幂律分布 - 版本历史

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2021年1月10日 (日) 12:51 薄荷

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CecileLi：/* Kolmogorov–Smirnov估计 */

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Kolmogorov–Smirnov估计

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图形检验法 Graphical methods for identification

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薄荷：/* 实例 */

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实例

趣木木：/* "幂律"相关概念的区分 */

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"幂律"相关概念的区分

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 [[File:Long_tail.svg|500px|缩略图|右|一个幂律图示例，展示了人气排名的规律。右侧是数量庞大但人气微弱的[https://en.wikipedia.org/wiki/Long_tail “长尾”]，左侧则是少数“主宰”。 (又称80–20法则)。]]
-在统计学中，'''幂律'''表示的是两个量之间的函数关系，其中一个量的相对变化会导致另一个量的相应幂次比例的变化，且与初值无关：表现为一个量是另一个量的'''幂次方'''。例如，正方形面积与边长的关系，如果长度扩大到两倍，那么面积扩大到四倍。<ref name="a">Bar-Yam, Yaneer (2015) [https://pattern.swarma.org/paper?id=3f7cfb86-6a75-11ea-8988-0242ac1a0005 "Concepts: Power Law"].New England Complex Systems Institute. Retrieved 18 August.</ref>
+在统计学中，'''幂律（Power Law）'''表示的是两个量之间的函数关系，其中一个量的相对变化会导致另一个量的相应幂次比例的变化，且与初值无关：表现为一个量是另一个量的'''幂次方'''。例如，正方形面积与边长的关系，如果长度扩大到两倍，那么面积扩大到四倍。<ref name="a">Bar-Yam, Yaneer (2015) [https://pattern.swarma.org/paper?id=3f7cfb86-6a75-11ea-8988-0242ac1a0005 "Concepts: Power Law"].New England Complex Systems Institute. Retrieved 18 August.</ref>
 ==实例==
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 * Sornette, Didier (2006). Critical Phenomena in Natural Sciences: Chaos, Fractals, Self-organization and Disorder: Concepts and Tools. Springer Series in Synergetics (2nd ed.). Heidelberg: Springer, ISBN 978-3-540-30882-9.
 * Mark Buchanan (2000) ''Ubiquity'', Weidenfeld & Nicolson, ISBN 0-297-64376-2
 * Alexander Saichev, Yannick Malevergne and Didier Sornette (2009) Theory of Zipf's law and beyond, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Volume 632, Springer (November 2009), ISBN 978-3-642-02945-5

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 |keywords=分形,幂律分布,肥尾,幂律函数,集智
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-本中文词条由[[用户:靠倒立解气|靠倒立解气]]参与编译，[[用户:高飞|高飞]]、[[用户:张江|张江]]总审校，[[用户:薄荷|薄荷]]编辑，欢迎在讨论页面留言。
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-另一种计算幂律指数的方法，它不使用独立同分布数据，使用的是[https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov%E2%80%93Smirnov_statistic Kolmogorov-Smirnov]统计量的最小值， <math>D</math>,在数据的累积分布函数和幂律之间：
+这是另一种计算幂律指数的方法，它不使用独立同分布数据，使用的是[https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov%E2%80%93Smirnov_statistic Kolmogorov-Smirnov]统计量的最小值， <math>D</math>,在数据的累积分布函数和幂律之间：
 : <math>\hat{\alpha} = \underset{\alpha}{\operatorname{arg\,min}} \, D_\alpha </math>
 且：

