小世界网络 - 版本历史

2023年1月17日 (二) 14:39 TYcl20

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社会学应用

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大脑中的小世界网络

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小世界网络的性质

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小世界网络的性质

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小世界网络的性质

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参见

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参见

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 [[File:第一个图.png|200px|缩略图|右|小世界网络的例子 中心比其他节点大 平均[https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(graph_theory) 度]3.833 平均最短路径长度1.803 [https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 聚类系数]0.522]]
 [[File:第二个图.png|200px|缩略图|右|随机图 平均[https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(graph_theory) 度]2.833 平均最短路径长度2.109 [https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 聚类系数]0.167]]
-'''小世界网络'''是一种[https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_(discrete_mathematics) 数学图]。在此类图中，绝大多数节点彼此之间并不相邻，但任一给定节点的邻居们却很可能彼此是邻居，并且大多数节点都可以从任意其他节点，用较少的步或跳跃访问到。具体来说，小世界网络的定义如下：如果网络中随机选择的两个节点之间的距离<i>L</i>（即访问彼此所需要的步数），与网络中节点数量<i>N</i>的对数成比例增长，（即<ref name="a1">http://www.nature.com/nature/journal/v393/n6684/full/393440a0.html</ref>: <math>L \propto \log N</math>），且网络的[https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 集聚系数] Clustering Coefficient不小，那么，这样的网络就是小世界网络。在社交网络中，这种网络属性意味着一些彼此并不相识的人，可以通过一条很短的熟人链条被联系在一起，这也就是[[小世界现象]]。许多经验网络图都展示出了[[小世界现象]]，例如社交网络、互联网的底层架构、诸如Wikipedia的百科类网站以及基因网络等等。
+'''小世界网络'''是一种[https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_(discrete_mathematics) 数学图]。在这类图中，绝大多数节点互相并不相邻，但任一给定节点的邻居们却很可能彼此是邻居，并且大多数节点都可以从任意其他节点，用较少的步或跳跃访问到。具体来说，小世界网络的定义如下：如果网络中随机选择的两个节点之间的距离<i>L</i>（即访问彼此所需要的步数），与网络中节点数量<i>N</i>的对数成比例增长，（即<ref name="a1">http://www.nature.com/nature/journal/v393/n6684/full/393440a0.html</ref>: <math>L \propto \log N</math>），且网络的[https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 集聚系数] Clustering Coefficient不小，那么，这样的网络就是小世界网络。在社交网络中，这种网络属性意味着一些彼此并不相识的人，可以通过一条很短的熟人链条被联系在一起，这也就是[[小世界现象]]。许多经验网络图都展示出了[[小世界现象]]，例如社交网络、互联网的底层架构、Wikipedia的百科类网站及基因网络等。
