吸引子 - 版本历史

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奇异吸引子

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奇异吸引子

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数学定义

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数学定义

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数学定义

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另见

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偏微分方程

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吸引子表征系统的演化

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−	术语“奇异吸引子”由David Ruelle和Floris Takens提出，用来描述吸引子——产生于刻画流体的系统的一系列分叉。<ref>{{cite journal \|last=Ruelle \|first=David \|last2=Takens \|first2=Floris \|date=1971 \|title=On the nature of turbulence \|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103857186 \|journal=Communications in Mathematical Physics \|volume=20 \|issue=3 \|pages=167–192 \|doi=10.1007/bf01646553}}</ref>奇异吸引子通常在几个方向上可微，但有些吸引子与康托尘类似，因此不可微。在噪声条件下，人们也能发现奇异吸引子，这可以用来支持Sinai-Ruelle-Bowen型的不变随机概率测度。<ref name="Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures">{{cite journal\|author1=Chekroun M. D. \|author2=Simonnet E. \|author3=Ghil M. \|author-link3=Michael Ghil ~~\|name-list-style=amp~~ \|year = 2011 \|title = Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures \|journal = Physica D \|volume = 240 \|issue = 21 \|pages = 1685–1700 \|doi = 10.1016/j.physd.2011.06.005\|citeseerx=10.1.1.156.5891 }}</ref>	+	术语“奇异吸引子”由David Ruelle和Floris Takens提出，用来描述吸引子——产生于刻画流体的系统的一系列分叉。<ref>{{cite journal \|last=Ruelle \|first=David \|last2=Takens \|first2=Floris \|date=1971 \|title=On the nature of turbulence \|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103857186 \|journal=Communications in Mathematical Physics \|volume=20 \|issue=3 \|pages=167–192 \|doi=10.1007/bf01646553}}</ref>奇异吸引子通常在几个方向上可微，但有些吸引子与康托尘类似，因此不可微。在噪声条件下，人们也能发现奇异吸引子，这可以用来支持Sinai-Ruelle-Bowen型的不变随机概率测度。<ref name="Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures">{{cite journal\|author1=Chekroun M. D. \|author2=Simonnet E. \|author3=Ghil M. \|author-link3=Michael Ghil \|year = 2011 \|title = Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures \|journal = Physica D \|volume = 240 \|issue = 21 \|pages = 1685–1700 \|doi = 10.1016/j.physd.2011.06.005\|citeseerx=10.1.1.156.5891 }}</ref>

