因果几何 - 版本历史

千伏电压：/* 连续空间随机映射 */

2024-04-25T09:50:44Z

连续空间随机映射

千伏电压：/* 因果几何 */

2024-04-22T08:51:33Z

因果几何

千伏电压：/* 因果几何 */

2024-04-22T08:50:56Z

因果几何

千伏电压：/* 因果几何 */

2024-04-22T08:46:32Z

因果几何

千伏电压：/* 因果几何 */

2024-04-22T08:45:24Z

因果几何

千伏电压：/* 因果几何 */

2024-04-22T08:36:53Z

因果几何

千伏电压：/* 人工干预与干预噪声 */

2024-04-22T08:29:00Z

人工干预与干预噪声

千伏电压：/* 因果几何 */

2024-04-22T08:25:47Z

因果几何

千伏电压：/* 黎曼流形 */

2024-04-22T08:23:17Z

黎曼流形

千伏电压：/* 黎曼流形 */

2024-04-22T08:19:10Z

黎曼流形

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第81行：		第81行：

	这就是连续映射函数EI的公式。当噪声水平低时，与离散映射相比，连续映射可以表现出更高的EI。然而，随着噪声水平的增加，对映射函数进行离散化可以产生具有更高EI的模型。这种现象有助于解释为什么数字电路最终在减轻噪声干扰方面优于模拟电路；数字电路的二值化和粗粒度策略抑制了噪声的传播和扩散。		这就是连续映射函数EI的公式。当噪声水平低时，与离散映射相比，连续映射可以表现出更高的EI。然而，随着噪声水平的增加，对映射函数进行离散化可以产生具有更高EI的模型。这种现象有助于解释为什么数字电路最终在减轻噪声干扰方面优于模拟电路；数字电路的二值化和粗粒度策略抑制了噪声的传播和扩散。
		+	[[文件:截屏2024-04-25 17.43.59.png\|缩略图\|台灯旋钮的噪声与因果涌现]]
		+
		+	=== 应用案例：台灯旋钮 ===
		+	我们一般会通过操控台灯旋钮的位置<math>x
		+
		+	</math>来调节台灯的亮度<math>y
		+
		+
		+	</math>，但实际上亮度不是直接由我们调整位置决定，而是取决于其调节旋钮内置的滑动变阻器的电阻大小<math>\theta
		+
		+	</math>。
		+
		+	而通过旋钮调节电阻，电阻影响光强，在现实中都会存在一定的误差，我们用<math>y=\theta+\varepsilon
		+
		+
		+	</math>和<math>\theta=x+\delta
		+
		+
		+	</math>描述两个误差的产生，前者表示观测误差，后者表示敢于误差。
		+
		+	随着误差的增大，可以发现，系统的有效信息会降低。但此时，如果把我们的开关看出二元变量，即指存在开关两种状态，那么就会出现有效信息下降变慢的状况，这时就产生了因果涌现。

	==信息几何==		==信息几何==

@@ 第192行： / 第192行： @@
 </math>和<math>m=L=n
 </math>来减少自由参数的数量，<math>I_n
-</math>$是大小为<math>n
+</math>是大小为<math>n
-</math>的单位矩阵，<math>V_I=\int_\Theta\sqrt｛|\det(h{\mu\nu})|}d^L\Theta
+</math>的单位矩阵，<math>V_I=\int_\Theta\sqrt{|\det(h{\mu\nu})|}d^L\Theta
-</math>$$。
+</math>。

@@ 第181行： / 第181行： @@
 </math>，度量为<math>h_{\mu\nu}=-\mathbb{E}_{\tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\ln \tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)
 </math>。其中<math>\tilde{q}\equiv \frac{q(\theta|\mathbf{x})}{\int q(\theta|\mathbf{x})d\mathbf{x}}
-</math>，<math>$\partial_{\mu}=\partial/\partial \theta_{\mu}$
+</math>，<math>\partial_{\mu}=\partial/\partial \theta_{\mu}
 </math>。效应和干预两个流形合在一起称为因果几何。

@@ 第178行： / 第178行： @@
 在这种情况下，可以获得两个流形：效应流形<math>\mathcal{M}_E=\{p(\mathbf{y}|\theta)\}_{\theta}
 </math>$$，度量为<math>g_{\mu\nu}=-\mathbb{E}_{p(\mathbf{y}|\theta)}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\ln p(\mathbf{y}|\theta)
-</math>；干预流形<math>\mathcal{M}_I=\{\Tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)\}_{\theta\in \Theta}
+</math>；干预流形<math>\mathcal{M}_I=\{\tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)\}_{\theta\in \Theta}
-</math>，度量为<math>h_{\mu\nu}=-\mathbb{E}_{\Tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\ln \Tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)
+</math>，度量为<math>h_{\mu\nu}=-\mathbb{E}_{\tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\ln \tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)
-</math>。其中<math>\Tilde{q}\equiv \frac{q(\theta|\mathbf{x})}{\int q(\theta|\mathbf{x})d\mathbf{x}}
+</math>。其中<math>\tilde{q}\equiv \frac{q(\theta|\mathbf{x})}{\int q(\theta|\mathbf{x})d\mathbf{x}}
 </math>，<math>$\partial_{\mu}=\partial/\partial \theta_{\mu}$
 </math>。效应和干预两个流形合在一起称为因果几何。