 年，[[Duncan J. Watts]]和[[Steven Strogatz]]提出，小世界网络是一类[[随机图]]<ref name="a2">Watts, Duncan J.; [https://en.wikipedia.org/wiki/Steven_Strogatz Strogatz, Steven H.] (June 1998). "Collective dynamics of 'small-world' networks". Nature. 393 (6684): 440–442. [https://en.wikipedia.org/wiki/Bibcode Bibcode]:[http://adsabs.harvard.edu/abs/1998Natur.393..440W 1998Natur.393..440W]. [https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_object_identifier doi]:[https://doi.org/10.1038/30918 10.1038/30918]. [https://en.wikipedia.org/wiki/PubMed_Identifier PMID] [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/9623998 9623998]. Papercore Summary http://www.papercore.org/Watts1998</ref>。他们指出，这类网络图可以通过两个独立的结构特征，即[https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 集聚系数]和平均节点间距离（也称作平均最短路径长度）来进行识别。根据[[ER随机图模型]]构造的纯随机图，会展现出较小的最短路径长度（通常随着节点数对数值的变化而变化）以及较小的集聚系数。Watts和Strogatz验证了这一点，事实上，现实世界中很多网络的平均最短路径长度都较短，而集聚系数又远高于普通随机图。Watts和Strogatz随后提出了一种新的图模型（即现在的[https://en.wikipedia.org/wiki/Watts_and_Strogatz_model Watts-Strogatz模型]），该模型具备两个特征：(1)平均最短路径长度较小，(2)集聚系数较大。1999年，Barthelemy和Amaral最先描述出了Watts-Strogatz模型中“大世界”（诸如栅格网络）与小世界的交叉点性质<ref name="a3">#Barthelemy, M.; Amaral, LAN (1999). "Small-world networks: Evidence for a crossover picture". Phys. Rev. Lett. 82 (15): 3180–3183. [https://en.wikipedia.org/wiki/ArXiv arXiv]:[https://arxiv.org/abs/cond-mat/9903108 cond-mat/9903108]. Bibcode:1999PhRvL..82.3180B. doi:10.1103/PhysRevLett.82.3180.</ref>。在此之后，学界又涌现出了大量的相关研究，其中不乏一些较为精确的度量结果 (Barrat and Weigt, 1999; Dorogovtsev and [https://en.wikipedia.org/wiki/Jos%C3%A9_Fernando_Ferreira_Mendes Mendes]; Barmpoutis and Murray, 2010)。 Braunstein发现<ref name="a4">#Braunstein, Lidia A.; Buldyrev, Sergey V.; Cohen, Reuven; Havlin, Shlomo; Stanley, H. Eugene (2003). "Optimal Paths in Disordered Complex Networks". Physical Review Letters. 91 (16). arXiv:cond-mat/0305051 Freely accessible. Bibcode:2003PhRvL..91p8701B. doi:10.1103/PhysRevLett.91.168701. ISSN 0031-9007.</ref>，对于权值分布非常广的加权ER网络，最佳路径长度会显著增长，其增长速度为<math>N^{\frac{1}{3}}</math>.
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 :<math> L \propto \log{\log N}</math>
-结果表明，在存在[https://en.wikipedia.org/wiki/White_noise 白噪音]的小世界网络中，会出现随机同步，这意味着，白噪音有助于系统针对中等噪声强度进行更好地同步，而非减少噪音<ref name="a11">#Reihaneh Kouhi Esfahani, Farhad Shahbazi, Keivan Aghababaei Samani (2012). "[https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.86.036204 Noise-induced synchronization in small-world networks of phase oscillators]". Physical Review E. American Physical Society (3).</ref><ref name="a12">#Rodrigues, Francisco A and Peron, Thomas K DM and Ji, Peng and Kurths, J{\"u}rgen} (2016). "[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157315004408 The Kuramoto model in complex networks]". Physics Reports. Elsevier.</ref>。这种现象，与白噪音在[[随机图]]或[[无标度网络]]中的效果形成了鲜明的对比，即应用噪声会降低这些网络中的同步幅度。
