基于可逆性的因果涌现理论 - 版本历史

Jake：/* 具体例子 */

2026-04-19T13:23:06Z

具体例子

2025-11-04T06:36:13Z

具体例子

2025-11-04T06:35:00Z

具体例子

2025-11-04T06:34:29Z

高斯噪声迭代系统的近似动力学可逆性

2025-11-04T06:33:37Z

高斯噪声迭代系统的近似动力学可逆性

2025-11-04T06:30:08Z

连续系统具体案例

2025-11-04T06:29:43Z

离散化布朗运动

2025-11-04T06:29:17Z

连续系统具体案例

2025-11-04T06:26:22Z

维度平均

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因果涌现的量化指标

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 ===具体例子===
 我们以一个具体案例展示，（<math>x_{t+1}=ax_t+\varepsilon_t</math>，这里<math>\varepsilon_t</math>是高斯噪音，方差为<math>\sigma</math>）为例，展示了因果效应强度（有效信息<math>\mathcal{J}</math>）与近似动力学可逆性（<math>\gamma</math>）的相关性，如图所示，每张图的左侧为因变量的分布，右侧为果变量的分布。图5从左到右，因果效应逐渐增强，近似动力学可逆性也在增强。上下对应的两张图中的动力学相同，但是输入分布不同，因此它们的因果效应强度和动力学可逆性也都完全相同，即动力学可逆性只与动力学有关。
 [[文件:Distribution gamma.png|750x750像素]]

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 ===具体例子===
-我们以一个具体案例展示，（<math>x_{t+1}=ax_t+\varepsilon_t</math>，这里<math>\varepsilon_t</math>是高斯噪音，方差为<math>\sigma</math>）为例，展示了因果效应强度（有效信息<math>\mathcal{J}</math>）与近似动力学可逆性（<math>\gamma</math>）的相关性，如图5所示，每张图的左侧为因变量的分布，右侧为果变量的分布。图5从左到右，因果效应逐渐增强，近似动力学可逆性也在增强。上下对应的两张图中的动力学相同，但是输入分布不同，因此它们的因果效应强度和动力学可逆性也都完全相同，即动力学可逆性只与动力学有关。
+我们以一个具体案例展示，（<math>x_{t+1}=ax_t+\varepsilon_t</math>，这里<math>\varepsilon_t</math>是高斯噪音，方差为<math>\sigma</math>）为例，展示了因果效应强度（有效信息<math>\mathcal{J}</math>）与近似动力学可逆性（<math>\gamma</math>）的相关性，如图所示，每张图的左侧为因变量的分布，右侧为果变量的分布。图5从左到右，因果效应逐渐增强，近似动力学可逆性也在增强。上下对应的两张图中的动力学相同，但是输入分布不同，因此它们的因果效应强度和动力学可逆性也都完全相同，即动力学可逆性只与动力学有关。
 [[文件:Distribution gamma.png|750x750像素]]

@@ 第272行： / 第272行： @@
 ===具体例子===
 我们以一个具体案例展示，（<math>x_{t+1}=ax_t+\varepsilon_t</math>，这里<math>\varepsilon_t</math>是高斯噪音，方差为<math>\sigma</math>）为例，展示了因果效应强度（有效信息<math>\mathcal{J}</math>）与近似动力学可逆性（<math>\gamma</math>）的相关性，如图5所示，每张图的左侧为因变量的分布，右侧为果变量的分布。图5从左到右，因果效应逐渐增强，近似动力学可逆性也在增强。上下对应的两张图中的动力学相同，但是输入分布不同，因此它们的因果效应强度和动力学可逆性也都完全相同，即动力学可逆性只与动力学有关。
-[[文件:Distribution gamma.png|587x587像素]]
+[[文件:Distribution gamma.png|750x750像素]]
 =有效信息（EI）与近似动力学可逆性=

