拐点 - 版本历史

薄荷：/* 参考文献 */

2022-01-07T11:32:47Z

参考文献

2022年1月7日 (五) 11:27 薄荷

2022-01-07T11:27:07Z

2022年1月7日 (五) 11:24 薄荷

2022-01-07T11:24:39Z

薄荷：/* 编者推荐 */

2021-12-28T13:42:05Z

编者推荐

2021年12月28日 (二) 13:33 薄荷

2021-12-28T13:33:56Z

2021年12月28日 (二) 13:33 薄荷

2021-12-28T13:33:01Z

薄荷：/* 定义 */

2021-12-28T12:53:47Z

定义

薄荷：/* 定义 */

2021-12-28T12:52:57Z

定义

薄荷：/* 定义 */

2021-12-28T12:51:10Z

定义

薄荷：/* 必要非充分条件 */

2021-12-28T12:49:06Z

必要非充分条件

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	{{reflist}}		{{reflist}}
		+
		+
		+	==编者推荐==
		+	===集智课程===
		+	====[https://campus.swarma.org/course/4186 用 Julia 求解微分方程]====
		+	本次分享将介绍Julia求解微分方程的部分基础生态，主要重点将是常微分方程求解器的类型和构造，也会略微简介少量其他相关类型的微分方程，例如微分代数方程和一些含时偏微分方程。
		+
		+
		+	====[https://campus.swarma.org/course/4183 Julia 积分与微分方程]====
		+	本次报告中，张润发将介绍如何使用 NeuralPDE 来快速简洁地求解偏微分方程，积分微分方程。这将广泛的应用于数学物理，量子力学，电磁学，光学，等离子体等领域。
		+
		+
		+	===集智文章===
		+	* [https://swarma.org/?p=12938 复杂性科学思维：当你看到拐点时，已来不及]

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−	对于微分类{{math\|''C''<sup>2</sup>}}的函数的图形（{{mvar\|f}}，其一阶导数f'和其二阶导数 f''存在且连续），条件f'' = 0也可用于找到拐点因为必须传递f'' = 0的点以将f''从正值（向上凹）更改为负值（向下凹），反之亦然，因为f''是连续的；曲线的拐点是f'' = 0并在该点改变其符号（从正到负或从负到正）。~~[1]~~其中，第二导数消失，但不改变其正负号的点有时被称为起伏的点或起伏点。	+	对于微分类{{math\|''C''<sup>2</sup>}}的函数的图形（{{mvar\|f}}，其一阶导数f'和其二阶导数 f''存在且连续），条件f'' = 0也可用于找到拐点因为必须传递f'' = 0的点以将f''从正值（向上凹）更改为负值（向下凹），反之亦然，因为f''是连续的；曲线的拐点是f'' = 0并在该点改变其符号（从正到负或从负到正）。<ref name=":0"/>其中，第二导数消失，但不改变其正负号的点有时被称为起伏的点或起伏点。

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 }}
 [[Image:X_cubed_plot.svg.png|thumb|Plot of {{math|1=''y'' = ''x''<sup>3</sup>}}的函数图像，(0,0)是其拐点 ，也是[[驻点]]]]
-在微分和微分几何中，拐点（英文名为inflection point，point of infection,，flex，或者inflection）是光滑平面曲线上的曲率符号改变的点。在函数图像中，拐点处函数从下凹变为上凸 ，或从上凸变为下凹。
+在微分和微分几何中，拐点（英文名为inflection point，point of infection，flex，或者inflection）是光滑平面曲线上的曲率符号改变的点。在函数图像中，拐点处函数从下凹变为上凸 ，或从上凸变为下凹。

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	{{reflist}}		{{reflist}}

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−	~~==编者推荐==~~
−	~~===集智课程===~~
−	~~====[]====~~

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 |description=在微分和微分几何中，拐点是光滑平面曲线上的曲率符号改变的点。
 }}
-[[Image:x cubed plot.svg.png|thumb|Plot of {{math|1=''y'' = ''x''<sup>3</sup>}}的函数图像，(0,0)是其拐点 ，也是[[驻点]]]]
+[[Image:X_cubed_plot.svg.png|thumb|Plot of {{math|1=''y'' = ''x''<sup>3</sup>}}的函数图像，(0,0)是其拐点 ，也是[[驻点]]]]
 在微分和微分几何中，拐点（英文名为inflection point，point of infection,，flex，或者inflection）是光滑平面曲线上的曲率符号改变的点。在函数图像中，拐点处函数从下凹变为上凸 ，或从上凸变为下凹。
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-[[Image:Animated illustration of inflection point.gif|upright=2.5|thumb|{{math|''f''(''x'') {{=}} sin(2''x'')}} 从<math>\pi /4 </math>到<math>5 \pi /4 </math>; 该函数二阶导数为<math>{f}''(x) = –4sin(2x)</math>, 和{{mvar|f}}符号相反。曲线为凸时（函数在切线上方）切线颜色为蓝色，曲线为凹时（函数在切线下方）切线颜色为绿色，拐点颜色为红色：0, <math>\pi /2</math> 和 <math>\pi</math>]]
+[[Image:Animated_illustration_of_inflection_point.gif|upright=2.5|thumb|{{math|''f''(''x'') {{=}} sin(2''x'')}} 从<math>\pi /4 </math>到<math>5 \pi /4 </math>; 该函数二阶导数为<math>{f}''(x) = –4sin(2x)</math>, 和{{mvar|f}}符号相反。曲线为凸时（函数在切线上方）切线颜色为蓝色，曲线为凹时（函数在切线下方）切线颜色为绿色，拐点颜色为红色：0, <math>\pi /2</math> 和 <math>\pi</math>]]
 ==必要非充分条件==
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 ==拐点的分类==
-[[Image:X to the 4th minus x.svg.png|thumb|upright=1.2|{{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>4</sup> – ''x''}},x在点 (0,0) 处二阶导数为0，但 (0,0) 不是拐点，因为其四阶导数是一阶非零导数（三阶导数也是零）。]]
+[[Image:X_to_the_4th minus_x.svg.png|thumb|upright=1.2|{{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>4</sup> – ''x''}},x在点 (0,0) 处二阶导数为0，但 (0,0) 不是拐点，因为其四阶导数是一阶非零导数（三阶导数也是零）。]]

