布尔网络 - 版本历史

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 '''<font color="#FF8000">布尔函数Boolean function</font>'''是一种可用于通过逻辑类型的计算来评估与其布尔输入有关的任何布尔输出的函数。这些功能在复杂性理论中起着基本作用。当布尔函数应用于复杂网络中时，我们定义了'''<font color="#FF8000">布尔网络 Boolean Network </font>'''（简称BN）的概念：布尔网络是由一组离散的布尔变量组成，每个变量都被分配了一个布尔函数（可能每个变量都不同），它从这些变量的子集中获取输入，并输出决定其被分配的变量的状态。
-这一组函数实际上决定了变量集上的拓扑结构（连通性），这些变量就成为网络中的节点。每个变量的状态都由二进制1（开）和0（关）表示，每个模型都有着对应的逻辑规则表，每个变量的邻接变量可以在逻辑规则表的作用下得到自己的状态。由布尔表达式即可看出各个变量之间的逻辑关系。通常，系统的动态是以离散时间序列的形式进行的，通过评估每个变量在时间 ''t'' 的网络状态上的函数来确定整个网络在时间 ''t+1''的状态，这可能是同步或异步完成的<ref>{{cite journal|last1=Naldi|first1=A.|last2=Monteiro|first2=P. T.|last3=Mussel|first3=C.|last4=Kestler|first4=H. A.|last5=Thieffry|first5=D.|last6=Xenarios|first6=I.|last7=Saez-Rodriguez|first7=J.|last8=Helikar|first8=T.|last9=Chaouiya|first9=C.|title=Cooperative development of logical modelling standards and tools with CoLoMoTo|journal=Bioinformatics|date=25 January 2015|volume=31|issue=7|pages=1154–1159|doi=10.1093/bioinformatics/btv013|pmid=25619997|doi-access=free}}&lt;nowiki&gt;</ref>。
+这一组函数实际上决定了变量集上的拓扑结构（连通性），这些变量就成为网络中的节点。每个变量的状态都由二进制1和0表示“开”和“关”，每个模型都有着对应的逻辑规则表，每个变量的邻接变量可以在逻辑规则表的作用下得到自己的状态。由布尔表达式即可看出各个变量之间的逻辑关系。通常，系统的动态是以离散时间序列的形式进行的，通过评估每个变量在时间 ''t'' 的网络状态上的函数来确定整个网络在时间 ''t+1''的状态，这可能是同步或异步完成的<ref>{{cite journal|last1=Naldi|first1=A.|last2=Monteiro|first2=P. T.|last3=Mussel|first3=C.|last4=Kestler|first4=H. A.|last5=Thieffry|first5=D.|last6=Xenarios|first6=I.|last7=Saez-Rodriguez|first7=J.|last8=Helikar|first8=T.|last9=Chaouiya|first9=C.|title=Cooperative development of logical modelling standards and tools with CoLoMoTo|journal=Bioinformatics|date=25 January 2015|volume=31|issue=7|pages=1154–1159|doi=10.1093/bioinformatics/btv013|pmid=25619997|doi-access=free}}&lt;nowiki&gt;</ref>。
 布尔网络在生物学中已被用于模拟'''<font color="#FF8000">调节网络 Regulatory Networks </font>'''。虽然布尔网络是对遗传现实的粗略简化，基因不是简单的二进制开关，但在一些情况下，它们正确地捕捉了表达和抑制基因的正确模式<ref>{{cite journal|last1=Albert|first1=Réka|last2=Othmer|first2=Hans G|title=The topology of the regulatory interactions predicts the expression pattern of the segment polarity genes in Drosophila melanogaster|journal=Journal of Theoretical Biology|date=July 2003|volume=223|issue=1|pages=1–18|doi=10.1016/S0022-5193(03)00035-3|pmid=12782112|pmc=6388622|citeseerx=10.1.1.13.3370}}<!--|accessdate=25 November 2014--></ref><ref>{{cite journal|last1=Li|first1=J.|last2=Bench|first2=A. J.|last3=Vassiliou|first3=G. S.|last4=Fourouclas|first4=N.|last5=Ferguson-Smith|first5=A. C.|last6=Green|first6=A. R.|title=Imprinting of the human L3MBTL gene, a polycomb family member located in a region of chromosome 20 deleted in human myeloid malignancies |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|date=30 April 2004 |volume=101|issue=19 |pages=7341–7346 |doi=10.1073/pnas.0308195101|pmid=15123827 |pmc=409920|bibcode = 2004PNAS..101.7341L }}</ref>。
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 {{Reflist|30em}}
-*Dubrova, E., Teslenko, M., Martinelli, A., (2005). *[http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1129670 Kauffman Networks: Analysis and Applications],  in "Proceedings of International Conference on Computer-Aided Design", pages 479-484.