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 [[file:Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|200px|right|洛伦兹奇异吸引子的图，&nbsp;''ρ''&nbsp;=&nbsp;28,&nbsp;''σ''&nbsp;=&nbsp;10,&nbsp;''β''&nbsp;=&nbsp;8/3]]
-如果吸引子具有分形结构，则称为“奇异”。这种情况通常发生在在当它的动力学系统符合混沌理论时，但是奇异的非混沌吸引子也存在。如果一个奇异吸引子是混沌的，表现出对初始条件的敏感依赖性，那么在吸引子上两个任意接近的备选初始点经过多次迭代后，都会指向任意相距很远的点（受吸引子的限制），而在经历其他次数的迭代之后，会指向任意接近的点。因此，具有混沌吸引子的动态系统是局部不稳定但全局稳定的：一旦一些序列进入吸引子，附近的点就会发散，但不会离开。<ref>{{cite journal | author = Grebogi Celso, Ott Edward, Yorke James A | year = 1987 | title = Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics | url = | journal = Science | volume = 238 | issue = 4827| pages = 632–638 | doi = 10.1126/science.238.4827.632 | pmid = 17816542 | bibcode = 1987Sci...238..632G }}</ref>
+如果吸引子具有分形结构，则称为“奇异”。这种情况通常发生在在当它的动力学系统符合混沌理论时，但是奇异的非混沌吸引子也存在。如果一个奇异吸引子是混沌的，表现出对初始条件的敏感依赖性，那么在吸引子上两个任意接近的备选初始点经过多次迭代后，都会指向任意相距很远的点（受吸引子的限制），而在经历其他次数的迭代之后，会指向任意接近的点。因此，具有混沌吸引子的动态系统是局部不稳定但全局稳定的：一旦一些序列进入吸引子，附近的点就会发散，但不会离开。<ref>{{cite journal | author = Grebogi Celso, Ott Edward, Yorke James A | year = 1987 | title = Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics | url = | journal = Science | volume = 238 | issue = 4827| pages = 632–638 | doi = 10.1126/science.238.4827.632}}</ref>
-术语“奇异吸引子”由David Ruelle和Floris Takens提出，用来描述吸引子——产生于刻画流体的系统的一系列分叉。<ref>{{cite journal |last=Ruelle |first=David |last2=Takens |first2=Floris |date=1971 |title=On the nature of turbulence |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103857186 |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=20 |issue=3 |pages=167–192 |doi=10.1007/bf01646553}}</ref>奇异吸引子通常在几个方向上可微，但有些吸引子与康托尘类似，因此不可微。在噪声条件下，人们也能发现奇异吸引子，这可以用来支持Sinai-Ruelle-Bowen型的不变随机概率测度。<ref name="Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures">{{cite journal|author1=Chekroun M. D. |author2=Simonnet E. |author3=Ghil M. |author-link3=Michael Ghil |name-list-style=amp |year = 2011 |title = Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures |Examples of strange attractors include the double-scroll attractor, Hénon attractor, Rössler attractor, and Lorenz attractor. |journal = Physica D |volume = 240 |issue = 21 |pages = 1685–1700 |doi = 10.1016/j.physd.2011.06.005|citeseerx=10.1.1.156.5891 }}</ref>
+术语“奇异吸引子”由David Ruelle和Floris Takens提出，用来描述吸引子——产生于刻画流体的系统的一系列分叉。<ref>{{cite journal |last=Ruelle |first=David |last2=Takens |first2=Floris |date=1971 |title=On the nature of turbulence |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103857186 |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=20 |issue=3 |pages=167–192 |doi=10.1007/bf01646553}}</ref>奇异吸引子通常在几个方向上可微，但有些吸引子与康托尘类似，因此不可微。在噪声条件下，人们也能发现奇异吸引子，这可以用来支持Sinai-Ruelle-Bowen型的不变随机概率测度。<ref name="Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures">{{cite journal|author1=Chekroun M. D. |author2=Simonnet E. |author3=Ghil M. |author-link3=Michael Ghil |name-list-style=amp |year = 2011 |title = Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures |journal = Physica D |volume = 240 |issue = 21 |pages = 1685–1700 |doi = 10.1016/j.physd.2011.06.005|citeseerx=10.1.1.156.5891 }}</ref>

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 设t表示时间，设f(t,•)为指定系统动力学的函数。也就是说，如果a是n维相空间中一个表示系统初始状态的点，那么f(0,a)=a。对于t的正值，f(t,a)是该状态在t个时间单位之后演化的结果。例如，如果系统描述了自由粒子在一维空间中的演化，那么相空间是坐标为(x,v)的平面 '''R'''<sup>2</sup> ，其中x是粒子的位置，v是粒子的速度，a&nbsp;=&nbsp;(x,v),由以下给出
-[[file:Julia_immediate_basin_1_3.png |右|thumb|吸引周期-3旋回及其对''f''（''z''）参数化的直接吸引域。三个最暗的点是3循环的点，它们按顺序相互连接，从吸引域中的任何点迭代都会（通常是渐进的）收敛到这三个点的序列。]]
+[[file:Julia_immediate_basin_1_3.png |右|thumb|吸引周期-3旋回及其对f(z)&nbsp;=&nbsp;z<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;c参数化的直接吸引域。三个最暗的点是3循环的点，它们按顺序相互连接，从吸引域中的任何点迭代都会（通常是渐进的）收敛到这三个点的序列。]]
 : <math> f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ </math>

