复杂网络的双曲几何模型 - 版本历史

Jake：/* 圆环模型 */

2023-12-15T07:59:19Z

圆环模型

Jake：/* 近似表达式 */

2023-12-15T07:55:45Z

近似表达式

Jake：/* 经典随机几何图 */

2023-12-15T07:46:04Z

经典随机几何图

2023年12月15日 (五) 07:45 Jake

2023-12-15T07:45:31Z

薄荷：/* 编者推荐 */

2020-08-16T02:55:57Z

编者推荐

薄荷：/* 背景 */

2020-08-16T02:55:12Z

背景

2020年8月16日 (日) 02:52 薄荷

2020-08-16T02:52:40Z

2020年8月16日 (日) 02:50 薄荷

2020-08-16T02:50:59Z

显示更改

薄荷：/* 度规 */

2020-08-16T02:46:32Z

度规

薄荷：/* 经典随机几何图 */

2020-08-16T02:45:47Z

经典随机几何图

@@ 第317行： / 第317行： @@
 ===圆环模型===
-在这个模型中，我们假设所有的节点都有一个隐变量（<math>\kappa</math>），表示该节点预期能够达到的度。另外，我们还假设所有的节点都分配在一个圆环上（我们不妨用区间<math>[0,2\pi]</math>来表示）。这样，任意两个节点X（坐标为<math>\theta_x</math>，隐变量为<math>\kappa</math>）和Y（坐标为<math>\theta_y</math>，隐变量为<math>\kappa'</math>）之间具有距离<math>\theta_{XY}=\pi-|\pi-|\theta_x-\theta_y|)</math>。那么这两点依下面的概率发生联系（即建立连边）：
+在这个模型中，我们假设所有的节点都有一个隐变量（<math>\kappa</math>），表示该节点预期能够达到的度。另外，我们还假设所有的节点都分配在一个圆环上（我们不妨用区间<math>[0,2\pi]</math>来表示）。这样，任意两个节点X（坐标为<math>\theta_x</math>，隐变量为<math>\kappa</math>）和Y（坐标为<math>\theta_y</math>，隐变量为<math>\kappa'</math>）之间具有距离<math>\theta_{XY}=\pi-|\pi-|\theta_x-\theta_y|</math>。那么这两点依下面的概率发生联系（即建立连边）：
 :<math>
@@ 第369行： / 第369行： @@
 除此之外，这个模型还能够复现出高集聚系数，以及尺度变化无关性等特征。
 ===对偶===

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 :<math>x\approx r+r'+\frac{2}{\zeta}\log{\sin(\Delta\theta/2)}</math>
-当<math>\Delta\theta/2)</math>很小的时候，
+当<math>\Delta\theta/2</math>很小的时候，
 :<math>x\approx  r+r'+\frac{2}{\zeta}\log{\Delta\theta/2}</math>
 ====圆====

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 另外，随机几何图具有高聚集性，即相互临近的节点会连接形成大量的局域三角形。我们可以解析地给出d维欧氏空间中的[[随机几何图]]的聚集系数为：
-:<math>
+<math>
 C_d=\frac{3}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma\left(\frac{d+2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{d+1}{2}\right)}\int_0^{\pi/3}\sin^d\theta d\theta
 </math>

@@ 第3行： / 第3行： @@
 |description=双曲几何空间下的复杂网络模型
 }}
-复杂网络的双曲模型是一种解释复杂网络拓普特征和生长机制的新型模型。它假设[[复杂网络]]是一种镶嵌到双曲空间中的一种随机几何图，从而利用双曲空间的內禀特性揭示复杂网络的特征。
+复杂网络的双曲模型是一种解释复杂网络拓普特征和生长机制的新型模型。它假设[[复杂网络]]是一种镶嵌到双曲空间中的随机几何图，从而利用双曲空间的內禀特性揭示复杂网络的特征。
 ==背景==

