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极分解 - 版本历史
2026-11-03T21:36:25Z
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2024年12月15日 (日) 01:59 相信未来
2024-12-15T01:59:45Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left diff-editfont-monospace" data-mw="interface">
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">←上一版本</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">2024年12月15日 (日) 01:59的版本</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l9" >第9行：</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">第9行：</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>矩阵的极分解可以看作是复数极形式的矩阵类比。就像复数<math>z</math>可以表示为<math>z = ur</math>的形式，其中<math>r</math>是它的绝对值（一个非负实数），而<math>u</math>是一个模为1的复数（圆群的一个元素）。</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>矩阵的极分解可以看作是复数极形式的矩阵类比。就像复数<math>z</math>可以表示为<math>z = ur</math>的形式，其中<math>r</math>是它的绝对值（一个非负实数），而<math>u</math>是一个模为1的复数（圆群的一个元素）。</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>定义<math>A = UP</math>可以推广到矩形矩阵<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>，此时要求<math>U \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>是半酉矩阵，而<math>P \in \mathbb{C}^{n \times n}</math><del class="diffchange diffchange-inline">是半正定的厄米特矩阵。这种分解总是存在的，并且</del><math>P</math>总是唯一的。矩阵<math>U</math>是唯一的，当且仅当<math>A</math>是满秩的。</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>定义<math>A = UP</math>可以推广到矩形矩阵<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>，此时要求<math>U \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>是半酉矩阵，而<math>P \in \mathbb{C}^{n \times n}</math><ins class="diffchange diffchange-inline">是半正定的厄米矩阵。这种分解总是存在的，并且</ins><math>P</math>总是唯一的。矩阵<math>U</math>是唯一的，当且仅当<math>A</math>是满秩的。</div></td></tr>
</table>
相信未来
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%9E%81%E5%88%86%E8%A7%A3&diff=40236&oldid=prev
2024年12月15日 (日) 01:59 相信未来
2024-12-15T01:59:31Z
<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">←上一版本</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">2024年12月15日 (日) 01:59的版本</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1" >第1行：</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">第1行：</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>对于一个实方阵或复方阵<math>A</math>，其极分解是一种形如<math>A = UP</math>的因式分解，其中<math>U</math>是酉矩阵，<math>P</math><del class="diffchange diffchange-inline">是半正定的厄米特矩阵（在实数情况下，</del><math>U</math>是正交矩阵，而<math>P</math>是半正定对称矩阵），两者都是相同大小的方阵。</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>对于一个实方阵或复方阵<math>A</math>，其极分解是一种形如<math>A = UP</math>的因式分解，其中<math>U</math>是酉矩阵，<math>P</math><ins class="diffchange diffchange-inline">是半正定的厄米矩阵（在实数情况下，</ins><math>U</math>是正交矩阵，而<math>P</math>是半正定对称矩阵），两者都是相同大小的方阵。</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>当我们将一个实<math>n \times n</math>矩阵<math>A</math>解释为<math>n</math>维空间<math>\mathbb{R}^n</math>上的线性变换时，极分解将其分离成<math>\mathbb{R}^n</math>空间的一个旋转或反射<math>U</math>，以及沿着<math>n</math>个正交轴的空间缩放。</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>当我们将一个实<math>n \times n</math>矩阵<math>A</math>解释为<math>n</math>维空间<math>\mathbb{R}^n</math>上的线性变换时，极分解将其分离成<math>\mathbb{R}^n</math>空间的一个旋转或反射<math>U</math>，以及沿着<math>n</math>个正交轴的空间缩放。</div></td></tr>
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相信未来
https://wiki.swarma.org/index.php?title=%E6%9E%81%E5%88%86%E8%A7%A3&diff=40195&oldid=prev
相信未来：建立内容为“对于一个实方阵或复方阵<math>A</math>，其极分解是一种形如<math>A = UP</math>的因式分解，其中<math>U</math>是酉矩阵，<math>P</math…”的新页面
2024-12-14T07:20:41Z
<p>建立内容为“对于一个实方阵或复方阵<math>A</math>，其极分解是一种形如<math>A = UP</math>的因式分解，其中<math>U</math>是酉矩阵，<math>P</math…”的新页面</p>
<p><b>新页面</b></p><div>对于一个实方阵或复方阵<math>A</math>，其极分解是一种形如<math>A = UP</math>的因式分解，其中<math>U</math>是酉矩阵，<math>P</math>是半正定的厄米特矩阵（在实数情况下，<math>U</math>是正交矩阵，而<math>P</math>是半正定对称矩阵），两者都是相同大小的方阵。<br />
<br />
当我们将一个实<math>n \times n</math>矩阵<math>A</math>解释为<math>n</math>维空间<math>\mathbb{R}^n</math>上的线性变换时，极分解将其分离成<math>\mathbb{R}^n</math>空间的一个旋转或反射<math>U</math>，以及沿着<math>n</math>个正交轴的空间缩放。<br />
<br />
方阵<math>A</math>的极分解总是存在的。如果<math>A</math>是可逆的，那么这个分解是唯一的，并且因子<math>P</math>将是正定的。在这种情况下，<math>A</math>可以唯一地写成形式<math>A = Ue^X</math>，其中<math>U</math>是酉矩阵，而<math>X</math>是矩阵<math>P</math>的唯一自伴随对数。<br />
<br />
极分解也可以定义为<math>A = P'U</math>，其中<math>P' = UPU^{-1}</math>是一个对称正定矩阵，它与<math>P</math>具有相同的特征值但具有不同的特征向量。<br />
<br />
矩阵的极分解可以看作是复数极形式的矩阵类比。就像复数<math>z</math>可以表示为<math>z = ur</math>的形式，其中<math>r</math>是它的绝对值（一个非负实数），而<math>u</math>是一个模为1的复数（圆群的一个元素）。<br />
<br />
定义<math>A = UP</math>可以推广到矩形矩阵<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>，此时要求<math>U \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>是半酉矩阵，而<math>P \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>是半正定的厄米特矩阵。这种分解总是存在的，并且<math>P</math>总是唯一的。矩阵<math>U</math>是唯一的，当且仅当<math>A</math>是满秩的。</div>
相信未来