本征微观态 - 版本历史

天天：/* 在经济系统中 */

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在经济系统中

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本征微观态及其演化

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本征微观态及其演化

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本征微观态的重整化群变换

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本征微观态及其演化

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本征微观态的重整化群变换

天天：/* 本征微观态及其演化 */

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本征微观态及其演化

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 \vdots \\
 \delta S_N(t)
-\end{array}\right]</math>描述。我们可以得到一个<math>N×M</math>的集合矩阵<math>A</math>，元素为<math>A_{i t}=\frac{\delta S_i(t)}{\sqrt{C_0}}</math>，其中<math>C_0=\sum_{t=1}^M \sum_{i=1}^N \delta S_i^2(t)</math>。
+\end{array}\right]</math>描述。我们可以得到一个<math>N×M</math>的系综矩阵<math>A</math>，元素为<math>A_{i t}=\frac{\delta S_i(t)}{\sqrt{C_0}}</math>，其中<math>C_0=\sum_{t=1}^M \sum_{i=1}^N \delta S_i^2(t)</math>。

@@ 第113行： / 第113行： @@
 <math>\boldsymbol{U}=\left[\boldsymbol{U}_1 \boldsymbol{U}_2 \ldots \boldsymbol{U}_N\right]</math>。
-根据奇异值分解<ref>{{cite book |last=Strang| first=Gilbert | title=Introduction to Linear Algebra, 4th edn |year=2009 | pages=284}}</ref>，系综矩阵<math>\boldsymbol{A}</math>可以被分解为<math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{A}}={\boldsymbol{U}}\cdot {\boldsymbol{\Sigma }}\cdot {{\boldsymbol{V}}}^{{\rm{T}}}，\end{eqnarray}</math>
+根据奇异值分解<ref>{{cite book |last=Strang| first=Gilbert | title=Introduction to Linear Algebra, 4th edn |year=2009 | pages=284}}</ref>，统计系综可被分解为<math>A=\sum_{i=1}^r \sigma_i U_i \otimes V_i</math>。
 这里的<math>r=min (N, M)</math>，其中，<math>U_i</math>为本征微观态，<math>V_i</math>为该本征微观态遵循的时间演化，⊗表示克罗内克积，其中<math>\sigma_i</math>表示<math>U_i</math>在系综中的概率，且满足归一化条件：<math>\sum_{i=1}^r \sigma_i^2=1</math>。

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 对于开放、广泛、处于非平衡态的复杂系统，研究者们往往难以得到它们的哈密顿量、统计分布、序参量。虽然可获取的试验与观测数据越来越多，但如何更好地从这些数据出发，研究复杂系统的集体行为或相变与临界现象，却依然是一道难题。
 针对该问题，北京师范大学陈晓松教授与其合作者们提出了一个解决方案<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref><ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Liu|first3=Maoxin|last4=Chen|first4=Wei|last5=Chen|first5=Xiaosong|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>，即本征微观态方法。他们从吉布斯所提出的统计系综理论出发，基于复杂系统个体的观测或模拟数据，构建复杂系统的微观态和统计系综。以描述系统微观态的高维向量作为列，系统个体的演化序列作为行，来得到归一的统计系综矩阵。他们利用奇异值分解方法，分解统计系综矩阵，很好地研究了复杂系统中本征微观态的凝聚与系统的相变。
 更进一步地，陈晓松教授与其合作者们提出了本征微观态重整化群理论<ref name="gaoke">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Dong|first3=Jiaqi|last4=Fan|first4=Jingfang|last5=Liu|first5=Maoxin|last6=Chen|first6=Xiaosong|title=Renormalization Group Theory of Eigen Microstates|journal=Chinese Physics Letters|date=7 June 2022|volume=39|issue=8|doi=10.1088/0256-307X/39/8/080503}}</ref>，研究卡丹诺夫重整化群变换下本征微观态的非平庸不动点，从而对统一地处理广泛的平衡和非平衡复杂系统临界现象提供了有力的见解。
 陈晓松教授团队成功地将本征微观态方法应用于二维伊辛模型、地球表面温度、中国股票价格等三类不同领域的复杂系统<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>，胡進錕等亦将此方法应用至美国民航延误的研究<ref name="chin">{{cite journal |last1=Qian|first1=Wenri|last2=Zhu|first2=Chenping|last3= Wang|first3=Yanjun|last4=Hu|first4=Chinkun|title=Eigen microstates of particle gases for passenger flights in the United States|journal=Chinese Journal of Physics|date=December 2020|volume=68|doi=10.1016/j.cjph.2020.09.035}}</ref>中，这揭示了这些系统的集体行为和它们的相变与临界现象，证实了该理论框架可用于一般平衡和非平衡系统。

