李雅普诺夫函数 - 版本历史

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2024年6月3日 (一) 08:00 Gyt666

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其他链接

2020年11月16日 (一) 13:13 薄荷

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薄荷：/* 例子 */

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例子

薄荷：/* 全局渐进稳定平衡点 Globally asymptotically stable equilibrium */

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全局渐进稳定平衡点 Globally asymptotically stable equilibrium

薄荷：/* 李雅普诺夫函数的定义 */

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李雅普诺夫函数的定义

薄荷：/* 李雅普诺夫函数的定义 */

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李雅普诺夫函数的定义

薄荷：/* 李雅普诺夫函数的定义 */

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李雅普诺夫函数的定义

薄荷：/* 李雅普诺夫函数的定义 */

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李雅普诺夫函数的定义

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−	在常微分方程理论中，'''~~李雅普诺夫函数~~ Lyapunov ~~functions~~'''是可用来证明常微分方程'''平衡点 equilibrium point'''稳定性的'''标量函数 scalar function'''。李雅普诺夫函数是以俄罗斯数学家[[亚历山大·李亚普诺夫 Aleksandr Lyapunov]]的名字命名，也称为'''稳定性的李雅普诺夫第二方法'''。对于'''动态系统 dynamical system'''的[[稳定性理论 stability theory]]和[[控制论 control theory]]十分重要。在一般状态空间[[马尔可夫链 Markov chains]]理论中也出现了类似的概念，通常称为'''Foster-Lyapunov 函数'''。	+	在常微分方程理论中，'''李雅普诺夫函数（ Lyapunov functions）'''是可用来证明常微分方程'''平衡点 equilibrium point'''稳定性的'''标量函数 scalar function'''。李雅普诺夫函数是以俄罗斯数学家[[亚历山大·李亚普诺夫 Aleksandr Lyapunov]]的名字命名，也称为'''稳定性的李雅普诺夫第二方法'''。对于'''动态系统 dynamical system'''的[[稳定性理论 stability theory]]和[[控制论 control theory]]十分重要。在一般状态空间[[马尔可夫链 Markov chains]]理论中也出现了类似的概念，通常称为'''Foster-Lyapunov 函数'''。

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	* [https://web.archive.org/web/20110926230621/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/ODELF1 Example] of determining the stability of the equilibrium solution of a system of ODEs with a Lyapunov function		* [https://web.archive.org/web/20110926230621/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/ODELF1 Example] of determining the stability of the equilibrium solution of a system of ODEs with a Lyapunov function
		+
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		+	==编者推荐==
		+	====[https://campus.swarma.org/course/2218 论文解读：非马尔科夫恢复机制提升复杂网络的弹性能力]====
		+	本课程中，讲解的论文研究了存在级联故障现象的许多实际网络中的一个重要问题，即非马尔科夫自发恢复对级联故障系统动力学的影响
		+
		+
		+	====[https://campus.swarma.org/course/1684 动力系统稳定性初步]====
		+	本课程中，介绍判断动力系统稳定性的两种思路，轨道稳定性与状态稳定性，及具体的判断方法。
		+

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-对于一些平滑的函数： <math>g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n.</math>
+对于一些平滑的函数： <math>g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math>
@@ 第42行： / 第42行： @@
-根据链式法则，对于任意函数<math>H:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R},</math>，函数沿动力学系统解取值的时间导数为:
+根据链式法则，对于任意函数<math>H:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>，函数沿动力学系统解取值的时间导数为:
@@ 第97行： / 第97行： @@
-:<math>\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} ^n\setminus\{0\}，</math>
+:<math>\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} ^n\setminus\{0\}</math>
@@ 第106行： / 第106行： @@
-:<math>\| x \| \to \infty  \Rightarrow V(x) \to \infty. </math>
+:<math>\| x \| \to \infty  \Rightarrow V(x) \to \infty</math>
@@ 第118行： / 第118行： @@
-:<math>\dot x = -x.</math>
+:<math>\dot x = -x</math>
@@ 第127行： / 第127行： @@
-:<math>\dot V(x) = V'(x) \dot x = 2x\cdot (-x) = -2x^2< 0.</math>
+:<math>\dot V(x) = V'(x) \dot x = 2x\cdot (-x) = -2x^2< 0</math>

@@ 第115行： / 第115行： @@
 ==例子==
-考虑下面具有<math>\R </math>上的解<math>x</math>的微分方程：
+考虑下面具有<math>\mathbb{R}</math>上的解<math>x</math>的微分方程：
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-令<math>V(x)=x^2</math>在<math>\R </math>上。然后有
+令<math>V(x)=x^2</math>在<math>\mathbb{R}</math>上。然后有
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 这正表明上面的微分方程 <math>x</math>关于原点是渐近稳定的。注意，使用相同的李雅普诺夫候选函数可以证明该平衡点也是全局渐近稳定的。
+<br>
 ==参见==

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−	:<math>\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \R ^n\setminus\{0\}，</math>	+	:<math>\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} ^n\setminus\{0\}，</math>

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-<math>y=0</math> 是它的一个平衡点，其李雅普诺夫函数是一个标量函数：<math>V:\R^n\to\R</math>，该函数连续、具有连续的一阶导数且局部正定，<math>-\nabla{V}\cdot g</math>也是局部正定的。有时把 <math>-\nabla{V}\cdot g</math> 局部正定的条件表述为 <math>\nabla{V}\cdot g</math> 是局部负定的。
+<math>y=0</math> 是它的一个平衡点，其李雅普诺夫函数是一个标量函数：<math>V:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>，该函数连续、具有连续的一阶导数且局部正定，<math>-\nabla{V}\cdot g</math>也是局部正定的。有时把 <math>-\nabla{V}\cdot g</math> 局部正定的条件表述为 <math>\nabla{V}\cdot g</math> 是局部负定的。
 ===相关术语===
-李雅普诺夫函数出现在动力系统平衡点的研究中。在 <math>\R^n</math>， 空间中，任意一个自治动力系统都可以被写成：
+李雅普诺夫函数出现在动力系统平衡点的研究中。在 <math>\mathbb{R}^n</math>， 空间中，任意一个自治动力系统都可以被写成：
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-对于一些平滑的函数： <math>g:\R^n \to \R^n.</math>
+对于一些平滑的函数： <math>g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n.</math>
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-根据链式法则，对于任意函数<math>H:\R^n \to \R,</math>，函数沿动力学系统解取值的时间导数为:
+根据链式法则，对于任意函数<math>H:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R},</math>，函数沿动力学系统解取值的时间导数为:

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−	:<math>\begin{cases} g : ~~'''~~R~~'''~~ ^n \to ~~'''~~R~~'''~~ ^n \\ \dot{y} = g(y) \end{cases}</math>	+	:<math>\begin{cases} g : \mathbb{R} ^n \to \mathbb{R} ^n \\ \dot{y} = g(y) \end{cases}</math>

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−	:<math>\begin{cases} g : '''\R''' ^n \to '''\R''' ^n \\ \dot{y} = g(y) \end{cases}</math>	+	:<math>\begin{cases} g : '''R''' ^n \to '''R''' ^n \\ \dot{y} = g(y) \end{cases}</math>