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-==External links==
+==外部链接==
 *[http://www.ddlab.com/ DDLab]
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 *[http://www.colomoto.org/ CoLoMoTo (Consortium for Logical Models and Tools)]

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 |2002
-|与系统大小成线性关系,
+|与系统大小成线性关系
 |<math>\langle\nu\rangle \sim N</math>
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 |2003
-|快于线性关系,
+|长度增长速度大于线性关系
 |<math>\langle\nu\rangle > N^x</math>  <math>x > 1</math>
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 |2003
-|超多项式增长,
+|长度呈超多项式增长
 |<math>\langle\nu\rangle > N^x \forall x</math>
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 |}
-==Stability==
+==稳定性==
-In dynamical systems theory, the structure and length of the attractors of a network corresponds to the dynamic phase of the network. The stability of Boolean networks depends on the connections of their nodes. A Boolean network can exhibit stable, critical or chaotic behavior. This phenomenon is governed by a critical value of the average number of connections of nodes (<math>K_{c}</math>), and can be characterized by the Hamming distance as distance measure. In the unstable regime, the distance between two initially close states on average grows exponentially in time, while in the stable regime it decreases exponentially. In this, with "initially close states" one means that the Hamming distance is small compared with the number of nodes (<math>N</math>) in the network.
+在动力系统理论中，网络的结构和吸引子的长度与网络所处的动态阶段相对应。布尔网络的'''<font color="#FF8000">稳定性 Stability</font>'''取决于其节点的连接。布尔网络可以表现出稳定、临界或'''<font color="#FF8000">混沌chaos</font>'''的行为。这种现象受节点平均连接数的临界值（<math>K_{c}</math>）支配，可以用'''<font color="#FF8000">汉明距离Hamming distance</font>'''作为距离度量。在不稳定机制下，随着时间增长，两个初始接近状态之间的平均距离呈指数级增长，而在稳定机制下则呈指数级减小。在这种情况下， "最初接近的状态 "意味着状态间的汉明距离与网络中的节点数（<math>N</math>）相比是很小的。
-在动力系统理论中，网络的结构和吸引子的长度对应于网络的动态阶段。布尔网络的稳定性取决于其节点的连接。布尔网络可以表现出稳定、临界或混乱的行为。这种现象受节点平均连接数的临界值（<math>K_{c}</math>）支配，可以用汉明距离作为距离度量。在非稳定体制下，两个初始接近状态之间的平均距离在时间上呈指数级增长，而在稳定体制下则呈指数级减小。在这其中，用 "最初接近的状态 "意味着汉明距离与网络中的节点数（<math>N</math>）相比是很小的。
+对于'''<font color="#FF8000">N-K模型 N-K-model<ref>{{cite journal |last=Kauffman |first=S. A. |date=1969 |title=Metabolic stability and epigenesis in randomly constructed genetic nets |journal=Journal of Theoretical Biology |volume=22 |issue=3 |pages=437–467 |doi=10.1016/0022-5193(69)90015-0|pmid=5803332 }}</ref> </font>'''，如果 <math>K<K_{c}</math> ，网络是稳定的；如果 <math>K=K_{c}</math> ，网络是处于临界状态的；如果 <math>K>K_{c}</math> ，网络是不稳定的。
 The state of a given node <math> n_{i} </math> is updated according to its [[truth table]], whose outputs are randomly populated. <math> p_{i} </math> denotes the probability of assigning an off output to a given series of input signals.