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 = 理论背景 =
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 利用本征微观态理论不需要提前预知系统哈密顿量具体形式的优点，可以将重整化群思想引入本征微观态理论中。在研究了不同维度的伊辛模型在经过卡丹诺夫块变换之后，系统本征微观态的权重，即本征值，在变换前后的关系。发现系统本征值经过变换后存在三个不动点，分别对应系统处于高温极限、低温极限以及临界点处。其中高、低温极限下为平庸的不动点，其变换后的本征值满足：
-<math>\sigma_1^b=b^\omega \sigma_1</math>， <ref>{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Teng|first2=Liu|last3=Dong|first3=Jiaqi|last4=Fan|first4=Jingfang|last5=Liu|first5=Maoxin|last6=Chen|first6=Xiaosong|title=Renormalization Group Theory of Eigen Microstates|journal=Chinese Physics Letters|date=7 June 2022|volume=39|issue=8|doi=/10.1088/0256-307X/39/8/080503}}</ref>其中高温下<math>ω=d/2</math>，低温下<math>ω=0</math>，<math>d</math>为系统的空间维度。
+<math>\sigma_1^b=b^\omega \sigma_1</math>，<ref name="gaoke">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Dong|first3=Jiaqi|last4=Fan|first4=Jingfang|last5=Liu|first5=Maoxin|last6=Chen|first6=Xiaosong|title=Renormalization Group Theory of Eigen Microstates|journal=Chinese Physics Letters|date=7 June 2022|volume=39|issue=8|doi=10.1088/0256-307X/39/8/080503}}</ref>其中高温下<math>ω=d/2</math>，低温下<math>ω=0</math>，<math>d</math>为系统的空间维度。
 在临界点处为非平庸的不动点，变换后的本征值满足：
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 为了避免第二个微观态在一天的后半段的干扰，我们只在第20个时间点和第45个时间点之间使用公式<math>P^{\prime \prime}=a \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^1+b+c \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^2</math>，而在其他时间点使用公式<math>P^{\prime}=a \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^1+b</math>。修改后的曲线如右图所示。
-这意味着，某一时间点的延误率与机场间的延误分布和民航系统的延误强度有正相关关系。因此，为了降低延误率，我们可以通过调整每个机场的起飞时间，并优化延误较多的关键机场来调整机场间的延误分布<ref>{{cite journal |last1=Qian|first1=Wenri|last2=Zhu|first2=Chenping|last3= Wang|first3=Yanjun|last4=Hu|first4=Chinkun|title=Eigen microstates of particle gases for passenger flights in the United States|journal=Chinese Journal of Physics|date=December 2020|volume=68|doi=10.1016/j.cjph.2020.09.035}}</ref>。
+这意味着，某一时间点的延误率与机场间的延误分布和民航系统的延误强度有正相关关系。因此，为了降低延误率，我们可以通过调整每个机场的起飞时间，并优化延误较多的关键机场来调整机场间的延误分布<ref name="chin">{{cite journal |last1=Qian|first1=Wenri|last2=Zhu|first2=Chenping|last3= Wang|first3=Yanjun|last4=Hu|first4=Chinkun|title=Eigen microstates of particle gases for passenger flights in the United States|journal=Chinese Journal of Physics|date=December 2020|volume=68|doi=10.1016/j.cjph.2020.09.035}}</ref>。
 = 注释 =