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 设t表示时间，设f(t,•)为指定系统动力学的函数。也就是说，如果a是n维相空间中一个表示系统初始状态的点，那么f(0,a)=a。对于t的正值，f(t,a)是该状态在t个时间单位之后演化的结果。例如，如果系统描述了自由粒子在一维空间中的演化，那么相空间是坐标为(x,v)的平面 '''R'''<sup>2</sup> ，其中x是粒子的位置，v是粒子的速度，a&nbsp;=&nbsp;(x,v),由以下给出
-[[file:Julia_immediate_basin_1_3.png |右|拇指|吸引周期-3旋回及其对“f”（“z”）参数化的直接吸引域。三个最暗的点是3循环的点，它们按顺序相互连接，从吸引域中的任何点迭代都会（通常是渐进的）收敛到这三个点的序列。]]
+[[file:Julia_immediate_basin_1_3.png |右|thumb|吸引周期-3旋回及其对“f”（“z”）参数化的直接吸引域。三个最暗的点是3循环的点，它们按顺序相互连接，从吸引域中的任何点迭代都会（通常是渐进的）收敛到这三个点的序列。]]
 f(z)&nbsp;=&nbsp;z<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;c某一特定参数的吸引3-周期循环及其直接吸引池。最暗的三个点是3-周期循环的点，它们依次引出，从吸引域中的任何一点迭代都会（通常是渐近的）收敛到这三个点的序列。
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 在文献中有吸引子的其他定义出现。例如，一些作者要求吸引子具有正测度（防止一个点成为吸引子），另一些作者则弱化了B(A)作为一个邻域的要求。<ref>{{cite journal | author=John Milnor | author-link=John Milnor | title= On the concept of attractor | journal=Communications in Mathematical Physics | year=1985 | volume=99 | pages=177–195| doi= 10.1007/BF01212280 | issue=2}}</ref>
 ==吸引子的类型==

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 == 另见==
 *[[循环检测]]
-*[双曲线集][]
+*[[双曲线集]]
 *[[稳定流形]]
 *[[稳态]]
 ==参考文献==

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 == 偏微分方程 ==
-[[File:Chua-chaotic-hidden-attractor.jpg|thumb|
+抛物型偏微分方程可能具有有限维吸引子。在某些情况下，方程的扩散部分会阻抑更高的频率，触发一个全局吸引子。金兹堡－朗道方程 Ginzburg-Landau equations 、 [[K-S方程]] Kuramoto-Sivashinsky equations和二维强迫纳维-斯托克斯方程 forced Navier–Stokes equation都具有有限维的全局吸引子。
-抛物型偏微分方程可能具有有限维吸引子。在某些情况下，方程的扩散部分会阻抑更高的频率，触发一个全局吸引子。金兹堡－朗道方程 Ginzburg-Landau equations 、 [[K-S方程]] Kuramoto-Sivashinsky equations和二维强迫纳维-斯托克斯方程 forced Navier–Stokes equation都具有有限维的全局吸引子。
+对于具有周期性边界条件的三维不可压缩 Navier-Stokes 方程，如果它具有全局吸引子，则该吸引子将是有限维的。<ref>[[Geneviève Raugel]], Global Attractors in Partial Differential Equations, ''Handbook of Dynamical Systems'', Elsevier, 2002, pp. 885–982.</ref>
 == 另见==