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 [[File:Log-log_plot_example.svg|300px|缩略图|右|在双对数图上呈现直线是必要的，但对于幂律，没有足够的证据证明直线的斜率就对应于幂律指数。]]
-虽然人们已经提出了更成熟更稳健的方法，但通过随机样本检验幂律概率分布的最常用的图形方法还是[[帕累托双分位图 Pareto quantile-quantile plot（或帕累托Q-Q图）]]，平均剩余寿命图 mean residual life plot<ref>Beirlant, J., Teugels, J. L., Vynckier, P. (1996a) ''Practical Analysis of Extreme Values'', Leuven: Leuven University Press</ref><ref>Coles, S. (2001) ''An introduction to statistical modeling of extreme values''. Springer-Verlag, London.</ref>和双对数图 Pareto quantile-quantile plots（[https://en.wikipedia.org/wiki/Log%E2%80%93log_plot log-log图]）。另一种更强大的图形检验法是利用残余分位函数束<ref name="Diaz">Diaz, F. J. (1999) [https://pattern.swarma.org/paper?id=e93579d4-6da7-11ea-8f36-0242ac1a0005 "Identifying Tail Behavior by Means of Residual Quantile Functions"].Journal of Computational and Graphical Statistics.8.(493--509)</ref> 。（注意，幂律分布也称为帕累托分布。）这里假设从概率分布中获得随机样本，并且我们想知道分布的尾部是否遵循幂律（换句话说，我们想知道分布是否有“帕累托尾”）。此处随机样本也被称为“数据”。
+虽然人们已经提出了更成熟更稳健的方法，但检验随机样本是否具有幂律概率分布的最常用的图形方法还是[[帕累托双分位图 Pareto quantile-quantile plot（或帕累托Q-Q图）]]，平均剩余寿命图 mean residual life plot<ref>Beirlant, J., Teugels, J. L., Vynckier, P. (1996a) ''Practical Analysis of Extreme Values'', Leuven: Leuven University Press</ref><ref>Coles, S. (2001) ''An introduction to statistical modeling of extreme values''. Springer-Verlag, London.</ref>和双对数图 Pareto quantile-quantile plots（[https://en.wikipedia.org/wiki/Log%E2%80%93log_plot log-log图]）。另一种更强大的图形检验法是利用残余分位函数束<ref name="Diaz">Diaz, F. J. (1999) [https://pattern.swarma.org/paper?id=e93579d4-6da7-11ea-8f36-0242ac1a0005 "Identifying Tail Behavior by Means of Residual Quantile Functions"].Journal of Computational and Graphical Statistics.8.(493--509)</ref> 。（注意，幂律分布也称为帕累托分布。）这里假设从概率分布中获得随机样本，并且我们想知道分布的尾部是否遵循幂律（换句话说，我们想知道分布是否有“帕累托尾”）。此处随机样本也被称为“数据”。
 帕累托Q-Q图是这样绘制的：它将取对数后（样本）数据的分位数与取均值为1的指数分布对应的分位数（或标准帕累托分布的位数）进行比较。如果得到的散点图表现是“渐近收敛”为直线，就应该怀疑其服从幂律分布。帕累托 Q-Q图的局限是它在尾部指数<math>\alpha</math>（也称为帕累托指数）接近于0时表现不佳，因为帕累托Q-Q图难以检验尾部是缓慢变化的分布。<ref name="Diaz"/>
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 双对数图是使用随机样本以图形方式检验尾部分布的另一种方式。使用这个方法需谨慎，因为双对数图中呈现直线对幂律概率分布是必要不充分条件，许多非幂律分布在双对数图上也显示为直线<ref name="Three-Toed Sloth">Three-Toed Sloth (2018) [https://pattern.swarma.org/paper?id=932f3352-6da9-11ea-b3f5-0242ac1a0005 So You Think You Have a Power Law — Well Isn't That Special?].</ref><ref name="Aaron Clauset"></ref> 。这个方法是将特定数在该分布中的概率估计量的对数 | 对比这个数的对数 |  进行绘图。通常，此估计量是该数据在数据集中出现的次数的比例。如果图中的点在x较大时倾向于“收敛”为直线，则可得出结论，该分布具有“幂律尾”（power-law tail）。目前这些类型的绘图的[https://doi.org/10.1038/35036627 应用示例] 已经发表<ref name="Jeong">Jeong, H, Albert; Oltvai, B., Barabasi, Z.N., A.-L. (2000) [https://pattern.swarma.org/paper?id=ac8e1582-6dab-11ea-b7e7-0242ac1a0005 "The large-scale organization of metabolic networks"].Nature.407.(651--654)</ref>。但这种方法的局限是，需要大量的数据才能使结果可靠。此外，它仅适用于离散（或分组）数据。
