动力系统理论 Dynamical Systems Theory - 版本历史

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 |description=主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统
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-'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。
+'''动力系统理论（Dynamical Systems Theory）'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。
 动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑 <math>\mathcal F</math> 为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里 <math>f'\in\mathcal F</math> 是函数 <math>f</math> 的导函数，那么我们就称算子 <math>O</math> 为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transformation）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

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	'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。		'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

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 ===算术动力学===
-[[算术动力学]] Arithmetic Dynamics是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。
+[[算术动力学]] arithmetic dynamics 是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。传统上来讲，离散动力学的研究对象是复平面或实数轴上的自映射的迭代过程，这一迭代过程构成了离散动力系统。这里的自映射指，从复平面到复平面，或从实数轴到实数轴。算术动力学研究一种特殊的数论性质，这种数论性质是整数、有理数、p进数(p-adic)被某个多项式或者有理函数反复映射，所构成的离散动力系统的数论性质。
 ===混沌理论===
-[[混沌理论]] Chaos theory描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点(通常被称为蝴蝶效应 Butterfly Effect)。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。
+[[混沌理论]] chaos theory 描述了确定的动力系统，在随时间演化时所展现出的，其演化过程对初始条件高度敏感的特点。这种动力系统的演化行为通常被称为[[蝴蝶效应]] butterfly effect。注意，这里所说的“确定的”（certain） 不应与“确定性的” （deterministic） 相混淆。前者说的是“确切知道”的意思，后者说的是“排除随机因素和自由意志”意义上的”决定论的“。这样一来，混沌系统的演化行为，也就是初始条件敏感性所导致的后果，呈现成这样：随着系统演化时间增长，初始条件中的微扰对系统状态量的影响随指数增强，使得这种系统的演化行为看起来是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况。这意味着这些系统在初始时刻之后的演化过程完全由他们的初始条件决定，同时没有涉及任何随机成分。这些系统的演化行为就是人们所熟知的确定性混沌 deterministic chaos，或者简称混沌。
 === 复杂系统===
-[[复杂系统]] Complex Systems是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。
+[[复杂系统]] 复杂系统 complex systems 是一个科学研究的领域，它研究自然、社会和科学中复杂系统的共同性质。它也被称为复杂系统理论 complex systems theory、复杂性科学 complexity science、复杂系统研究和关于复杂性的科学 study of complex systems and/or sciences of complexity。这种系统的关键问题在于对他们进行的形式化建模与仿真的困难性。因此，在不同的研究背景中，复杂系统被定义在它们不同属性的基础上。
-复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。
+复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中更一般的基于还原论的策略已经陷入了不足。因此，复杂系统这一术语，经常在更广泛的意义上，被用来涵盖能处理多种多样知识领域中的问题的研究方法。这些知识领域包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞天性的调查。
 === 控制理论===
-[[控制理论]] Control Theory 是工程和数学的一个交叉学科。控制理论是一个研究如何调整动态系统特性的理论，它也是工程和数学的一个交叉学科，逐渐的应用在许多社会科学中，例如心理学、社会学(社会学中的控制理论)、犯罪学及金融系统Financial System。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。维持设定值保持小范围稳定甚至不变的控制行为称为控制调节，设定值快速变化，对于跟踪速度加速度等的控制要求较高的控制行为称为伺服。控制理论的研究的一部分研究对于动力系统行为的研究产生了深远的影响。
+[[控制理论]] control theory 是工程和数学的一个交叉学科在某种程度上来说，控制理论研究如何影响动态系统的演化过程；它也是社会科学和数学的一个交叉学科，逐渐应用于多个社会科学领域中，例如心理学、社会学、犯罪学及金融系统 financial system。控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是通过改变系统的控制量（输入量），使系统状态量（或输出量）的变化稳定在设定值或设定轨迹附近，且尽量减弱振动。通过控制系统，自动校正系统误差，使得系统状态量（或输出量）稳定在给定范围之内的过程，称之为控制调节；当设定值快速变化时，能利用基于误差传感的负反馈来校正系统误差从而“跟踪”设定值变化的自动装置，称之为伺服机构 servo。
 === 遍历理论===
-[[遍历理论]] Ergodic Theory 是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。
+[[遍历理论]]  ergodic theory 是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。
 ===泛函分析===
-[[泛函分析]] Functional analysis 是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。
+[[泛函分析]] functional analysis  是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如Fourier变换，微分方程和积分方程的研究等。泛函分析的名称“functional analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，而这个领域的创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。
 ===图动力系统===
-[[图动力系统]] Graph dynamical systems(GDS) 可以用来描绘图或网络上发生的各种过程。图动力系统的数学和计算分析的一个主要主题是将其结构特性(例如：网络连接性)与其所产生的全局动力学联系起来。
+[[图动力系统]] graph dynamical systems (GDS) 可以用来表示和研究在图上和网络上发生和进行的各种过程。在利用图动力系统所做的数学分析和计算分析中，一个独特的重点是，去把图和网络的结构特性(例如网络的连通性)，与在这些图和网络上所发生和进行的全局动态过程联系起来。
-===投影动力系统===
+<math>\dfrac{dx(t)}{dt}\Pi_{K}(x(t),-F(x(t)))</math>
 ===符号动力学===
-[[符号动力学]] Symbolic Dynamics 是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态(演化)由移位运算符给出。
+[[符号动力学]] symbolic dynamics 利用无限长的抽象符号序列所构成的离散空间，来对拓扑动力系统或光滑动力系统建模。每个抽象符号都对应一个系统状态，并且系统状态演化的动力学方程，由移位算子 shift operator 对抽象符号序列的作用而给出。
 ===系统动力学===
-[[系统动力学]] System Dynamics 是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)<!-- Bot generated title -->]</ref>。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量 stocks和流量 flows的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。
+[[系统动力学]] system dynamics 是一种方法，用于理解随时间变化的系统行为。这种方法关注于，受内部反馈回路和时间延迟所影响的，系统的整体行为和状态<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)<!-- Bot generated title -->]</ref>。不同于其他研究动力系统的方法，系统动力学使用以下两个要素：反馈回路以及存量与流量。这些要素有助于描述看似简单的系统如何表现出令人费解的非线性行为。
 ===拓扑动力学===
-[[拓扑动力学]] Topological Dynamics 是动力系统理论的一个分支。在拓朴动力学中，动力系统的定性性质和渐近性质是从一般拓扑学的观点来研究的。
+[[拓扑动力学]] topological dynamics 是动力系统理论的一个分支。它以一般拓扑学的观点来研究动力系统的性质和具有渐近属性的性质。
 == 应用==
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-* [[贝克地图]] Baker's map
+* [[面包师映射]] Baker's map
-* [[分支理论]] bifurcation theory
+* [[分岔理论]] Bifurcation theory
 * [[动力系统]] Dynamical system
-* [[具身嵌入认知]] Embodied Embedded Cognition
+* [[具身嵌入认知]] Embodied embedded cognition
 * [[斐波那契数]] Fibonacci numbers
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 * [[分形]] Fractals
-* Gingerbreadman map
+* 姜饼人映射 Gingerbreadman map
-* [[Halo 轨道]] Halo orbit
+* [[晕轨道]] Halo orbit
-* [[振动性]] Oscillation
+* [[振荡性]] Oscillation
-* Postcognitivism
+* 后认知主义 Postcognitivism
-* [[递归神经网络]] Recurrent neural network
+* [[循环神经网络]] Recurrent neural network
 * [[组合数学和动力系统]] Combinatorics and dynamical systems
-* [[协同学]] Synergetics Haken
+* [[协同学]] Synergetics (Haken)
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−	'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]~~），那么~~	+	'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。
−	~~描述这个系统的方程就是~~[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