-The state of a given node <math> n_{i} </math> is updated according to its truth table, whose outputs are randomly populated. <math> p_{i} </math> denotes the probability of assigning an off output to a given series of input signals.
+The state of a given node <math> n_{i} </math> is updated according to its truth table, whose outputs are randomly populated. <math> p_{i} </math> denotes the probability of assigning an off output to a given series of input signals.给给定的一系列输入信号分配一个off输出的概率。
-一个给定节点的状态 <math>n_{i}</math> 根据其真值表进行更新，真值表的输出是随机填充的。<math>p_{i}</math> 表示将关闭输出分配给给定系列输入信号的概率。
+一个给定节点的状态 <math>n_{i}</math> 根据其'''<font color="#FF8000">真值表truth table</font>'''进行更新，真值表的输出是随机填充的。<math>p_{i}</math> 表示对给定的一系列输入信号分配一个关闭输出信号指令的概率。将关闭输出分配给给定系列输入信号的概率。

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 |收敛速度比幂律快 <math>\langle A\rangle > N^x \forall x</math>
-|收敛速度比幂律快, <math>\langle\nu\rangle > N^x \forall x</math>
+|<math>\langle\nu\rangle > N^x \forall x</math>
 |首个数学上的证据
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 |2002
-| 与系统大小成线性关系,
+|与系统大小成线性关系,
-|与系统大小成线性关系, <math>\langle\nu\rangle \sim N</math>
+|<math>\langle\nu\rangle \sim N</math>
+|
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 |快于线性关系,
-|快于线性关系, <math>\langle\nu\rangle > N^x</math>  <math>x > 1</math>
+|<math>\langle\nu\rangle > N^x</math>  <math>x > 1</math>
+|
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 |超多项式增长,
-|超多项式增长, <math>\langle\nu\rangle > N^x \forall x</math>
+|<math>\langle\nu\rangle > N^x \forall x</math>
 |提供数学证明
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 |收敛速度比幂律快, <math>\langle A\rangle > N^x \forall x</math>
-|收敛速度比幂律快, <math>\langle\nu\rangle > N^x \forall x</math>
+|<math>\langle\nu\rangle > N^x \forall x</math>
+|
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 *The '''Partially-Observed Boolean Dynamical System (POBDS)'''<ref>{{Cite journal|last=Imani|first=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|date=2017-01-01|title=Maximum-Likelihood Adaptive Filter for Partially Observed Boolean Dynamical Systems|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=65|issue=2|pages=359–371|doi=10.1109/TSP.2016.2614798|issn=1053-587X|arxiv=1702.07269|bibcode=2017ITSP...65..359I}}</ref><ref>{{Cite book|pages=972–976|last=Imani|first=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|language=en-US|doi=10.1109/GlobalSIP.2015.7418342|chapter=Optimal state estimation for boolean dynamical systems using a boolean Kalman smoother|year=2015|isbn=978-1-4799-7591-4|title=2015 IEEE Global Conference on Signal and Information Processing (GlobalSIP)}}</ref><ref>{{Cite book|last=Imani|first=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|language=en-US|doi=10.1109/ACC.2016.7524920|title=2016 American Control Conference (ACC)|pages=227–232|year=2016|isbn=978-1-4673-8682-1}}</ref><ref>{{Cite book|last=Imani|first=M.|last2=Braga-Neto|first2=U.|date=2016-12-01|title=Point-based value iteration for partially-observed Boolean dynamical systems with finite observation space|journal=2016 IEEE 55th Conference on Decision and Control (CDC)|pages=4208–4213|doi=10.1109/CDC.2016.7798908|isbn=978-1-5090-1837-6}}</ref> signal model differs from all previous deterministic and stochastic Boolean network models by removing the assumption of direct observability of the Boolean state vector and allowing uncertainty in the observation process, addressing the scenario encountered in practice.