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 另一方面，双曲几何是非欧几何中的一个非常重要的分支，而且它也有很多实际工程技术中的应用。例如，人们发现，如果将互联网上的路由器节点都镶嵌在一个双曲空间中，那么网络总体的导航效率就会显著提高。
-于是Dmitri Krioukov和Fragkiskos Papadopoulos等人于2010年提出了一种双曲空间中的随机几何图模型<ref name="hyperbolic">{{cite journal|title=Hyperbolic geometry of complex networks|journal=Physical Review E|volume=82|page=036106|first=D.|last=Krioukov|first1=F.|last1=Papadopoulos|first3=M.|last3=Kitsak|first4=A. |last4=Vahdat|first5=M|last5=Boguñá.|year=2010}}</ref>，从而非常容易地解释了网络的异质性（无标度分布现象）和高聚集性。更有趣的是，他们还发现了双曲随机几何图模型与他们之前提出的一种“隐变量”模型<ref name="hidden">{{cite journal|title=Self-Similarity of Complex Networks and Hidden Metric Spaces|journal=Physical Review Letters |volume=100|page=078701|first=M. Ángeles |last=Serrano|first1= Dmitri |last1= Krioukov |first3= Marián |last3=Boguñá|year=2008}}</ref>存在着一种对偶关系，这种对偶与物理学中的体－边界 Bulk boundary对偶存在着一直的。进一步，2012年，他们又提出了一个双曲空间中的网络生长模型，该模型与物理学中Anti de Sitter空间非常类似，并给出了各个坐标明确的含义<ref name="hyperbolicgrowth">{{cite journal|title=Popularity versus similarity in growing networks|journal=Nature|volume=489|page=537-540|first=F.|last=Papadopoulos|first1=M.|last1=Kitsak|first2=A.|last2=A ́ngeles Serrano|first4=A. |last4=Vahdat|first4=M|last4=Boguñá.first5=D.|last5=Krioukov||year=2012}}</ref>。该模型能够更好地模拟网络的生长，而且能够涵盖复杂网络中经典的[[BA网络模型]]的动态过程。
+于是Dmitri Krioukov和Fragkiskos Papadopoulos等人于2010年提出了一种双曲空间中的随机几何图模型<ref name="hyperbolic">{{cite journal|title=Hyperbolic geometry of complex networks|journal=Physical Review E|volume=82|page=036106|first1=D.|last1=Krioukov|first2=F.|last2=Papadopoulos|first3=M.|last3=Kitsak|first4=A. |last4=Vahdat|first5=M|last5=Boguñá.|year=2010}}</ref>，从而非常容易地解释了网络的异质性（无标度分布现象）和高聚集性。更有趣的是，他们还发现了双曲随机几何图模型与他们之前提出的一种“隐变量”模型<ref name="hidden">{{cite journal|title=Self-Similarity of Complex Networks and Hidden Metric Spaces|journal=Physical Review Letters |volume=100|page=078701|first1=M. Ángeles |last1=Serrano|first2= Dmitri |last2= Krioukov |first3= Marián |last3=Boguñá|year=2008}}</ref>存在着一种对偶关系，这种对偶与物理学中的体－边界 Bulk boundary对偶存在着一直的。进一步，2012年，他们又提出了一个双曲空间中的网络生长模型，该模型与物理学中Anti de Sitter空间非常类似，并给出了各个坐标明确的含义<ref name="hyperbolicgrowth">{{cite journal|title=Popularity versus similarity in growing networks|journal=Nature|volume=489|page=537-540|first1=F.|last1=Papadopoulos|first2=M.|last2=Kitsak|first3=A.|last3=A ́ngeles Serrano|first4=A. |last4=Vahdat|first4=M|last4=Boguñá.first5=D.|last5=Krioukov||year=2012}}</ref>。该模型能够更好地模拟网络的生长，而且能够涵盖复杂网络中经典的[[BA网络模型]]的动态过程。
 ==经典随机几何图==