-不过，目前已经提出了使用随机样本检验幂律概率分布的另一种图形方法。该方法包括绘制对数变换样本的束，是最早提出使用随机样本探索矩的存在和矩生成函数的工具，基于[[残差分位函数 RQF]]（也称为残差百分位函数）<ref>Arnold, B. C., Brockett, P. L. (1983) [https://pattern.swarma.org/paper?id=4ae90c8a-6dfe-11ea-9588-0242ac1a0005 "When does the βth percentile residual life function determine the distribution?"].Operations Research.31.(391--396)</ref><ref>Joe, H., Proschan, F. (1984) [https://pattern.swarma.org/paper?id=718f4dea-6dfe-11ea-a580-0242ac1a0005 "Percentile residual life functions"].Operations Research.32.(668--678)</ref><ref>Joe, H., Part, A (1985) [https://pattern.swarma.org/paper?id=ececa614-6dfd-11ea-9867-0242ac1a0005 "Characterizations of life distributions from percentile residual lifetimes"].37.(165--172)</ref><ref name="Csorgo">Csorgo, S., Viharos, L. (1992) [https://pattern.swarma.org/paper?id=a8d9b326-6dfe-11ea-a263-0242ac1a0005 "Confidence bands for percentile residual lifetimes"].Journal of Statistical Planning and Inference.30.(327--337)</ref><ref>Schmittlein, D. C., Morrison, D. G. (1981) [https://pattern.swarma.org/paper?id=223f4cca-6e00-11ea-adc5-0242ac1a0005 "The median residual lifetime: A characterization theorem and an application"].Operations Research.29.(392--399)</ref><ref>Morrison, D. G., Schmittlein, D. C. (1980) [https://pattern.swarma.org/paper?id=8191c022-6e00-11ea-89f3-0242ac1a0005 "Jobs, strikes, and wars: Probability models for duration"].Organizational Behavior and Human Performance.25.(224--251)</ref><ref>Gerchak, Y (1984) [https://pattern.swarma.org/paper?id=99b1a06e-6e00-11ea-981a-0242ac1a0005 "Decreasing failure rates and related issues in the social sciences"].Operations Research.32.(537--546)</ref>.The European Physical Journal.58.(167--173)</ref> ，它提供了许多众所周知的概率分布的尾部行为的完整表征，包括幂律分布与其他类型的重尾，甚至非重尾分布的分布。这种方法绘制的图形没有上面提到的平均剩余寿命图、双对数图和帕累托 Q-Q图的缺点，它们对异常值很敏感，能够直观地检验具有小<math>\alpha</math>值的幂律，并且不适用于分析大量数据。此外，其他分布类型的尾部也可以用这个方法观察检验。
+不过，目前已经发现了使用随机样本检验幂律概率分布的另一种图形方法。该方法包括绘制对数变换样本的束，是最早提出使用随机样本探索矩的存在和矩生成函数的工具，基于[[残差分位函数 RQF]]（也称为残差百分位函数）<ref>Arnold, B. C., Brockett, P. L. (1983) [https://pattern.swarma.org/paper?id=4ae90c8a-6dfe-11ea-9588-0242ac1a0005 "When does the βth percentile residual life function determine the distribution?"].Operations Research.31.(391--396)</ref><ref>Joe, H., Proschan, F. (1984) [https://pattern.swarma.org/paper?id=718f4dea-6dfe-11ea-a580-0242ac1a0005 "Percentile residual life functions"].Operations Research.32.(668--678)</ref><ref>Joe, H., Part, A (1985) [https://pattern.swarma.org/paper?id=ececa614-6dfd-11ea-9867-0242ac1a0005 "Characterizations of life distributions from percentile residual lifetimes"].37.(165--172)</ref><ref name="Csorgo">Csorgo, S., Viharos, L. (1992) [https://pattern.swarma.org/paper?id=a8d9b326-6dfe-11ea-a263-0242ac1a0005 "Confidence bands for percentile residual lifetimes"].Journal of Statistical Planning and Inference.30.(327--337)</ref><ref>Schmittlein, D. C., Morrison, D. G. (1981) [https://pattern.swarma.org/paper?id=223f4cca-6e00-11ea-adc5-0242ac1a0005 "The median residual lifetime: A characterization theorem and an application"].Operations Research.29.(392--399)</ref><ref>Morrison, D. G., Schmittlein, D. C. (1980) [https://pattern.swarma.org/paper?id=8191c022-6e00-11ea-89f3-0242ac1a0005 "Jobs, strikes, and wars: Probability models for duration"].Organizational Behavior and Human Performance.25.(224--251)</ref><ref>Gerchak, Y (1984) [https://pattern.swarma.org/paper?id=99b1a06e-6e00-11ea-981a-0242ac1a0005 "Decreasing failure rates and related issues in the social sciences"].Operations Research.32.(537--546)</ref>.The European Physical Journal.58.(167--173)</ref> ，它提供了许多众所周知的概率分布的尾部行为的完整表征，包括幂律分布与其他类型的重尾，甚至非重尾分布的分布。这种方法绘制的图形没有上面提到的平均剩余寿命图、双对数图和帕累托 Q-Q图的缺点，它们对异常值很敏感，能够直观地检验具有小<math>\alpha</math>值的幂律，并且不适用于分析大量数据。此外，其他分布类型的尾部也可以用这个方法观察检验。
 ===绘制幂律分布 Plotting power-law distributions ===