+结果表明，在存在[https://en.wikipedia.org/wiki/White_noise 白噪音]的小世界网络中，会出现随机同步，这意味着，白噪音有助于系统针对中等噪声强度进行更好地同步，而非减少噪音<ref name="a11">#Reihaneh Kouhi Esfahani, Farhad Shahbazi, Keivan Aghababaei Samani (2012). "[https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.86.036204 Noise-induced synchronization in small-world networks of phase oscillators]". Physical Review E. American Physical Society (3).</ref><ref name="a12">#Rodrigues, Francisco A and Peron, Thomas K DM and Ji, Peng and Kurths, J{\"u}rgen} (2016). "[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157315004408 The Kuramoto model in complex networks]". Physics Reports. Elsevier.</ref>。这种现象，与白噪音在[[随机图]]或[[无标度网络]]中的效果形成了鲜明的对比，即应用噪声会降低这些网络中的同步幅度，使同步的效率提高。
 ==小世界网络例子==
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-另一个例子就是人与人之间的“[https://en.wikipedia.org/wiki/Six_degrees_of_separation 六度分离]”理论，这里默认的适用[https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_of_discourse 领域]是一群在任意时刻都活着的人。[https://en.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein 阿尔伯特·爱因斯坦]与[https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_the_Great 亚历山大大帝]之间的分离度，几乎肯定是大于30的<ref name="a17">#Einstein and Alexander the Great lived 2202 years apart. Assuming an age difference of 70 years between any two connected people in the chain that connects the two, this would necessitate at least 32 connections between Einstein and Alexander the Great.</ref>，而且这个世界并不具备小世界属性。一个同样不具备小世界性质的网络还有“曾去同一家学校上学”的网络：如果两个人加入某一所大学的时间差了10年，他们不太可能在学生团体中有共同的熟人。
+另一个例子就是人与人之间的“[https://en.wikipedia.org/wiki/Six_degrees_of_separation 六度分离]”理论。该理论的适用条件是假设涉及到的人都同时活着，或者在短期内处于同一组织之中。[https://en.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein 阿尔伯特·爱因斯坦]与[https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_the_Great 亚历山大大帝]之间的分离度，几乎肯定是大于30的<ref name="a17">#Einstein and Alexander the Great lived 2202 years apart. Assuming an age difference of 70 years between any two connected people in the chain that connects the two, this would necessitate at least 32 connections between Einstein and Alexander the Great.</ref>，而且这个世界并不具备小世界属性。一个同样不具备小世界性质的网络还有“曾去同一家学校上学”的网络：如果两个人加入某一所大学的时间差了10年，他们不太可能在学生团体中有共同的熟人。
-类似的，消息传播过程中必须要通过的中继站点的数量并不总是很小的。回溯到邮件还需要手工投递或骑马寄送的时期，一封信件从它的起点到终点所需要转手的次数，会比现在大上很多。可视电报（约存在于1800-1850年）时代，消息易手的次数，要由两个站点之间是否是在视线连接范围内决定。
+类似的，消息传播过程中必须要通过的中继站点的数量并不总是很少的。回溯到邮件还需要手工投递或骑马寄送的时期，一封信件从它的起点到终点所需要转手的次数，会比现在大上很多。可视电报（约存在于1800-1850年）时代，消息易手的次数，要由两个站点之间是否是在视线连接范围内决定。
 如果没有检验隐含假设，可能会对图“望图生义”，偏向于寻找小世界网络（一个例子就是发表性偏倚导致的[https://en.wikipedia.org/wiki/File_drawer_problem#File_drawer_effect 文件抽屉问题] file drawer ）。