	动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑 <math>\mathcal F</math> 为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里 <math>f'\in\mathcal F</math> 是函数 <math>f</math> 的导函数，那么我们就称算子 <math>O</math> 为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transformation）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。		动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑 <math>\mathcal F</math> 为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里 <math>f'\in\mathcal F</math> 是函数 <math>f</math> 的导函数，那么我们就称算子 <math>O</math> 为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transformation）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

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−	'''动力系统理论 ~~dynamical systems theory~~'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么	+	'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么
	描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。		描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

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 动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑<math>\mathcal F</math>为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里<math>f'\in\mathcal F</math>是函数<math>f</math>的导函数，那么我们就称算子<math>O</math>为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transform）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。
-从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从[[欧拉-拉格朗日方程]]方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意，这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程，包括动力学方程和运动学方程。而后者，运动学方程，专指比较简单的情况，例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前,运动学方程主要出现在高中物理教材，以及机器人学方面的材料中。
+从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从[[欧拉-拉格朗日方程]]方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意，这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程，包括动力学方程和运动学方程。而后者，运动学方程，专指比较简单的情况，例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前，运动学方程主要出现在高中物理教材，以及机器人学方面的材料中。
 这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究，研究系统运动方程的基本性质以及方程的解（当可解的时候）。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统，例如行星轨道和电子电路，以及出现在[[生物学]]、[[经济学]]、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究一种特殊的动力系统，即[[混沌系统]] chaotic systems，这种系统初始状态的微小差异会导致完全不同的系统演化过程。

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 从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从[[欧拉-拉格朗日方程]]方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意，这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程，包括动力学方程和运动学方程。而后者，运动学方程，专指比较简单的情况，例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前,运动学方程主要出现在高中物理教材，以及机器人学方面的材料中。
-这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究，研究系统运动方程的基本性质以及方程的解（当可解的时候）。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统，例如行星轨道和电子电路，以及出现在[[生物学]]、[[经济学]]、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究一种特殊的动力系统，即[[混沌系统]] chaotic systems，指的是系统初始状态的微小差异会导致完全不同的系统演化过程。
+这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究，研究系统运动方程的基本性质以及方程的解（当可解的时候）。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统，例如行星轨道和电子电路，以及出现在[[生物学]]、[[经济学]]、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究一种特殊的动力系统，即[[混沌系统]] chaotic systems，这种系统初始状态的微小差异会导致完全不同的系统演化过程。
 动力系统理论这一研究领域，也被称为动力系统 dynamical system、动态系统 dynamic system、动力学系统、数学动力系统理论 mathematical dynamical systems theory、或动力学系统的数学理论 the mathematical theory of dynamical systems。