-==Application of Boolean Networks==
+==Application of Boolean Networks ==
 布尔网络的应用<br>
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 {{Reflist|30em}}
-* Dubrova, E., Teslenko, M., Martinelli, A., (2005). *[http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1129670 Kauffman Networks: Analysis and Applications],  in "Proceedings of International Conference on Computer-Aided Design", pages 479-484.<!-- to be cited or not -->
+*Dubrova, E., Teslenko, M., Martinelli, A., (2005). *[http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1129670 Kauffman Networks: Analysis and Applications],  in "Proceedings of International Conference on Computer-Aided Design", pages 479-484.<!-- to be cited or not -->

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 |首个数学上的证据
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-| Bilke/ Sjunnesson<ref>{{cite journal|last1=Bilke|first1=Sven|last2=Sjunnesson|first2=Fredrik|title=Stability of the Kauffman model|journal=Physical Review E|date=December 2001|volume=65|issue=1|pages=016129|doi=10.1103/PhysRevE.65.016129|pmid=11800758|arxiv = cond-mat/0107035 |bibcode = 2002PhRvE..65a6129B }}<!--|accessdate=26 November 2014--></ref>
+|Bilke/ Sjunnesson<ref>{{cite journal|last1=Bilke|first1=Sven|last2=Sjunnesson|first2=Fredrik|title=Stability of the Kauffman model|journal=Physical Review E|date=December 2001|volume=65|issue=1|pages=016129|doi=10.1103/PhysRevE.65.016129|pmid=11800758|arxiv = cond-mat/0107035 |bibcode = 2002PhRvE..65a6129B }}<!--|accessdate=26 November 2014--></ref>
 |Bilke/ Sjunnesson
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 |2002
+|与系统大小成线性关系,
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 |2003
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-| Samuelsson/Troein<ref>{{cite journal|last1=Samuelsson|first1=Björn|last2=Troein|first2=Carl|title=Superpolynomial Growth in the Number of Attractors in Kauffman Networks|journal=Physical Review Letters|date=March 2003|volume=90|issue=9|doi=10.1103/PhysRevLett.90.098701|bibcode=2003PhRvL..90i8701S|pmid=12689263|page=098701}}<!--|accessdate=26 November 2014--></ref>
+|Samuelsson/Troein<ref>{{cite journal|last1=Samuelsson|first1=Björn|last2=Troein|first2=Carl|title=Superpolynomial Growth in the Number of Attractors in Kauffman Networks|journal=Physical Review Letters|date=March 2003|volume=90|issue=9|doi=10.1103/PhysRevLett.90.098701|bibcode=2003PhRvL..90i8701S|pmid=12689263|page=098701}}<!--|accessdate=26 November 2014--></ref>
 |Samuelsson/Troein
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 |2003
+|超多项式增长,
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 |超多项式增长, <math>\langle\nu\rangle > N^x \forall x</math>
-|超多项式增长，< math > langle nu rangle > n ^ x for all x <nowiki></math ></nowiki>
+| 超多项式增长，< math > langle nu rangle > n ^ x for all x <nowiki></math ></nowiki>
 |提供数学证明
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 |2005
-| 收敛速度比幂律快, <math>\langle A\rangle > N^x \forall x</math>
+|收敛速度比幂律快, <math>\langle A\rangle > N^x \forall x</math>
 |收敛速度比幂律快, <math>\langle A\rangle > N^x \forall x</math>
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 |收敛速度比幂律快, <math>\langle\nu\rangle > N^x \forall x</math>