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 ====[https://swarma.org/?p=18837  引用量超过4万的经典论文：小世界网络的集体动力学]====
 :1998年，一篇名为“小世界网络的集体动力学” Collective dynamics of ‘small-world’ networks 的文章发表于 Nature，首次提出“小世界网络”的数学模型，并引起了来自社会科学、信息科学和自然科学等领域对这一模型的关注和应用。目前，该论文已经有超过 42000 次的引用量。本文是对这篇经典论文的简要介绍。
 === 集智课程推荐 ===
 ====[https://campus.swarma.org/course/1347  Networks]====
-::本课程中，介绍网络的相关的概念与小世界网络、无标度网络。
+:本课程中，介绍网络的相关的概念与小世界网络、无标度网络。
 ====[https://campus.swarma.org/course/1161 复杂网络的基本模型]====
-::本课程中，将详细介绍复杂网络的四个基本模型：规则网、随机图、小世界网络、Scale-Free 网络。
+:本课程中，将详细介绍复杂网络的四个基本模型：规则网、随机图、小世界网络、Scale-Free 网络。

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 [[File:第五张图.png|190px|thumb|right|什么是小世界模型]]
 ====[https://swarma.org/?p=19627 什么是小世界网络模型]====
-::我们需要了解小世界网络是一种数学图。在这种图中，绝大多数节点之间并不相邻，但任一给定节点的邻居们却很可能彼此相邻，并且大多数任意节点，都可以用较少的步或跳跃访问到其他节点。在社交网络中，这种网络属性意味着一些彼此并不相识的人，可以通过一条很短的熟人链条被联系在一起，这也就是小世界现象。
+:我们需要了解小世界网络是一种数学图。在这种图中，绝大多数节点之间并不相邻，但任一给定节点的邻居们却很可能彼此相邻，并且大多数任意节点，都可以用较少的步或跳跃访问到其他节点。在社交网络中，这种网络属性意味着一些彼此并不相识的人，可以通过一条很短的熟人链条被联系在一起，这也就是小世界现象。
 [[File:第六张图.png|190px|thumb|right|论文题目]]
 ====[https://swarma.org/?p=18837  引用量超过4万的经典论文：小世界网络的集体动力学]====
-::1998年，一篇名为“小世界网络的集体动力学” Collective dynamics of ‘small-world’ networks 的文章发表于 Nature，首次提出“小世界网络”的数学模型，并引起了来自社会科学、信息科学和自然科学等领域对这一模型的关注和应用。目前，该论文已经有超过 42000 次的引用量。本文是对这篇经典论文的简要介绍。
+:1998年，一篇名为“小世界网络的集体动力学” Collective dynamics of ‘small-world’ networks 的文章发表于 Nature，首次提出“小世界网络”的数学模型，并引起了来自社会科学、信息科学和自然科学等领域对这一模型的关注和应用。目前，该论文已经有超过 42000 次的引用量。本文是对这篇经典论文的简要介绍。
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 小世界网络对[https://en.wikipedia.org/wiki/Social_movement 社会运动群体]的优势在于，它们由于采用了高度互联的节点的过滤设备，因而对变化具有一定的抗性，以及它有效地实现了，在中继信息的同时，保持了连接网络所需的最少链路数”。<ref name="a22">#Shirky, Clay. 2008. [https://en.wikipedia.org/wiki/Here_Comes_Everybody Here Comes Everybody]</ref>
-[https://en.wikipedia.org/wiki/William_Finnegan William Finnegan]在社会学论证提出，小世界网络可直接适用于[https://en.wikipedia.org/wiki/Affinity_group 亲和团体] Affinity Group 理论。亲和团体指的是旨在实现某个较大目标或功能的小型半独立社会运动团体。虽然在节点级别上并没有严格的隶属架构，但作为连接节点的少数高连接性成员，能够通过网络连接组织内的不同群体。这种小世界网络已被证明是一种极其有效的抗议警察行动的组织策略。<ref name="a23">#Finnegan, William "Affinity Groups and the Movement Against Corporate Globalization"</ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Clay_Shirky Clay Shirky]认为，通过小世界网络创造的社交网络越大，高连接性结点在网络内的价值就越高。<ref name="a22"></ref>同理可适用于亲和团体模型，即每个团体内只有少数人与外部团体相联系，从而极大提高了灵活性和适应性。这方面的一个实践案例是William Finnegan在概括[https://en.wikipedia.org/wiki/1999_Seattle_Protests 1999年西雅图世贸组织抗议活动]时，所提到的亲和团体中的小世界网络。
+[https://en.wikipedia.org/wiki/William_Finnegan William Finnegan]在社会学论证提出，小世界网络可直接适用于[https://en.wikipedia.org/wiki/Affinity_group 亲和团体] Affinity Group 理论。亲和团体指的是旨在实现某个较大目标或功能的小型半独立社会运动团体。虽然在节点级别上并没有严格的隶属架构，但作为连接节点的少数高连接性成员，能够通过网络连接组织内的不同群体。这种小世界网络已被证明是一种极其有效的抗议警察行动的组织策略。<ref name="a23">#Finnegan, William "Affinity Groups and the Movement Against Corporate Globalization"</ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Clay_Shirky Clay Shirky]认为，通过小世界网络创造的社交网络越大，高连接性结点在网络内的价值就越高。<ref name="a22"></ref>同理可适用于亲和团体模型，即每个团体内只有少数人与外部团体相联系，从而极大提高了灵活性和适应性。这方面的一个实践案例是William Finnegan在概括1999年西雅图世贸组织抗议活动时，所提到的亲和团体中的小世界网络。
 ===地球科学应用===