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−	'''动力系统理论 dynamical systems theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation ~~、也常被称为动力方程、动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程~~ dynamic ~~process。还有一些情境下的动力系统可以由~~[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。	+	'''动力系统理论 dynamical systems theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、或动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。若系统的时间变量只在一些时间区间上离散，而在其他时间区间上连续或在任意时间区间所构成的集合上连续（例如 [[Cantor集]]），那么
		+	描述这个系统的方程就是[[时标上的动态方程]] dynamic equations on time scales。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。

	动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑<math>\mathcal F</math>为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里<math>f'\in\mathcal F</math>是函数<math>f</math>的导函数，那么我们就称算子<math>O</math>为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transform）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。		动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑<math>\mathcal F</math>为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里<math>f'\in\mathcal F</math>是函数<math>f</math>的导函数，那么我们就称算子<math>O</math>为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transform）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。

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-'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''是数学领域中的一部分．主要在描述复杂的动力系统，一般会用微分方程或差分方程来表示。当采用微分方程时，该理论被称为“连续动力系统”，若用差分方程来表示，则称为“离散动力系统”。若其时间只在一些特定区域连续，在其余区域离散，或时间是任意的时间集合(像康托尔集)，需要用时标微积分来处理。有时也会需要用混合的算子来处理，像微分差分。从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广，也是运动方程的推广，不受极小作用原理[[欧拉-拉格朗日方程]]的约束。当采用差分方程时，该理论被称为[[离散动力系统]]。当时间变量运行在一个某些区间离散、其他区间连续的集合、或者像 [[Cantor集]]一样任意的时间集合上时，人们就能得到时间尺度上的动力方程。[[算子]] Operators是一个函数空间到函数空间上的映射O：X→X，广义的讲，对任何函数进行某一项操作都可以认为是一个算子，如求幂次、求微分等。某些情况下，也可以用[[混合算子]] Mixed Operators来建模，如微分-差分方程。
+'''动力系统理论 dynamical systems theory'''，也常译作动力学理论、或动态系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程 dynamic equation 、也常被称为动力方程、动力学方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。还有一些情境下的动力系统可以由[[微分-差分方程]] differential-difference equations<ref> Bellman, R. E., & Cooke, K. L. (1963). Differential-difference equations. </ref> 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由[[时滞微分方程]] delay differential equation 来描述。
-该理论涉及动力学系统的长期定性行为，研究了通常以机械或物理性质为主的系统(例如行星轨道和行星)的运动方程式的性质以及其常用的的解决方案，电子电路的求解方式以及[[生物学]]，[[经济学]]等领域产生的系统。许多现代研究集中在[[混沌系统]]的研究上。
+动力系统也可以由算子方程来描述。[[算子]] operators ，在物理学领域一般译为算符，它是函数空间到函数空间的映射。物理学中的这个函数空间一般指[[希尔伯特空间]]，其中的元素表示物理状态。考虑函数空间 <math>\mathcal F_1,F_2</math> ，算子<math>O:\mathcal F_1 \to \mathcal F_2</math> 就是说，它把函数空间<math>\mathcal F_1</math>中的元素映射为<math>\mathcal F_2</math>中的元素。例如我们考虑<math>\mathcal F</math>为一元光滑函数空间，由一元无限可导函数构成，若有算子<math>O:\mathcal F \to \mathcal F</math> 满足 <math>\forall f\in\mathcal F,\ O(f)=f'</math>，这里<math>f'\in\mathcal F</math>是函数<math>f</math>的导函数，那么我们就称算子<math>O</math>为“微分算子” differential operator。类似地，其他对函数的映射（有时也称为“操作” operation，或“变换” transform）也可以被看做是算子，例如傅里叶变换等。从这种角度来看，微分方程和差分方程，也可以在一定条件下被看作是微分/差分算子方程。
-这个研究领域也被称为动力学系统，数学动力学系统理论或动力学系统数学理论。
+从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从[[欧拉-拉格朗日方程]]方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。注意，这里所说的运动方程 equations of motion 不应与运动学方程 kinematic equations 相混淆。前者是对运动 motion 建模而成的方程，包括动力学方程和运动学方程。而后者，运动学方程，专指比较简单的情况，例如只考虑加速度为常数时的运动方程。目前,运动学方程主要出现在高中物理教材，以及机器人学方面的材料中。
-[[File:360px-Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|400px|right|[[Lorenz attractor]]是一个典型的非线性动态系统。研究这个系统有助于对[[混沌理论]]进行发展。]]
 ==综述 ==