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 [[File:Long_tail.svg|500px|缩略图|右|一个幂律图示例，展示了人气排名的规律。右侧是数量庞大但人气微弱的[https://en.wikipedia.org/wiki/Long_tail “长尾”]，左侧则是少数“主宰”。 (又称80–20法则)。]]
-在统计学中，'''幂律'''表示的是两个量之间的函数关系，其中一个量的相对变化会导致另一个量的相应幂次比例的变化，且与初值无关：表现为一个量是另一个量的'''幂次方'''。例如，正方形面积与边长的关系，如果长度加倍，那么面积扩大四倍。<ref name="a">Bar-Yam, Yaneer (2015) [https://pattern.swarma.org/paper?id=3f7cfb86-6a75-11ea-8988-0242ac1a0005 "Concepts: Power Law"].New England Complex Systems Institute. Retrieved 18 August.</ref>
+在统计学中，'''幂律'''表示的是两个量之间的函数关系，其中一个量的相对变化会导致另一个量的相应幂次比例的变化，且与初值无关：表现为一个量是另一个量的'''幂次方'''。例如，正方形面积与边长的关系，如果长度扩大到两倍，那么面积扩大到四倍。<ref name="a">Bar-Yam, Yaneer (2015) [https://pattern.swarma.org/paper?id=3f7cfb86-6a75-11ea-8988-0242ac1a0005 "Concepts: Power Law"].New England Complex Systems Institute. Retrieved 18 August.</ref>
 ==实例==
-各种各样的物理、生物和人造现象的分布在大致遵循着幂律，涉及范围极其广泛，包括月球表面月坑的大小，太阳耀斑的强度<ref name="Newman">Newman， M. E. J. (2005). "Power laws, Pareto distributions and Zipf's law". [https://en.wikipedia.org/wiki/Contemporary_Physics Contemporary Physics.] 46 (5): 323–351. [https://arxiv.org/abs/cond-mat/0412004 arXiv:cond-mat/0412004 ]Freely accessible. [http://adsabs.harvard.edu/abs/2005ConPh..46..323N Bibcode:2005ConPh..46..323N.] [https://doi.org/10.1080/00107510500052444 doi:10.1080/00107510500052444]</ref>
+幂律的涉及范围极其广泛，各种各样的物理、生物和人为现象的分布在大致遵循着幂律，包括月球表面月坑的大小，太阳耀斑的强度<ref name="Newman">Newman， M. E. J. (2005). "Power laws, Pareto distributions and Zipf's law". [https://en.wikipedia.org/wiki/Contemporary_Physics Contemporary Physics.] 46 (5): 323–351. [https://arxiv.org/abs/cond-mat/0412004 arXiv:cond-mat/0412004 ]Freely accessible. [http://adsabs.harvard.edu/abs/2005ConPh..46..323N Bibcode:2005ConPh..46..323N.] [https://doi.org/10.1080/00107510500052444 doi:10.1080/00107510500052444]</ref>
-，各物种的觅食模式<ref name="Humphries">Humphries, NE, Queiroz, N, Dyer, JR, Pade, NG, Musyl, MK, Schaefer, KM, Fuller, DW, Brunnschweiler, JM, Doyle, TK, Houghton, JD, Hays, GC, Jones, CS, Noble, LR, Wearmouth, VJ, Southall, EJ, Sims, DW (2010) [https://pattern.swarma.org/paper?id=cc7c08d0-6cd5-11ea-8bce-0242ac1a0005 "Environmental context explains Lévy and Brownian movement patterns of marine predators" (PDF)].Nature, Bibcode:2010Natur.465.1066H. doi:10.1038/nature09116. PMID 20531470..465.