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 </ref>与皮层神经元的同步网络<ref name="a31">#Yu, Shan; D. Huang; W. Singer; D. Nikolić (2008). "[https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2583154 A Small World of Neuronal Synchrony]". Cerebral Cortex. 18 (12): 2891–2901. doi:10.1093/cercor/bhn047. PMC 2583154 Freely accessible. PMID 18400792.</ref>都体现出了小世界拓扑结构。
-小世界神经元网络可以呈现出[https://en.wikipedia.org/wiki/Short-term_memory 短期记忆]。Solla等人提出的计算机模型具有两个稳定状态<ref name="a32">#Cohen, Philip. [https://www.newscientist.com/article.ns?id=dn5012 Small world networks key to memory]. New Scientist. 26 May 2004.</ref><ref name="a33">#Sara Solla's [http://online.itp.ucsb.edu/online/brain04/solla/ Lecture & Slides: Self-Sustained Activity in a Small-World Network of Excitable Neurons]</ref>——一种被认为在[https://en.wikipedia.org/wiki/Memory 记忆]存储中十分重要的特性（被称为[https://en.wikipedia.org/wiki/Bistability 双稳态]）。激活脉冲在神经元之间产生自我维持的通信活动循环。第二波脉冲则终止这一活动。脉冲让这一系统在稳定状态间切换：流动（记录“记忆”）以及停滞（保留记忆）。小世界神经元网络也被用于建模，了解[https://en.wikipedia.org/wiki/Seizures 病情发作]的原理。<ref name="a34">#Ponten, S.C.; Bartolomei, F.; Stam, C.J. (April 2007). "Small-world networks and epilepsy: Graph theoretical analysis of intracerebrally recorded mesial temporal lobe seizures". Clinical Neurophysiology. 118 (4): 918–927. doi:10.1016/j.clinph.2006.12.002.</ref>
+小世界神经元网络可以呈现出短期记忆。Solla等人提出的计算机模型具有两个稳定状态<ref name="a32">#Cohen, Philip. [https://www.newscientist.com/article.ns?id=dn5012 Small world networks key to memory]. New Scientist. 26 May 2004.</ref><ref name="a33">#Sara Solla's [http://online.itp.ucsb.edu/online/brain04/solla/ Lecture & Slides: Self-Sustained Activity in a Small-World Network of Excitable Neurons]</ref>——一种被认为在记忆存储中十分重要的特性（被称为[https://en.wikipedia.org/wiki/Bistability 双稳态]）。激活脉冲在神经元之间产生自我维持的通信活动循环。第二波脉冲则终止这一活动。脉冲让这一系统在稳定状态间切换：流动（记录“记忆”）以及停滞（保留记忆）。小世界神经元网络也被用于建模，了解[https://en.wikipedia.org/wiki/Seizures 病情发作]的原理。<ref name="a34">#Ponten, S.C.; Bartolomei, F.; Stam, C.J. (April 2007). "Small-world networks and epilepsy: Graph theoretical analysis of intracerebrally recorded mesial temporal lobe seizures". Clinical Neurophysiology. 118 (4): 918–927. doi:10.1016/j.clinph.2006.12.002.</ref>
 在更一般的层次上，大脑中的许多大规模神经网络，例如视觉系统和脑干，都体现出了小世界特性。<ref name="a5"></ref>