@@ 第272行： / 第272行： @@
 ===具体例子===
 我们以一个具体案例展示，（<math>x_{t+1}=ax_t+\varepsilon_t</math>，这里<math>\varepsilon_t</math>是高斯噪音，方差为<math>\sigma</math>）为例，展示了因果效应强度（有效信息<math>\mathcal{J}</math>）与近似动力学可逆性（<math>\gamma</math>）的相关性，如图5所示，每张图的左侧为因变量的分布，右侧为果变量的分布。图5从左到右，因果效应逐渐增强，近似动力学可逆性也在增强。上下对应的两张图中的动力学相同，但是输入分布不同，因此它们的因果效应强度和动力学可逆性也都完全相同，即动力学可逆性只与动力学有关。
-[[文件:Distribution gamma.png|缩略图]]
+[[文件:Distribution gamma.png|587x587像素]]
 =有效信息（EI）与近似动力学可逆性=

@@ 第269行： / 第269行： @@
 \Gamma
 </math>测量确定性和简并性的综合影响。
 =有效信息（EI）与近似动力学可逆性=

@@ 第689行： / 第689行： @@
 得到协方差矩阵<math>\Sigma^{-1}</math>和<math>A^T\Sigma^{-1} A</math>的奇异值谱后，我们可以计算具体的粗粒化策略，得到图f中的矩阵W。通过粗粒化策略的求解，我们可以得到如图f所示的粗粒化参数矩阵<math>W</math>，其保留了<math>x_1,x_2,x_3,x_5</math>四个维度，从图e可看出在使用高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略后得到的因果涌现指标<math>\Delta\Gamma_\alpha^{W}(\epsilon)</math>，会比直接截取<math>U</math>或<math>V</math>得到的对应因果涌现大小<math>\Delta\Gamma_\alpha^{U_1}(\epsilon)</math>、<math>\Delta\Gamma_\alpha^{V_1}(\epsilon)</math>略更接近理论最大的<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)</math>。
-[[文件:离散化布朗运动图像.png|替代=|450x450像素]]
+[[文件:离散化布朗运动图像.png|替代=|700x700像素]]
 ===SIR模型===

@@ 第235行： / 第235行： @@
 进一步，可以可逆性指标取对数并去掉常数项，得到维度平均的指标
 <blockquote>
-<math> \hat\gamma_\alpha=\gamma_\alpha-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right)=\frac{1}{n}\ln\Gamma_\alpha-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right)=\frac{1}{n}(\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{4})\sum_{i=1}^{r}\ln s_i+\frac{\alpha}{4n}\sum_{i=1}^{n}\ln\kappa_i
+<math> \gamma_\alpha=\hat\gamma_\alpha-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right)=\frac{1}{n}\ln\Gamma_\alpha-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right)=\frac{1}{n}(\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{4})\sum_{i=1}^{r}\ln s_i+\frac{\alpha}{4n}\sum_{i=1}^{n}\ln\kappa_i
 </math>
 </blockquote>

@@ 第544行： / 第544行： @@
 TPM矩阵基于可逆性的因果涌现，与其奇异值相关。同样，在规定<math>\epsilon\geq 0</math>之后，我们可以筛选两个协方差矩阵的奇异值来计算因果涌现，即
 <blockquote>
-<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)\equiv\hat{\gamma}_\alpha(\epsilon)-\hat\gamma_\alpha=\frac{1}{r_\epsilon}(\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{4})\sum_{i=1}^{r_\epsilon}\ln s_i+\frac{\alpha}{4r_\epsilon}\sum_{i=1}^{r_\epsilon}\ln\kappa_i-\frac{1}{n}(\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{4})\sum_{i=1}^{r}\ln s_i-\frac{\alpha}{4n}\sum_{i=1}^{n}\ln\kappa_i.
+<math>\Delta\Gamma_\alpha(\epsilon)\equiv\gamma_\alpha(\epsilon)-\gamma_\alpha=\frac{1}{r_\epsilon}(\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{4})\sum_{i=1}^{r_\epsilon}\ln s_i+\frac{\alpha}{4r_\epsilon}\sum_{i=1}^{r_\epsilon}\ln\kappa_i-\frac{1}{n}(\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{4})\sum_{i=1}^{r}\ln s_i-\frac{\alpha}{4n}\sum_{i=1}^{n}\ln\kappa_i.
 </math>
 </blockquote>