-| 收敛速度比幂律快, <math>\langle\nu\rangle > N^x \forall x</math>
+|收敛速度比幂律快, <math>\langle\nu\rangle > N^x \forall x</math>
 |收敛速度比幂律快，< math > langle nu rangle > n ^ x for all x <nowiki></math ></nowiki>
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-== Stability==
+==Stability==
 '''<font color="#FF8000">稳定性 Stability </font>'''<br>
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 模型的变化<br>
-==Other topologies==
+== Other topologies==
 其他拓扑性质<br>
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-==Classification==
+== Classification==
 分类<br>
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 '''<font color="#FF8000">NK模型 NK Model </font>'''
-==References==
+==References ==
 {{Reflist|30em}}
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-==External links ==
+==External links==
 *[http://www.ddlab.com/ DDLab]

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 ==经典模型==
-布尔网络是一种有着特殊的顺序动力学的系统，其中时间和状态都是离散的。也就是说，时间序列中的变量集和状态集都各自有一个偏射到一个整数序列上。这样的系统就像网络上的
+布尔网络是一种有着特殊的顺序动力学的系统，其中时间和状态都是离散的。也就是说，时间序列中的变量集和状态集都各自有一个偏射到一个整数序列上。这样的系统就像网络上的'''<font color="#FF8000">元胞自动机 cellular automata（CA）</font>'''一样，只是当它们被建立起来的时候，每个节点都遵从着一个规则，这个规则是从所有 ''2<sup>k</sup>'' 个可能的规则中随机选择的，有 ''K'' 个输入。在 ''K=2'' 时，第二类行为往往占主导地位。但对于 ''K>2'' ，人们看到的行为很快就会接近随机映射的典型特征，其中代表 ''N'' 个底层节点的 ''2<sup>k</sup>'' 种状态演化的网络本身基本上是随机连接的<ref>{{cite book|last1=Wolfram|first1=Stephen|title=A New Kind of Science|date=2002|publisher=Wolfram Media, Inc.|location=Champaign, Illinois|isbn=978-1579550080|page=[https://archive.org/details/newkindofscience00wolf/page/936 936]|url=https://archive.org/details/newkindofscience00wolf/page/936|accessdate=15 March 2018|url-access=registration}}</ref>。
-状态转移图的一个重要性质是图中的每个节点都有一条出边，因为布尔网络的下一个状态是由布尔网络的当前状态唯一确定的。从这个属性可以看出，状态转换图是树状结构的集合，每个树状结构由树和循环组成，其中树和/或循环可以由单个节点和一个自循环组成。在这些树状结构中，每条边都是从叶指向根的，循环对应于树的根。
+为了结构化分析布尔网络，我们先介绍一下'''<font color="#FF8000">状态迁移图State Transition Diagram (STD)</font>'''的概念。状态迁移图也称为状态转移图，被用来描述系统或对象的状态，以及导致系统或对象的状态改变的事件，从而描述系统的行为。属于结构化分析方法使用工具。在状态迁移图中，由一个状态和一个事件所确定的下一状态可能会有多个。实际系统在下一步会迁移到哪一个状态，是由更详细的内部状态和更详细的事件信息来决定的，此时在状态迁移图中可能需要使用加进判断框和处理框的记法。状态迁移图在结构化分析中具有如下优点：第一，状态之间的关系能够直观地捕捉到，这样很直观地就能看到是否所有可能的状态迁移都已纳入图中，是否存在不必要的状态等。第二，由于状态迁移图的单纯性，能够简单机械地分析许多状态转移的情况，可以很容易地建立分析工具。
-A '''random Boolean network'''&nbsp;(RBN) is one that is randomly selected from the set of all possible boolean networks of a particular size, ''N''.  One then can study statistically, how the expected properties of such networks depend on various statistical properties of the ensemble of all possible networks.  For example, one may study how the RBN behavior changes as the average connectivity is changed.
+那么对于布尔网络的结构分析，其状态迁移图的一个重要性质是图中的每个节点都有一条出边，因为布尔网络的下一个状态是由布尔网络的当前状态唯一确定的。从这个属性可以看出，状态迁移图是树状结构的集合，每个树状结构由树和循环组成，其中树和/或循环可以由单个节点和一个自循环组成。在这些树状结构中，每条边都是从叶指向根的，循环对应于树的根。
-A random Boolean network&nbsp;(RBN) is one that is randomly selected from the set of all possible boolean networks of a particular size, N.  One then can study statistically, how the expected properties of such networks depend on various statistical properties of the ensemble of all possible networks.  For example, one may study how the RBN behavior changes as the average connectivity is changed.