@@ 第160行： / 第160行： @@
 为了将信息几何推广到具有干预噪声和观测噪声的情况，需要引入一个新的维度为<math>l
-</math>的中间变量<math>\theta\subet\mathcal{R}^l
+</math>的中间变量<math>\theta\subset\mathcal{R}^l
 </math>，使得我们不能通过直接干预<math>\mathbf{x}
@@ 第175行： / 第175行： @@
 </math>。

@@ 第79行： / 第79行： @@
 <math>EI\approx -\frac{1}{2}\int_{-1/2}^{1/2}\ln\left[\left(\frac{\epsilon}{f'(x)}\right)^2+\delta^2\right]dx.
 </math>
 ==信息几何==
@@ 第156行： / 第158行： @@
 == 因果几何 ==

@@ 第54行： / 第54行： @@
 </math>是干预后均匀分布的超参数。
-干预噪声被添加到输入（干预）变量<math>x
+为了增加真实性，干预噪声被添加到输入（干预）变量<math>x
 </math>。干预噪声表示为<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\delta^2)

@@ 第80行： / 第80行： @@
 </math>
-==因果几何==
+==信息几何==
 连续映射EI的表达式可以扩展到更高的维度，假设<math>\mathbf{x}\in[-L/2，L/2]^n\subset\mathcal{R}^n
@@ 第110行： / 第108行： @@
 </math>是行列式。
-==== 黎曼流形 ====
+=== Fisher信息量 ===
 给定<math>\mathbf{x}
@@ 第127行： / 第125行： @@
 </math>
-它测量了随机映射<math>p(\mathbf{y}|\mathbf{x})
+=== 黎曼流形 ===
 </math>对<math>\mathbf{y}
@@ 第156行： / 第155行： @@
 </math>都可以理解为局部高斯分布的级联。
-=== 中间量与数据集个体数据的独立性 ===
+== 因果几何 ==

@@ 第144行： / 第144行： @@
 </math>的所有可能分布。这就是本框架中“几何”一词的由来。
-协同披露中，数据集，潜在特性，中间量之间存存在马尔可夫动力学的性质。
+最后，我们可以使用Fisher信息度量获得EI的表达式：
-所谓的马尔可夫动力学是指系统的下一时刻状态只依赖于上一时刻的状态，并且与再之前的状态无关。马尔可夫动力学可以区分为离散时间、连续时间，离散状态、连续状态，以及它们的组合等多种。
+</math>
-由于<math>W</math>可以通过<math>X</math>直接数据披露产生，故可以定义，<math>W</math>对于<math>X</math>有马尔可夫依赖。由于<math>Y</math>是从数据集<math>X</math>中变化产生，故<math>Y</math>对<math>X</math>也存在马尔可夫依赖。因此可以用，<math>p_{W|X}</math>和<math>p_{Y|X}</math>两个条件表示<math>W</math>对<math>X</math>，<math>Y</math>对<math>X</math>的映射关系。这样<math>W-X-Y</math>就可以构成一条马尔科夫链。<ref name=":0">Rassouli, B. ,  Rosas, F. E. , &  Gunduz, D. . (2019). Data disclosure under perfect sample privacy. IEEE Transactions on Information Forensics and Security, PP(99), 1-1. </ref><ref name=":2">Rosas FE, Mediano PAM, Jensen HJ, Seth AK, Barrett AB, Carhart-Harris RL, et al. (2020) Reconciling emergences: An information-theoretic approach to identify causal emergence in multivariate data. PLoS Comput Biol 16(12): e1008289.</ref>
+</math>的整个流形<math>p(\mathbf{y}|\mathbf{x})
 === 中间量与数据集个体数据的独立性 ===

@@ 第130行： / 第130行： @@
 </math>对<math>\mathbf{y}
-</math>变化的敏感性，其中<math>\frac{\partial}{\partial \mathbf{x}_{\mu}}
+</math>变化的敏感性，其中<math>\partial_{\mu}\equiv\frac{\partial}{\partial \mathbf{x}_{\mu}}
 </math>表示关于<math>\mathbf{x}