射本身并不构成近似值。普通DMFT方案中唯一的近似是假定晶格自能是一个与动量无关的（局部）量。这种近似在具有无限协调性晶格的极限中变得精确。
+DMFT 是将一个多体晶格问题映射到一个多体局部问题，即杂质模型。杂质模型通常可以通过各种方案求解，而晶格问题通常是难以解决的。映射本身并不构成近似值。普通DMFT方案中唯一的近似是假定电子自能是一个与动量无关的（局部）量。这种近似在具有无限协调性晶格的极限中变得精确。
 DMFT 的主要成果之一是描述了当电子关联强度增加时金属和莫特绝缘体之间的相变。它与密度泛函理论的局域密度近似相结合，已成功地应用于实际材料。
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 同样，DMFT将一个晶格问题（如Hubbard模型）映射到一个单点问题。在DMFT中，局部观测指标是局部格林函数。因此，DMFT的自洽条件是杂质格林函数通过有效的平均场重现晶格局部格林函数，在DMFT中，平均场是杂质模型的杂化函数 <math>\Delta(\tau)</math> 。DMFT的名称归功于这样一个事实：平均场 <math>\Delta(\tau)</math> 是随时间变化的，或者说是动态的。这也指出了Ising MFT和DMFT之间的主要区别：Ising MFT将N个自旋问题映射为一个单点、单自旋问题。DMFT将晶格问题映射到单点问题上，但后者从根本上说仍然是一个N体问题，它捕捉到了由于电子-电子相关的时间波动。
-=='''哈伯德'''模型的 DMFT 描述==
+=='''哈伯德(Hubbard)'''模型的 DMFT 描述==
 = DMFT 映射 =
 '''单轨道哈伯德模型'''
-哈伯德模型通过一个参数 <math>U</math> 来描述自旋相反的电子之间的现场相互作用。哈伯德哈密尔顿可以采取以下形式：
+哈伯德模型通过一个参数 <math>U</math> 来描述自旋相反的电子场之间的相互作用。哈伯德哈密尔顿可以采取以下形式：
 :<math> H_{\text{Hubbard}}=t \sum_{\langle ij \rangle \sigma}  c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma} + U\sum_{i}n_{i \uparrow} n_{i\downarrow}</math>
 其中，在抑制自旋1/2处 <math>\sigma</math>, <math>c_i^{\dagger},c_i</math> 表示电子在点<math>i</math>, 和 <math>n_i=c_i^{\dagger}c_i</math> 的局部轨道上的创建和湮灭算子.
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 自洽性条件要求杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(\tau)</math> 与局域格林函数 <math>G_{ii}(\tau) = -\langle T c_i(\tau)c_i^{\dagger}(0)\rangle </math>符合:
 :<math> G_\mathrm{imp}(i\omega_n) = G_{ii}(i\omega_n) = \sum_k \frac {1}{i\omega_n +\mu - \epsilon(k) - \Sigma(k,i\omega_n)}</math>
-其中 <math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 表示晶格自能。
+其中 <math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 表示电子自能。
-===DMFT近似：晶格自能的局域性===
+===DMFT近似：电子自能的局域性===
-唯一的DMFT近似（除了可以用来解决 Anderson 模型的近似之外）在于忽略晶格自能的空间波动，将其等同于杂质自能:
+唯一的DMFT近似（除了可以用来解决 Anderson 模型的近似之外）在于忽略电子自能的空间波动，将其等同于杂质自能:
 :<math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_{imp}(i\omega_n) </math>
-这个近似值在无限协调的晶格极限中变得精确，也就是说，当每个位点的邻居数量是无限的。事实上，我们可以证明，在晶格自能的图解扩展中，当进入无限协调极限时，只有局部图解存在。
+这个近似值在无限协调的晶格极限中变得精确，也就是说，当每个位点的邻居数量是无限的。事实上，我们可以证明，在电子自能的图解扩展中，当进入无限协调极限时，只有局部图解存在。
 因此，正如经典的平均场理论一样，DMFT应该随着维度（也就是邻居的数量）的增加而变得更加精确。换句话说，对于低维度，空间波动将使DMFT近似不那么可靠。
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 * [http://www.cond-mat.de/events/correl14/manuscripts/ Lecture notes DMFT at 25: Infinite Dimensions] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
 * [http://www.cond-mat.de/events/correl18/manuscripts/ Lecture notes DMFT – From Infinite Dimensions to Real Materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)
 [[Category:Correlated electrons]]