+接下来我们了解布尔网络中的另一种随机型网络：'''<font color="#FF8000">随机布尔网络 Random Boolean Network（RBN） </font>'''是指从所有具有特定大小''N'' 的可能布尔网络集合中随机选取的网络。然后，人们可以从统计学上研究，这种网络的预期特性如何依赖于所有可能网络的集合的各种统计特性。 例如，人们可以研究随机布尔网络的行为如何随着网络集合属性中'''<font color="#FF8000"> 平均连通性 Average Connectivity  </font>'''的改变而改变。
-'''<font color="#FF8000">随机布尔网络 Random Boolean Network（RBN） </font>'''是指从所有可能的特定大小的布尔网络 ''N'' 的集合中随机选取的网络。然后，人们可以从统计学上研究，这种网络的预期特性如何依赖于所有可能网络的集合的各种统计特性。 例如，人们可以研究RBN行为如何随着'''<font color="#FF8000"> Average Connectivity 平均连通性 </font>'''的改变而改变。
+对于布尔网络经典模型的研究历史，最早可以追溯到1969年，Stuart A. Kauffman 就提出了第一个布尔网络，作为遗传调控网络的随机模型<ref name="KauffmanOriginal">{{cite journal|last1=Kauffman|first1=Stuart|title=Homeostasis and Differentiation in Random Genetic Control Networks|journal=Nature|date=11 October 1969|volume=224|issue=5215|pages=177–178|doi=10.1038/224177a0|pmid=5343519|bibcode = 1969Natur.224..177K }}<!--|accessdate=25 November 2014--></ref>，但直到2000年之后，人们对于布尔网络模型的数学理解才逐步开始<ref name="AldanaCoppersmithKadanoff">{{cite book|last1=Aldana|first1=Maximo|last2=Coppersmith|first2=Susan|author2-link= Susan Coppersmith |last3=Kadanoff|first3=Leo P.|title=Boolean Dynamics with Random Couplings|journal=Perspectives and Problems in Nonlinear Sciences|date=2003|pages=23–89|doi=10.1007/978-0-387-21789-5_2|arxiv=nlin/0204062|isbn=978-1-4684-9566-9}}</ref><ref>{{Cite journal|arxiv=nlin.AO/0408006|last1=Gershenson|first1=Carlos|title=Introduction to Random Boolean Networks|journal=In Bedau, M., P. Husbands, T. Hutton, S. Kumar, and H. Suzuki (eds.) Workshop and Tutorial Proceedings, Ninth International Conference on the Simulation and Synthesis of Living Systems (ALife IX). Pp|volume=2004|pages=160–173|year=2004|bibcode=2004nlin......8006G}}</ref>。
-The first Boolean networks were proposed by [[Stuart A. Kauffman]] in 1969, as [[random]] models of [[genetic regulatory network]]s<ref name="KauffmanOriginal">{{cite journal|last1=Kauffman|first1=Stuart|title=Homeostasis and Differentiation in Random Genetic Control Networks|journal=Nature|date=11 October 1969|volume=224|issue=5215|pages=177–178|doi=10.1038/224177a0|pmid=5343519|bibcode = 1969Natur.224..177K }}<!--|accessdate=25 November 2014--></ref> but their mathematical understanding only started in the 2000s.<ref name="AldanaCoppersmithKadanoff">{{cite book|last1=Aldana|first1=Maximo|last2=Coppersmith|first2=Susan|author2-link= Susan Coppersmith |last3=Kadanoff|first3=Leo P.|title=Boolean Dynamics with Random Couplings|journal=Perspectives and Problems in Nonlinear Sciences|date=2003|pages=23–89|doi=10.1007/978-0-387-21789-5_2|arxiv=nlin/0204062|isbn=978-1-4684-9566-9}}</ref><ref>{{Cite journal|arxiv=nlin.AO/0408006|last1=Gershenson|first1=Carlos|title=Introduction to Random Boolean Networks|journal=In Bedau, M., P. Husbands, T. Hutton, S. Kumar, and H. Suzuki (eds.) Workshop and Tutorial Proceedings, Ninth International Conference on the Simulation and Synthesis of Living Systems (ALife IX). Pp|volume=2004|pages=160–173|year=2004|bibcode=2004nlin......8006G}}</ref>
+由于布尔网络只有 2<sup>N</sup> 种有限可能的状态，所以一个系统历经的状态轨迹迟早会到达以前访问过的状态。因此，由于动力学是确定性的，系统的状态轨迹将落入一个稳定的状态或状态周期中，这种稳定状态或者周期即被称为'''<font color="#FF8000">吸引子 Attractors </font>'''。这里说明一下，对于在更广泛的动力学系统领域的情况，一个稳定状态或者周期只有当对于系统的扰动导致系统状态回到这个稳定状态或者周期状态时才称其为吸引子。如果吸引子只有一个孤立的状态，则称为'''<font color="#FF8000">点吸引子point attractor'''，如果吸引子由一个以上的多个状态组成，则称为'''<font color="#FF8000">周期吸引子cycle attractor'''或者'''<font color="#FF8000">极限环limit cycle</font>'''。导致吸引子的状态集称为吸引子的'''<font color="#FF8000">吸引域basin of the attractor</font>'''。
-The first Boolean networks were proposed by Stuart A. Kauffman in 1969, as random models of genetic regulatory networks but their mathematical understanding only started in the 2000s.