(1066--1069)</ref>，神经元集群活动模式的规模<ref name="Klaus">Klaus, A, Yu, S, Plenz, D (2011) [https://pattern.swarma.org/paper?id=53ec16fc-6cd6-11ea-80b8-0242ac1a0005 Zochowski M (ed, "Statistical Analyses Support Power Law Distributions Found in Neuronal Avalanches"].PLoS ONE, Bibcode:2011PLoSO...619779K. doi:10.1371/journal.pone.0019779. PMC 3102672. PMID 21720544..6.(e19779)</ref>，大多数语言的用词频率，各姓氏的频率，生物支系的物种丰富度<ref name="Albert">Albert, J. S., H. J. Bart, & R. E. Reis (2011) [https://pattern.swarma.org/paper?id=8d094202-6cd6-11ea-91d5-0242ac1a0005 Historical Biogeography of Neotropical Freshwater Fishes].University of California Press.</ref>，停电的影响范围，每个罪犯的刑事罪名指控，火山喷发<ref name="Can">Cannavò, Giuseppe (2016) [https://pattern.swarma.org/paper?id=91d35726-6cd8-11ea-8ed0-0242ac1a0005 "On a Possible Unified Scaling Law for Volcanic Eruption Durations"].Scientific Reports, 622289C. doi:10.1038/srep22289. ISSN 2045-2322. PMC 4772095. PMID 26926425..6.(22289, 2016NatSR)</ref>，人类对刺激的敏感度<ref name = "s">Stevens, S. S. (1957). On the psychophysical law. Psychological Review, 64, 153-181</ref><ref name = "ts" >Staddon, J. E. R.  (1978).  Theory of behavioral power functions. Psychological Review, 85, 305-320.</ref> ，等等<ref name="N10">Clauset, A.; Shalizi, C. R.; Newman, M. E. J. (2009). "Power-Law Distributions in Empirical Data". SIAM Review. 51 (4): 661–703. [https://arxiv.org/abs/0706.1062 arXiv:0706.1062 Freely accessible.] [http://adsabs.harvard.edu/abs/2009SIAMR..51..661C Bibcode:2009SIAMR..51..661C.] [https://doi.org/10.1137/070710111 doi:10.1137/070710111]</ref>。
+，各物种的觅食模式<ref name="Humphries">Humphries, NE, Queiroz, N, Dyer, JR, Pade, NG, Musyl, MK, Schaefer, KM, Fuller, DW, Brunnschweiler, JM, Doyle, TK, Houghton, JD, Hays, GC, Jones, CS, Noble, LR, Wearmouth, VJ, Southall, EJ, Sims, DW (2010) [https://pattern.swarma.org/paper?id=cc7c08d0-6cd5-11ea-8bce-0242ac1a0005 "Environmental context explains Lévy and Brownian movement patterns of marine predators" (PDF)].Nature, Bibcode:2010Natur.465.1066H. doi:10.1038/nature09116. PMID 20531470..465.(1066--1069)</ref>，神经元集群活动模式的规模<ref name="Klaus">Klaus, A, Yu, S, Plenz, D (2011) [https://pattern.swarma.org/paper?id=53ec16fc-6cd6-11ea-80b8-0242ac1a0005 Zochowski M (ed, "Statistical Analyses Support Power Law Distributions Found in Neuronal Avalanches"].PLoS ONE, Bibcode:2011PLoSO...619779K. doi:10.1371/journal.pone.0019779. PMC 3102672. PMID 21720544..6.