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 <math> {C}_{0}={\sum }_{t=1}^{M}{\sum }_{i=1}^{N}\delta {S}_{i}^{2}(t)</math>，<math>\boldsymbol{A}</math>的列序与微观态的演变相一致。
-<math>t</math>和<math>t^{\prime}</math>的微观态之间的相关性由它们的矢量乘积定义：<math>\begin{eqnarray}{C}_{{tt}^{\prime} }=\delta {\boldsymbol{S}}{\left(t\right)}^{{\rm{T}}}\cdot \delta {\boldsymbol{S}}(t^{\prime} )=\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\delta {S}_{i}(t)\delta {S}_{i}(t^{\prime} )\end{eqnarray}</math> <ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Teng|first2=Liu|last3=Maoxin|first3=Liu|last4=Wei|first4=Chen|last5=Xiaosong|first5=Chen|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>。
+<math>t</math>和<math>t^{\prime}</math>的微观态之间的相关性由它们的矢量乘积定义：<math>\begin{eqnarray}{C}_{{tt}^{\prime} }=\delta {\boldsymbol{S}}{\left(t\right)}^{{\rm{T}}}\cdot \delta {\boldsymbol{S}}(t^{\prime} )=\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\delta {S}_{i}(t)\delta {S}_{i}(t^{\prime} )\end{eqnarray}</math> <ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Liu|first3=Maoxin|last4=Chen|first4=Wei|last5=Chen|first5=Xiaosong|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>。
 以<math>{C}_{tt}^{\prime} </math>作为其元素，我们可以得到一个<math>M×M</math>的微观态相关矩阵：<math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{C}}={C}_{0}{{\boldsymbol{A}}}^{{\rm{T}}}\cdot {\boldsymbol{A}}\end{eqnarray}</math>，其轨迹<math>Tr\boldsymbol{C}={\sum }_{t=1}^{M}{C}_{tt}={C}_{0}</math> 。相关矩阵<math>\boldsymbol{C}</math>有<math>M</math>个特征向量<math>V_J</math>，其中<math>J = 1, 2, ⋯ , M</math>，我们可以用它们组成一个<math>M×M</math>的单元矩阵
 <math>\boldsymbol{V}=\left[\boldsymbol{V}_1 \boldsymbol{V}_2 \ldots \boldsymbol{V}_M\right]</math>

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 == 本征微观态的重整化群变换 ==
 [[文件:二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ1）体现出的低温不动点(a)和高温不动点(b,c)，以及其满足的标度形式.png|缩略图|二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ<sub>1</sub>）体现出的(a)低温不动点和(b,c)高温不动点，以及其满足的标度形式]]
-对于大量需要研究的复杂系统，其能量函数、系统状态分布函数和序参量都是未知。在这种情况下，前面所介绍的基于哈密顿量的重整化群理论就面临很大的挑战。为研究复杂系统的相变，可以使用基于实验数据或者计算模拟数据的本征微观态方法 <ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Teng|first2=Liu|last3=Maoxin|first3=Liu|last4=Wei|first4=Chen|last5=Xiaosong|first5=Chen|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>。
+对于大量需要研究的复杂系统，其能量函数、系统状态分布函数和序参量都是未知。在这种情况下，前面所介绍的基于哈密顿量的重整化群理论就面临很大的挑战。为研究复杂系统的相变，可以使用基于实验数据或者计算模拟数据的本征微观态方法 <ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Liu|first3=Maoxin|last4=Chen|first4=Wei|last5=Chen|first5=Xiaosong|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>。