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−	[[Image:Animated illustration of inflection point.gif\|upright=2.5\|thumb\|~~Plot of~~ {{math\|''f''(''x'') {{=}} sin(2''x'')}} 从<math>\pi /4 </math>到<math>5 \pi /4 </math>; 该函数二阶导数为<math>{f}''(x) = –4sin(2x)</math>, 和{{mvar\|f}}符号相反。曲线为凸时（函数在切线上方）切线颜色为蓝色，曲线为凹时（函数在切线下方）切线颜色为绿色，拐点颜色为红色：0, <math>\pi /2</math> 和 <math>\pi</math>]]	+	[[Image:Animated illustration of inflection point.gif\|upright=2.5\|thumb\|{{math\|''f''(''x'') {{=}} sin(2''x'')}} 从<math>\pi /4 </math>到<math>5 \pi /4 </math>; 该函数二阶导数为<math>{f}''(x) = –4sin(2x)</math>, 和{{mvar\|f}}符号相反。曲线为凸时（函数在切线上方）切线颜色为蓝色，曲线为凹时（函数在切线下方）切线颜色为绿色，拐点颜色为红色：0, <math>\pi /2</math> 和 <math>\pi</math>]]

	==必要非充分条件==		==必要非充分条件==

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−	[[Image:Animated illustration of inflection point.gif\|upright=2.5\|thumb\|Plot of {{math\|''f''(''x'') {{=}} sin(2''x'')}} 从<math>\pi /4 </math>到<math>5 \pi /4 </math>; 该函数二阶导数为{{math\|{f}''(x) {{=}} –4sin(~~2''x''~~)}}, 和{{mvar\|f}}符号相反。曲线为凸时（函数在切线上方）切线颜色为蓝色，曲线为凹时（函数在切线下方）切线颜色为绿色，拐点颜色为红色：0, {{pi}}/2 ~~and {{~~pi}}]]	+	[[Image:Animated illustration of inflection point.gif\|upright=2.5\|thumb\|Plot of {{math\|''f''(''x'') {{=}} sin(2''x'')}} 从<math>\pi /4 </math>到<math>5 \pi /4 </math>; 该函数二阶导数为<math>{f}''(x) = –4sin(2x)</math>, 和{{mvar\|f}}符号相反。曲线为凸时（函数在切线上方）切线颜色为蓝色，曲线为凹时（函数在切线下方）切线颜色为绿色，拐点颜色为红色：0, <math>\pi /2</math> 和 <math>\pi</math>]]

	==必要非充分条件==		==必要非充分条件==

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−	[[Image:Animated illustration of inflection point.gif\|upright=2.5\|thumb\|Plot of {{math\|''f''(''x'') {{=}} sin(2''x'')}} 从{{pi}}/4 ~~到5{{~~pi}}/4; 该函数二阶导数为{{math\|''f~~{{''}~~}''(''x'') {{=}} –4sin(2''x'')}}, 和{{mvar\|f}}符号相反。曲线为凸时（函数在切线上方）切线颜色为蓝色，曲线为凹时（函数在切线下方）切线颜色为绿色，拐点颜色为红色：0, {{pi}}/2 and {{pi}}]]	+	[[Image:Animated illustration of inflection point.gif\|upright=2.5\|thumb\|Plot of {{math\|''f''(''x'') {{=}} sin(2''x'')}} 从<math>\pi /4 </math>到<math>5 \pi /4 </math>; 该函数二阶导数为{{math\|{f}''(x) {{=}} –4sin(2''x'')}}, 和{{mvar\|f}}符号相反。曲线为凸时（函数在切线上方）切线颜色为蓝色，曲线为凹时（函数在切线下方）切线颜色为绿色，拐点颜色为红色：0, {{pi}}/2 and {{pi}}]]
−

	==必要非充分条件==		==必要非充分条件==

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第46行：		第46行：


−	前面我们假定 {{mvar\|f}} 在 {{mvar\|x}} 处存在高阶非零导数，但并不一定存在。如果 {{mvar\|f}} 在 {{mvar\|x}} 处存在高阶非零导数，第一个非零导数有奇数阶意味着<math>{f}'(x)}}的符号在某邻域的任一边都是相同的。如果符号为正，那么这个点就是上升拐点；如果符号为负，那么这个点就是下降拐点。	+	前面我们假定 {{mvar\|f}} 在 {{mvar\|x}} 处存在高阶非零导数，但并不一定存在。如果 {{mvar\|f}} 在 {{mvar\|x}} 处存在高阶非零导数，第一个非零导数有奇数阶意味着<math>{f}'(x)</math>的符号在某邻域的任一边都是相同的。如果符号为正，那么这个点就是上升拐点；如果符号为负，那么这个点就是下降拐点。