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 如果<math>  \sigma > {1}</math>( <math> C \gg C_r </math>，且<math>L \approx L_r</math>), 网络即为小世界网络
-另一个量化网络小世界性的方法，是利用小世界网络的原始定义，比较给定网络与等价随机网格网络的集聚系数及路径长度<ref name="a7">#The ubiquity of small-world networks Q.K. Telesford, K.E. Joyce, S. Hayasaka, J.H. Burdette, P.J. Laurienti, Brain Connect. 2011;1(5):367–75, doi:10.1089/brain.2011.0038</ref>。小世界所用的度量（ω）定义如下<ref name="a8">#Telesford, Joyce, Hayasaka, Burdette, and Laurienti (2011). "[https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3604768 The Ubiquity of Small-World Networks]". Brain Connectivity. 1 (0038): 367–75. doi:10.1089/brain.2011.0038. PMC 3604768 Freely accessible. PMID 22432451.</ref>：
+另一个量化网络小世界性的方法，是利用小世界网络的原始定义，比较给定网络与等价随机网格网络的集聚系数及路径长度<ref name="a7">#The ubiquity of small-world networks Q.K. Telesford, K.E. Joyce, S. Hayasaka, J.H. Burdette, P.J. Laurienti, Brain Connect. 2011;1(5):367–75, doi:10.1089/brain.2011.0038</ref>。小世界所用的度量（<math> \omega</math>）定义如下<ref name="a8">#Telesford, Joyce, Hayasaka, Burdette, and Laurienti (2011). "[https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3604768 The Ubiquity of Small-World Networks]". Brain Connectivity. 1 (0038): 367–75. doi:10.1089/brain.2011.0038. PMC 3604768 Freely accessible. PMID 22432451.</ref>：
 :<math> \omega =  \frac{L_r}{L}-\frac{C}{C_l} </math>
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 其中，对于所选受测网络而言，<i>L</i>是特征路径长度，<i>C</i>是集聚系数。<math>C_l</math>是等价栅格网络的集聚系数， 而<math>L_r</math>则是等价随机网络的的特征路径长度。
-R. Cohen和[https://en.wikipedia.org/wiki/Shlomo_Havlin Havlin]分析出<ref name="a9">#R. Cohen, S. Havlin, and D. ben-Avraham (2002). "[http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Structural+properties+of+scale+free+networks&year=*&match=all Structural properties of scale free networks]". Handbook of graphs and networks. Wiley-VCH, 2002 (Chap. 4).</ref><ref name="a10">#R. Cohen, S. Havlin (2003). "[http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Scale-free+networks+are+ultrasmall++&year=*&match=all Scale-free networks are ultrasmall]". Phys. Rev. Lett. 90 (5): 058701. arXiv:cond-mat/0205476. Bibcode:2003PhRvL..90e8701C. doi:10.1103/PhysRevLett.90.058701. PMID 12633404.</ref>，[https://en.wikipedia.org/wiki/Scale-free_networks 无标度网络]是超小世界。在这种情况下，由于中心的存在，最短路径会变得非常小，并且满足如下关系：
+R. Cohen和[https://en.wikipedia.org/wiki/Shlomo_Havlin Havlin]分析出<ref name="a9">#R. Cohen, S. Havlin, and D. ben-Avraham (2002). "[http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Structural+properties+of+scale+free+networks&year=*&match=all Structural properties of scale free networks]". Handbook of graphs and networks. Wiley-VCH, 2002 (Chap. 4).</ref><ref name="a10">#R. Cohen, S. Havlin (2003). "[http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Scale-free+networks+are+ultrasmall++&year=*&match=all Scale-free networks are ultrasmall]". Phys. Rev. Lett. 90 (5): 058701. arXiv:cond-mat/0205476. Bibcode:2003PhRvL..90e8701C. doi:10.1103/PhysRevLett.90.058701. PMID 12633404.</ref>，[[无标度网络]]是超小世界。在这种情况下，由于中心的存在，最短路径会变得非常小，并且满足如下关系：
 :<math> L \propto \log{\log N}</math>