+只发生在系统状态轨迹开始时的状态（也就是没有其他轨迹通向它们）被称为'''<font color="#FF8000">伊甸园状态garden-of-Eden states<ref name="WuenscheBook">{{cite book|last1=Wuensche|first1=Andrew|title=Exploring discrete dynamics : [the DDLab manual : tools for researching cellular automata, random Boolean and multivalue neworks [sic] and beyond]|date=2011|publisher=Luniver Press|location=Frome, England|isbn=9781905986316|page=16|url=https://books.google.de/books?id=qsktzY_Vg8QC&pg=PA16|accessdate=12 January 2016}}</ref>'''，网络的动态从这些状态流向吸引子，而它们到达吸引子所需的时间也被称为'''<font color="#FF8000">瞬态时间transient time<ref name="DrosselRbn" />'''。
   garden-of-Eden states </font>'''网络的动态从这些状态流向吸引子。到达吸引子所需的时间称为'''<font color="#FF8000">瞬时 transient time </font>'''。'''
-With growing computer power and increasing understanding of the seemingly simple model, different authors gave different estimates for the mean number and length of the attractors, here a brief summary of key publications.<ref name="GreilReview">{{cite journal|last1=Greil|first1=Florian|title=Boolean Networks as Modeling Framework|journal=Frontiers in Plant Science|date=2012|volume=3|pages=178|doi=10.3389/fpls.2012.00178|pmid=22912642|pmc=3419389}}<!--|accessdate=26 November 2014--></ref>
+随着计算机能力的不断提高，人们对看似简单的模型的理解也越来越深刻，在网络研究中不同的作者对吸引子的平均数量和长度给出了不同的估计，这里简单地总结一下在主要出版物上发表的研究成果<ref name="GreilReview">{{cite journal|last1=Greil|first1=Florian|title=Boolean Networks as Modeling Framework|journal=Frontiers in Plant Science|date=2012|volume=3|pages=178|doi=10.3389/fpls.2012.00178|pmid=22912642|pmc=3419389}}<!--|accessdate=26 November 2014--></ref>。
 {| class="wikitable sortable"
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 |Bilke/ Sjunnesson<ref>{{cite journal|last1=Bilke|first1=Sven|last2=Sjunnesson|first2=Fredrik|title=Stability of the Kauffman model|journal=Physical Review E|date=December 2001|volume=65|issue=1|pages=016129|doi=10.1103/PhysRevE.65.016129|pmid=11800758|arxiv = cond-mat/0107035 |bibcode = 2002PhRvE..65a6129B }}<!--|accessdate=26 November 2014--></ref>
-|Bilke/ Sjunnesson
+| Bilke/ Sjunnesson
 |Bilke/Sjunnesson
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-|Socolar/Kauffman<ref>{{cite journal|last1=Socolar|first1=J.|last2=Kauffman|first2=S.|title=Scaling in Ordered and Critical Random Boolean Networks|journal=Physical Review Letters|date=February 2003|volume=90|issue=6|pages=068702|doi=10.1103/PhysRevLett.90.068702|pmid=12633339|bibcode=2003PhRvL..90f8702S|arxiv = cond-mat/0212306 }}</ref>
+| Socolar/Kauffman<ref>{{cite journal|last1=Socolar|first1=J.|last2=Kauffman|first2=S.|title=Scaling in Ordered and Critical Random Boolean Networks|journal=Physical Review Letters|date=February 2003|volume=90|issue=6|pages=068702|doi=10.1103/PhysRevLett.90.068702|pmid=12633339|bibcode=2003PhRvL..90f8702S|arxiv = cond-mat/0212306 }}</ref>
 |Socolar/Kauffman