 对于<math>N</math>个个体组成的系统，我们通过收集每个个体随时间演化的数据来构成系综矩阵。通过对系综矩阵的奇异值分解，可以将原复杂系统分解成不同的本征模式（特征向量的直积）以及模式所对应的权重（特征值）的线性组合。在该理论体系下复杂系统的相变与临界现象可通过本征微观态的凝聚来确定，这类似于玻色气体的玻色-爱因斯坦凝聚，即宏观数量玻色子在极低温下处于基态能级。
 利用本征微观态理论不需要提前预知系统哈密顿量具体形式的优点，可以将重整化群思想引入本征微观态理论中。在研究了不同维度的伊辛模型在经过卡丹诺夫块变换之后，系统本征微观态的权重，即本征值，在变换前后的关系。发现系统本征值经过变换后存在三个不动点，分别对应系统处于高温极限、低温极限以及临界点处。其中高、低温极限下为平庸的不动点，其变换后的本征值满足：
-<math>\sigma_1^b=b^\omega \sigma_1</math>，其中高温下<math>ω=d/2</math>，低温下<math>ω=0</math>，<math>d</math>为系统的空间维度。
+<math>\sigma_1^b=b^\omega \sigma_1</math>， <ref>{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Teng|first2=Liu|last3=Dong|first3=Jiaqi|last4=Fan|first4=Jingfang|last5=Liu|first5=Maoxin|last6=Chen|first6=Xiaosong|title=Renormalization Group Theory of Eigen Microstates|journal=Chinese Physics Letters|date=7 June 2022|volume=39|issue=8|doi=/10.1088/0256-307X/39/8/080503}}</ref>其中高温下<math>ω=d/2</math>，低温下<math>ω=0</math>，<math>d</math>为系统的空间维度。
 在临界点处为非平庸的不动点，变换后的本征值满足：
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 [[文件:二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ1）在临界点处为非平庸不动点，并满足标度关系。.png|缩略图|二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ<sub>1</sub>）在临界点处为非平庸不动点，并满足标度关系。]]
-结合之前研究所给出<math>σ_1</math>的在临界点处满足的有限尺度标度形式<math>\sigma_1\left(t, h ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)=V^{-\bar{\beta}} F_1\left(t V^{\frac{1}{\bar{v}}}, h V^{\frac{1}{\bar{v}_h}}\right)</math><ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Teng|first2=Liu|last3=Maoxin|first3=Liu|last4=Wei|first4=Chen|last5=Xiaosong|first5=Chen|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>，我们可以获得系统本征值在重整化群变换后的关系为：
+结合之前研究所给出<math>σ_1</math>的在临界点处满足的有限尺度标度形式<math>\sigma_1\left(t, h ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)=V^{-\bar{\beta}} F_1\left(t V^{\frac{1}{\bar{v}}}, h V^{\frac{1}{\bar{v}_h}}\right)</math> <ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Liu|first3=Maoxin|last4=Chen|first4=Wei|last5=Chen|first5=Xiaosong|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>，我们可以获得系统本征值在重整化群变换后的关系为：
 <math>\sigma_1^b\left(t, h ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)=b^{\frac{\beta}{v}} \sigma_1\left(t, h ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)</math>，其中<math>\sigma_1^b</math>为经过尺寸为<math>b \tilde{a}</math>的元胞变换后的本征值，<math>σ_1</math>为原系统的本征值。该关系分别在一维，二维和三维伊辛模型中得到了检验，右图为二维伊辛模型的结果。