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-小世界网络中往往会包含'''[https://en.wikipedia.org/wiki/Clique_(graph_theory) 团] cliques''' 以及'''临近团 near-cliques''' ——此处的“团”，指的是内部几乎任意两个节点之间都存在连接的子网络。这遵循[https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 高集聚系数]的定义属性。其次，大多数节点对之间，都至少存在一条短路径。这遵循平均最短路径较小的定义属性。许多其他属性，通常也会与小世界网络有所关联。通常情况下，网络中会存在很多的'''中心 hub''' ——它们是具有很高连接数的节点（即高[https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(graph_theory) 度] Degree 节点）。这些中心扮演了公共连接的角色，缩短了其他边之间的短路径长度。通过对比，航空航班的小世界网络，都体现出了较短的平均路径长度（例如，在任意两个城市之间飞行，你通常可能只需要乘坐三程或更少的航班数），因为很多航线都可以通过枢纽城市进行中转。这一属性的分析，通常要考虑网络中，具有相同入度的节点的比例（网络的度的分布）。网络具有较多中心，意味着度值较大的节点占比会更高，因此，在这种网络的度分布中，高度值分布更高，即俗称的[https://en.wikipedia.org/wiki/Fat-tailed_distribution 厚尾分布] fat-tailed distribution 。具有不同拓扑结构的图，只要满足上述两个定义，就可以被定义为'''小世界网络'''。
+小世界网络中往往会包含''' 团 cliques''' 以及'''临近团 near-cliques''' ——此处的“团”，指的是内部几乎任意两个节点之间都存在连接的子网络。这遵循[https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 高集聚系数]的定义属性。其次，大多数节点对之间，都至少存在一条短路径。这遵循平均最短路径较小的定义属性。许多其他属性，通常也会与小世界网络有所关联。通常情况下，网络中会存在很多的'''中心 hub''' ——它们是具有很高连接数的节点（即高度节点）。这些中心扮演了公共连接的角色，缩短了其他边之间的短路径长度。通过对比，航空航班的小世界网络，都体现出了较短的平均路径长度（例如，在任意两个城市之间飞行，你通常可能只需要乘坐三程或更少的航班数），因为很多航线都可以通过枢纽城市进行中转。这一属性的分析，通常要考虑网络中，具有相同入度的节点的比例（网络的度的分布）。网络具有较多中心，意味着度值较大的节点占比会更高，因此，在这种网络的度分布中，高度值分布更高，即俗称的[https://en.wikipedia.org/wiki/Fat-tailed_distribution 厚尾分布] fat-tailed distribution 。具有不同拓扑结构的图，只要满足上述两个定义，就可以被定义为'''小世界网络'''。
-网络的小世界性被量化为一个系数 σ，可以通过比较给定网络与具备相同度分布的等价网络的集聚系数与路径长度，计算得出<ref name="a5">#The brainstem reticular formation is a small-world, not scale-free, network M. D. Humphries, K. Gurney and T. J. Prescott, Proc. Roy. Soc. B 2006 273, 503–511, doi:10.1098/rspb.2005.3354</ref><ref name="a6">#Humphries and Gurney (2008). "[https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2323569 Network 'Small-World-Ness': A Quantitative Method for Determining Canonical Network Equivalence]". PLOS ONE. 3 (4): e0002051. doi:10.1371/journal.pone.0002051. PMC 2323569 Freely accessible. PMID 18446219.</ref>。
+网络的小世界性被量化为一个系数<math>\sigma </math>，可以通过比较给定网络与具备相同度分布的等价网络的集聚系数与路径长度，计算得出<ref name="a5">#The brainstem reticular formation is a small-world, not scale-free, network M. D. Humphries, K. Gurney and T. J. Prescott, Proc. Roy. Soc. B 2006 273, 503–511, doi:10.1098/rspb.2005.3354</ref><ref name="a6">#Humphries and Gurney (2008). "[https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2323569 Network 'Small-World-Ness': A Quantitative Method for Determining Canonical Network Equivalence]". PLOS ONE. 3 (4): e0002051. doi:10.1371/journal.pone.0002051. PMC 2323569 Freely accessible. PMID 18446219.</ref>。
 :<math>\sigma = \cfrac { \frac {C} {C_r} } { \frac {L} {L_r} }  </math>

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 ==参见==
-*[[Barabási–Albert模型]]
+*[[BA模型]]
 *[https://en.wikipedia.org/wiki/Climate_network 气候网络]
-*[https://en.wikipedia.org/wiki/Dual-phase_evolution 双相演化（Dual-phase evolution）]
+*[https://en.wikipedia.org/wiki/Dual-phase_evolution 双相演化 Dual-phase evolution]
 *[https://en.wikipedia.org/wiki/Dunbar%27s_number Dunbar数]
 *[https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s_number Erdős数]

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 ==参见==
-*[https://en.wikipedia.org/wiki/Barab%C3%A1si%E2%80%93Albert_model Barabási–Albert模型]
+*[[Barabási–Albert模型]]
 *[https://en.wikipedia.org/wiki/Climate_network 气候网络]
 *[https://en.wikipedia.org/wiki/Dual-phase_evolution 双相演化（Dual-phase evolution）]
 *[https://en.wikipedia.org/wiki/Dunbar%27s_number Dunbar数]
 *[https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s_number Erdős数]
-*[https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93R%C3%A9nyi_model Erdős–Rényi (ER) 模型]
+*[[ER随机图模型]]
-*[https://en.wikipedia.org/wiki/Percolation_theory 渗透理论（Percolation theory）]
+*[[渗透理论 Percolation theory]]
-*[https://en.wikipedia.org/wiki/Scale-free_network 无标度网络]
+*[[无标度网络]]
 *[https://en.wikipedia.org/wiki/Six_degrees_of_Kevin_Bacon Kevin Bacon的六度理论]
 *[https://en.wikipedia.org/wiki/Small_world_experiment 小世界实验]