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+'''<font color="#FF8000">布尔函数Boolean function</font>'''是一种可用于通过逻辑类型的计算来评估与其布尔输入有关的任何布尔输出的函数。这些功能在复杂性理论中起着基本作用。当布尔函数应用于复杂网络中时，我们定义了'''<font color="#FF8000">布尔网络 Boolean Network </font>'''的概念：布尔网络是由一组离散的布尔变量组成，每个变量都被分配了一个布尔函数（可能每个变量都不同），它从这些变量的子集中获取输入，并输出决定其被分配的变量的状态。
 这一组函数实际上决定了变量集上的拓扑结构（连通性），这些变量就成为网络中的节点。每个变量的状态都由二进制1（开）和0（关）表示，每个模型都有着对应的逻辑规则表，每个变量的邻接变量可以在逻辑规则表的作用下得到自己的状态。由布尔表达式即可看出各个变量之间的逻辑关系。通常，系统的动态是以离散时间序列的形式进行的，通过评估每个变量在时间 ''t'' 的网络状态上的函数来确定整个网络在时间 ''t+1''的状态，这可能是同步或异步完成的<ref>{{cite journal|last1=Naldi|first1=A.|last2=Monteiro|first2=P. T.|last3=Mussel|first3=C.|last4=Kestler|first4=H. A.|last5=Thieffry|first5=D.|last6=Xenarios|first6=I.|last7=Saez-Rodriguez|first7=J.|last8=Helikar|first8=T.|last9=Chaouiya|first9=C.|title=Cooperative development of logical modelling standards and tools with CoLoMoTo|journal=Bioinformatics|date=25 January 2015|volume=31|issue=7|pages=1154–1159|doi=10.1093/bioinformatics/btv013|pmid=25619997|doi-access=free}}&lt;nowiki&gt;</ref>。
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-! Author
+!Author
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 !作者
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 !Year
-! Year
+!Year
-! 年份
+!年份
 !Mean attractor length
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 !Mean attractor length
-! 平均吸引长度
+!平均吸引长度
 !Mean attractor number
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 |faster than a power law, <math>\langle\nu\rangle > N^x \forall x</math>
-| 比幂定律快，< math > langle nu rangle > n ^ x for all x <nowiki></math ></nowiki>
+|比幂定律快，< math > langle nu rangle > n ^ x for all x <nowiki></math ></nowiki>
 |first numerical evidences
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 |Bilke/ Sjunnesson
-| Bilke/Sjunnesson
+|Bilke/Sjunnesson
 |2002
-| 2002
+|2002
 |2002
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 |Samuelsson/Troein<ref>{{cite journal|last1=Samuelsson|first1=Björn|last2=Troein|first2=Carl|title=Superpolynomial Growth in the Number of Attractors in Kauffman Networks|journal=Physical Review Letters|date=March 2003|volume=90|issue=9|doi=10.1103/PhysRevLett.90.098701|bibcode=2003PhRvL..90i8701S|pmid=12689263|page=098701}}<!--|accessdate=26 November 2014--></ref>
-| Samuelsson/Troein
+|Samuelsson/Troein
 |Samuelsson/Troein
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 |2003
-| 2003
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 |2005
-| 2005
+|2005
 |faster than a power law, <math>\langle A\rangle > N^x \forall x</math>
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 |比幂定律快，< math > langle a rangle > n ^ x for all x <nowiki></math ></nowiki>
-| faster than a power law, <math>\langle\nu\rangle > N^x \forall x</math>
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