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 = 本征微观态及其演化 =
 对于一个由<math>N</math>个主体组成的复杂系统，我们可以从实验测量或计算机模拟中获得主体的状态<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>。依次使用时间<math>t=1, 2, … ,M</math>的状态，我们可以得到主体<math>i=1,2, … , N</math>的状态序列<math>S_i(t)</math>。
 一个主体<math>i</math>的平均状态是
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 <math>\begin{eqnarray}\delta {S}_{i}(t)={S}_{i}(t)-\langle {S}_{i}\rangle\end{eqnarray}</math>。这里定义一个具有所有主体的波动的微观态，它由一个<math>N</math>维矢量表示：
 <math>\begin{eqnarray}\delta {\boldsymbol{S}}(t)=\left[\begin{array}{c}\delta {S}_{1}(t)\\ \delta {S}_{2}(t)\\ \vdots \\ \delta {S}_{N}(t)\end{array}\right]\end{eqnarray}</math>。
 有了<math>M</math>个微观态，我们可以组成一个复杂系统的统计系综。这个系综由一个<math>N×M</math>的矩阵<math>\boldsymbol{A}</math>来描述，其元素为<math>\begin{eqnarray}{A}_{{it}}=\displaystyle \frac{\delta {S}_{i}(t)}{\sqrt{{C}_{0}}}\end{eqnarray}</math>，其中
 <math> {C}_{0}={\sum }_{t=1}^{M}{\sum }_{i=1}^{N}\delta {S}_{i}^{2}(t)</math>，<math>\boldsymbol{A}</math>的列序与微观态的演变相一致。
 <math>t</math>和<math>t^{\prime}</math>的微观态之间的相关性由它们的矢量乘积定义：<math>\begin{eqnarray}{C}_{{tt}^{\prime} }=\delta {\boldsymbol{S}}{\left(t\right)}^{{\rm{T}}}\cdot \delta {\boldsymbol{S}}(t^{\prime} )=\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\delta {S}_{i}(t)\delta {S}_{i}(t^{\prime} )\end{eqnarray}</math> <ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Teng|first2=Liu|last3=Maoxin|first3=Liu|last4=Wei|first4=Chen|last5=Xiaosong|first5=Chen|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>。
 以<math>{C}_{tt}^{\prime} </math>作为其元素，我们可以得到一个<math>M×M</math>的微观态相关矩阵：<math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{C}}={C}_{0}{{\boldsymbol{A}}}^{{\rm{T}}}\cdot {\boldsymbol{A}}\end{eqnarray}</math>，其轨迹<math>Tr\boldsymbol{C}={\sum }_{t=1}^{M}{C}_{tt}={C}_{0}</math> 。相关矩阵<math>\boldsymbol{C}</math>有<math>M</math>个特征向量<math>V_J</math>，其中<math>J = 1, 2, ⋯ , M</math>，我们可以用它们组成一个<math>M×M</math>的单元矩阵
 <math>\boldsymbol{V}=\left[\boldsymbol{V}_1 \boldsymbol{V}_2 \ldots \boldsymbol{V}_M\right]</math>
 此外，我们在这里考虑动态微观态<math>δS_i</math>和<math>δS_j</math>之间的相关性：<math>\begin{eqnarray}{{\boldsymbol{S}}}_{j}^{{{T}}}=\displaystyle \sum _{t=1}^{M}\delta {S}_{i}(t)\delta {S}_{j}(t)\end{eqnarray}</math>。以<math>K_{ij}</math>为元素，我们可以得到一个<math>N×N</math>的动态微观态的相关矩阵：
 <math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{K}}={C}_{0}{\boldsymbol{A}}\cdot {\boldsymbol{A}}^{T}\end{eqnarray}</math>，其轨迹<math>Tr\boldsymbol{K}={\sum }_{t=1}^{N}{K}_{ii}={C}_{0}</math>。相关矩阵<math>\boldsymbol{K}</math>有<math>N</math>个特征向量<math>U_I</math>，其中<math>I = 1, 2, ⋯ , N</math>，我们可以用它们组成一个<math>N×N</math>的单元矩阵
 <math>\boldsymbol{U}=\left[\boldsymbol{U}_1 \boldsymbol{U}_2 \ldots \boldsymbol{U}_N\right]</math>。
 根据奇异值分解<ref>{{cite book |last=Strang| first=Gilbert | title=Introduction to Linear Algebra, 4th edn |year=2009 | pages=284}}</ref>，系综矩阵<math>\boldsymbol{A}</math>可以被分解为<math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{A}}={\boldsymbol{U}}\cdot {\boldsymbol{\Sigma }}\cdot {{\boldsymbol{V}}}^{{\rm{T}}}，\end{eqnarray}</math>
-对<math>\boldsymbol{A}</math>进行奇异值分解，统计系综可被分解为：
+对<math>\boldsymbol{A}</math>进行奇异值分解，统计系综可被分解为<math>A=\sum_{i=1}^r \sigma_i U_i \otimes V_i</math>。
 用这样的方法，可以将原来相互关联的微观态转变为相互独立的本征微观态，就可以将最初的微观态用本征微观态进行线性组合，这个线性组合的大小与本征值<math>\sigma_i</math>（即权重因子）成正比，即<math>\sigma_i</math>越大，占比越多。
@@ 第134行： / 第121行： @@
 == 本征微观态和相变的凝聚 ==
 一般来说，在一个无序的复杂系统中并不存在一个主要的本征值和微观态，但当我们将微观态转变为本征微观态时，原来的每个微观态都可以看作一系列的本征微观态的线性求和<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>。
 如果一个概率振幅<math>σ</math>成为主导，以至于它在<math>M → ∞</math>和<math>N → ∞</math>时能够取得一个有限的极限，那么在统计集合中就会出现本征微观态<math>{\boldsymbol{A}}_{I}^{e}</math>的凝聚，这类似于玻色气体里的玻色-爱因斯坦凝聚。一个本征微观态的凝聚，表现为有限比例的无限本征微观态共享这个本征微观态。一个新的相将出现在系统中，而新相的特征是本征微观态<math>U_I</math>，新相的演变，可以通过<math>V_I</math>来描述。