(e19779)</ref>，大多数语言的用词频率，一个国家各姓氏出现的频率，生物支系的物种丰富度<ref name="Albert">Albert, J. S., H. J. Bart, & R. E. Reis (2011) [https://pattern.swarma.org/paper?id=8d094202-6cd6-11ea-91d5-0242ac1a0005 Historical Biogeography of Neotropical Freshwater Fishes].University of California Press.</ref>，停电的影响范围，每个罪犯的刑事罪名指控，火山喷发<ref name="Can">Cannavò, Giuseppe (2016) [https://pattern.swarma.org/paper?id=91d35726-6cd8-11ea-8ed0-0242ac1a0005 "On a Possible Unified Scaling Law for Volcanic Eruption Durations"].Scientific Reports, 622289C. doi:10.1038/srep22289. ISSN 2045-2322. PMC 4772095. PMID 26926425..6.(22289, 2016NatSR)</ref>，人类对刺激的敏感度<ref name = "s">Stevens, S. S. (1957). On the psychophysical law. Psychological Review, 64, 153-181</ref><ref name = "ts" >Staddon, J. E. R.  (1978).  Theory of behavioral power functions. Psychological Review, 85, 305-320.</ref> ，等等<ref name="N10">Clauset, A.; Shalizi, C. R.; Newman, M. E. J. (2009). "Power-Law Distributions in Empirical Data". SIAM Review. 51 (4): 661–703. [https://arxiv.org/abs/0706.1062 arXiv:0706.1062 Freely accessible.] [http://adsabs.harvard.edu/abs/2009SIAMR..51..661C Bibcode:2009SIAMR..51..661C.] [https://doi.org/10.1137/070710111 doi:10.1137/070710111]</ref>。
-不过很少有经验分布符合完整的幂律分布，更确切地说，他们通常是遵循幂律尾部的规律。在许多复杂介质中，[https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_attenuation 声衰减 Acoustic attenuation]遵循宽频带内的频率幂律；揭示生物变量之间关系的[[异速标度律 Allometric scaling]]是自然界中已知的最著名的幂律函数之一。
+不过很少有经验分布完全符合幂律分布，更确切地说，他们通常是遵循幂律末尾的规律。在许多复杂介质中，[https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_attenuation 声衰减 Acoustic attenuation]遵循宽频带内的频率幂律；揭示生物变量之间关系的[[异速标度律 Allometric scaling]]是自然界中已知的最著名的幂律函数之一。
 ==性质==

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 *指数分布：
 指数分布一个重要特征是'''无记忆性'''（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当<math>s,t>0</math>时有<math>P(T>t+s|T>t)=P(T>s)</math>。即，如果<math>T</math>是某一元件的寿命，已知元件使用了<math>t</math>小时，它总共使用至少<math>s+t</math>小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少<math>s</math>小时的概率相等。其概率密度函数如下：
 其中<math>λ > 0</math>是分布的一个参数，常被称为'''率参数'''（Rate parameter），即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是<math>[0,∞)</math>。如果一个随机变量<math>X</math>呈指数分布，则可以写作：<math>X  \sim E（λ）</math>。