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-[[File:Matplotlib.svg|350px |thumb|右|分岔图[[逻辑图]]。参数“r”所有的吸引子显示在区间<math>0<x<1</math>的纵坐标上。点的颜色表示在10<sup>6</sup>次迭代过程中访问点<math>（r，x）</math>的频率：经常遇到的值用蓝色表示，不太常见的值用黄色表示。在<math>r\approx3.0</math>附近出现[[分岔]]，在<math>r\approx3.5</math>附近出现第二个分岔（导致四个吸引子值）。当<math>r>3.6</math>时，行为变得越来越复杂，中间穿插着简单行为区域（白色条纹）。|链接=Special:FilePath/Matplotlib.svg]]
+[[File:Logistic_Map_Bifurcation_Diagram,_Matplotlib.svg.png|350px |thumb|右|分岔图[[逻辑图]]。参数“r”所有的吸引子显示在区间<math>0<x<1</math>的纵坐标上。点的颜色表示在10<sup>6</sup>次迭代过程中访问点<math>（r，x）</math>的频率：经常遇到的值用蓝色表示，不太常见的值用黄色表示。在<math>r\approx3.0</math>附近出现[[分岔]]，在<math>r\approx3.5</math>附近出现第二个分岔（导致四个吸引子值）。当<math>r>3.6</math>时，行为变得越来越复杂，中间穿插着简单行为区域（白色条纹）。|链接=Special:FilePath/Matplotlib.svg]]
-动力学方程的参数随着方程的迭代而变化，具体值可能取决于初始参数。一个例子是得到深入研究的逻辑图，<math>x{n+1}=rx\u n（1-xün）</math>，图中显示了参数''r''各种值的吸引域。如果<math>r=2.6</math>，则<math>x<0</math>的所有''x''值将迅速使函数值变为负无穷大；<math>x>0</math>的起始''x''值将变为正无穷大。但是对于<math>0<x<1</math>，''x''值会迅速收敛到<math>x\approx0.615</math>，也就是说，在这个''r''值下，''x''的单个值是函数行为的吸引子。对于''r''的其他值，''x''可以取多个值：如果''r''为3.2，<math>0<x<1</math>的起始值将导致函数值在<math>x\approx0.513</math>和<math>x\approx0.799</math>之间交替。在''r''的某些值处，吸引子是一个单点（“不动点”），在''r''的其他值处，依次访问''x''的两个值（倍周期分岔）；在''r''的其他值处，依次访问任意数量的''x''值；最后，对于''r''的某些值，访问无穷多个点。因此，同一个动力学方程可以有不同类型的吸引子，这取决于它的起始参数。
+动力学方程的参数随着方程的迭代而变化，具体值可能取决于初始参数。一个例子是得到深入研究的逻辑图，<math>x_{n+1}=rx_n(1-x_n)</math>，图中显示了参数''r''各种值的吸引域。如果<math>r=2.6</math>，则<math>x<0</math>的所有''x''值将迅速使函数值变为负无穷大；<math>x>0</math>的起始''x''值将变为正无穷大。但是对于<math>0<x<1</math>，''x''值会迅速收敛到<math>x\approx0.615</math>，也就是说，在这个''r''值下，''x''的单个值是函数行为的吸引子。对于''r''的其他值，''x''可以取多个值：如果''r''为3.2，<math>0<x<1</math>的起始值将导致函数值在<math>x\approx0.513</math>和<math>x\approx0.799</math>之间交替。在''r''的某些值处，吸引子是一个单点（“不动点”），在''r''的其他值处，依次访问''x''的两个值（倍周期分岔）；在''r''的其他值处，依次访问任意数量的''x''值；最后，对于''r''的某些值，访问无穷多个点。因此，同一个动力学方程可以有不同类型的吸引子，这取决于它的起始参数。
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 ==吸引池==
 同样地，动态向量X中的线性矩阵差分方程，如果a的最大特征值绝对值大于1，则动态向量X中的所有元素<math>X_t=AX_{t-1}</math> 都将发散到无穷大；不存在吸引子和吸引池。但如果最大特征值小于1，则所有初始向量将渐近收敛于零向量，即零为吸引子；潜在初始向量的整个n维空间就是'''吸引池 basin of attraction'''。