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 又知道彭加莱圆模型中以某点为中心的圆方程，代入上述坐标变换公式，就能得到扩展模型中的圆。不难从图形上看出，这个圆被严重扭曲、拉伸了。
-[[File:hyperbolicextendedpoincaredisk.png|500px]]
+[[File:hyperbolicextendedpoincaredisk.png|center|500px]]
@@ 第136行： / 第136行： @@
 实际上，之所以双曲空间能够比较好地描述现实中的网络，是因为大多数现实网络都具有树状的层次结构。而双曲空间就是树网络的连续版本。为什么这么说呢？我们知道如果树的一个节点有两个分叉的话，那么从树根往外放射出去，第一层有2个节点，第二层就有4个，第三层8个，……，第n层就有<math>2^n=\exp(n \ln2) </math>个，因此这是一个指数增长。如果将双曲空间中的坐标原点看作是树根，到原点的距离为层数n，那么双曲空间的半径n处圆的周长就相当于树第n层的节点数，也是近似exp(n)的增长关系，所以这二者其实是等价的。
-[[File:hyperbolictreethreebranches.png|500px]]
+[[File:hyperbolictreethreebranches.png|center|500px]]
@@ 第148行： / 第148行： @@
 * r=R，也就是连通性的邻域半径r刚好与撒点的空间大小R相等
-[[File:randomgeometricgraphinhyperbolicspace.png|500px]]
+[[File:randomgeometricgraphinhyperbolicspace.png|center|500px]]
@@ 第164行： / 第164行： @@
 首先，我们可以证明，按照这种方式构造出的复杂网络具备无标度度分布的特性。不失一般性，我们考虑的双曲空间曲率为K＝－1.
-[[File:illustrationofscalingfreeinhyperbolic.png|300px]]
+[[File:illustrationofscalingfreeinhyperbolic.png|center|300px]]
@@ 第305行： / 第305行： @@
 在软化链接模型中，我们可以做出聚集系数随温度变化的曲线，如下图：
-[[File:hyperbolicspaceclusteringwithtemperature.png|500px]]
+[[File:hyperbolicspaceclusteringwithtemperature.png|center|500px]]
@@ 第432行： / 第432行： @@
 下图展示了这套规则：
-[[File:hyperbolicspacegrowthnetworkmodel.png|500px]]
+[[File:hyperbolicspacegrowthnetworkmodel.png|center|500px]]
@@ 第512行： / 第512行： @@
 但是，与[[BA网络模型]]不一样的地方是，双曲模型的链接概率还依赖于双曲距离，如下图所示：
-[[File:preferentialattachmentinhyperbolicspace.png|600px]]
+[[File:preferentialattachmentinhyperbolicspace.png|center|600px]]
 这两张图都是模拟结果。我们看到上图是偏好依附概率随度增长的情况，下图为链接概率与双曲距离的关系，BA网络模型与距离无关。
-[[File:probabilityvshyperbolicdistanceinempiricalnetworks.png|600px]]
+[[File:probabilityvshyperbolicdistanceinempiricalnetworks.png|center|600px]]

@@ 第55行： / 第55行： @@
 我们知道，在彭加莱圆盘模型中，一小段微元可以写成极坐标形式的度规为：
-<math>
+:<math>
 ds^2=4\frac{dr^2+r^2d\theta^2}{(1-r^2)^2}=4(dr,d\theta)\begin{pmatrix}\frac{1}{(1-r^2)^2} & 0 \\ 0 & \frac{r^2}{(1-r^2)^2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr\\ d\theta\end{pmatrix}
 </math>
@@ 第61行： / 第61行： @@
 我们将坐标变换<math>r=\tanh(r'/2),\theta=\theta'</math>代入上式，并注意到：<math>dr^2=\frac{1}{4\cosh^2(r'/2)}</math>，则得到：
-<math>
+:<math>
 ds^2=4\frac{\frac{1}{4\cosh(r'/2)} dr'^2+\tanh^2(r'/2)d\theta'^2}{(1-\tanh^2(r'/2))^2}=dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2
 </math>
@@ 第68行： / 第68行： @@
 如果曲面的曲率为<math>K=-\zeta^2</math>，则彭加莱圆盘的度规为：
-<math>
+:<math>
 ds^2=4 \zeta \frac{dr^2+r^2d\theta^2}{(1-r^2)^2}
 </math>
@@ 第75行： / 第75行： @@
 而扩展的彭加莱圆盘度规为：
-<math>
+:<math>
 ds^2=\zeta (dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2)
 </math>
 ====任意两点距离公式====

@@ 第19行： / 第19行： @@
 这个模型非常简单。考虑一块<math>L^d</math>大小的矩形区域，其中d为空间维度。然后，我们往这片区域随机撒入N个点。接下来，我们以每个点P为中心，以r为半径（注意r<<L）画圆，落入该圆内的所有点都会与P点进行连边。用这种方式构造出的网络就被称为[[随机几何图模型]]。
-[[File:random_geometric_graph.svg.png|500px]]
+[[File:random_geometric_graph.svg.png|center|thumb|500px|一个二维平面中的随机几何图，其中L=1, r=0.1]]
 这个模型有很多有趣的性质。例如模型的连通性具备相变特征：如果给定节点的密度（<math>N/L^2</math>），那么不同的r就会导致相互连通的节点形成团块，有大有小。存在着一个r的阈值<math>r_c</math>，r超过它整个网络就会联通成一个庞大的集团。否则，网络仅仅是一系列孤立的小集团。