标度不变性 - 版本历史

2021年12月3日 (五) 02:55 栗子CUGB

2021-12-03T02:55:06Z

薄荷：/* φ4 理论 */

2021-10-05T11:30:39Z

φ4 理论

2021年10月5日 (二) 11:29 薄荷

2021-10-05T11:29:28Z

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薄荷：/* 无应力牛顿流体力学 */

2021-10-05T11:25:24Z

无应力牛顿流体力学

2021年9月23日 (四) 11:53 唐糖糖

2021-09-23T11:53:05Z

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2021年9月23日 (四) 09:50 唐糖糖

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2021-09-23T09:48:39Z

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2021-09-23T09:47:17Z

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2021-09-23T09:45:26Z

编者推荐

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 ==标度不变曲线与自相似性==
-在数学中，我们会考虑函数或曲线在变量{{mvar|x}}重新标度下的标度性质。也就是说，人们对某些标度因子{{mvar|λ}} 对应下{{math|''f'' （''λx''）}}的形状感兴趣，这些标度因子可以被视为长度或大小的重新标度。对于某些选择的指数{{mvar|Δ}}和所有的膨胀{{mvar|λ}}，要求{{math|''f'' （''x''）}} 在所有重新标度下保持不变需要满足：
+在数学中，我们会考虑函数或曲线在变量{{mvar|x}}重新标度下的标度性质。也就是说，人们对某些标度因子{{mvar|λ}} 对应下{{math|''f'' （''λx''）}}的形状感兴趣，这些标度因子可以被视为长度或大小的重新标度。对于某些选择的指数{{mvar|Δ}}和所有的膨胀{{mvar|λ}}，要求{{math|''f''(''x'')}} 在所有重新标度下保持不变需要满足：
 <math>f（\lambda x）=\lambda^{\Delta}f（x）</math>。

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-已知φ的标度维数，则无质量标量场理论的某些非线性修正也是标度不变的。例如，{{mvar|D}}=4的无质量'''φ<sup>4</sup>theory φ<sup>4</sup>理论'''。场方程是：
+已知φ的标度维数，则无质量标量场理论的某些非线性修正也是标度不变的。例如，{{mvar|D}}=4的无质量'''φ<sup>4</sup>理论 φ<sup>4</sup>theory '''。场方程是：
 :<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi+g\varphi^3=0</math>。
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 关键是参数{{mvar|g}}必须是无量纲的，否则就会引入一个固定的长度标度到理论中：对于{{mvar|φ}}<sup>4</sup>理论，只有在{{mvar|D}}=4时才会出现这种情况。注意，在这些变换下，函数{{mvar|φ}}的参数是不变的。
 ==量子场论中的标度不变性==

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 在一定条件下，流体力学是一种标度不变的经典场论。流场包括流体流动速度<math>\mathbf{u}（\mathbf{x},t）</math>、流体密度<math>\rho（\mathbf{x},t）</math>和流体压力<math>P（\mathbf{x},t）</math>。这些场必须同时满足'''纳维-斯托克斯方程 Navier–Stokes equation'''和'''连续性方程 Continuity Equation'''。对于'''牛顿流体 Newtonian Fluid'''，它们有各自的形式：
-<math>\rho\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\rho\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u} = -\nabla P+\mu \left（\nabla^2 \mathbf{u}+\frac{1}{3}\nabla\left（\nabla\cdot\mathbf{u}\right）\right）</math>
+:<math>\rho\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\rho\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u} = -\nabla P+\mu \left(\nabla^2 \mathbf{u}+\frac{1}{3}\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{u}\right)\right)</math>
-<math>\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot \left（\rho\mathbf{u}\right）=0</math>
+:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot \left(\rho\mathbf{u}\right)=0</math>
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 为了推导这些方程的尺度不变性，我们指定一个状态方程，将流体压力与流体密度联系起来。状态方程取决于流体的类型及其所处的条件。例如，我们考虑等温理想气体，它满足：
-<math>P=c_s^2\rho,</math>，
+:<math>P=c_s^2\rho,</math>，

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 '''[https://zhuanlan.zhihu.com/p/163706800 伊辛模型百年小史：最经典的复杂系统模型，却险些被科学界遗忘]'''
-[[file:  v2-714c9db2d82918a4140efae6239e99bd_b.gif|thumb|300px|right|在伊辛模型中，高温会导致箭头（通常表示粒子自旋）随机翻转，而磁力则会让近邻的箭头同向排列。这两股力量的斗争准确捕捉了现实世界中大量系统的特征。]]
+[[file:  v2-714c9db2d82918a4140efae6239e99bd_b.gif|thumb|370px|right|在伊辛模型中，高温会导致箭头（通常表示粒子自旋）随机翻转，而磁力则会让近邻的箭头同向排列。这两股力量的斗争准确捕捉了现实世界中大量系统的特征。]]
 伊辛模型最初是用于解释铁磁系统相变的一个简单模型，在通过数轮开发后，人们逐渐认识到了它作为相变模型的普适性：无论是铁原子还是水分子组成的系统，在临近相变时，它们都具有相同的临界指数。到今天，伊辛模型已经被应用于科学领域的方方面面，但精确求解三维伊辛模型的问题仍然困扰着物理学家，这呼唤着科学方法的新变革。
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 '''[https://swarma.org/?p=27648 数学家证明相变的对称性：从旋转对称性到标度不变性]'''
 几十年来，数学家一直希望证明在在物理系统从一种状态转变为另一种状态时，对称性是普遍存在的。被称为共形不变性（conformal invariance）的对称性，实际上包含三个独立的对称性：旋转对称性、平移对称性和标度不变性。近期，一些数学家证明，在临界时刻，被称为旋转不变性的对称性是许多物理系统的普遍属性。

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-===[[伊辛模型 Ising Model|伊辛模型 Ising Model - 集智百科 (swarma.org)]]===
+'''[[伊辛模型 Ising Model|伊辛模型 Ising Model - 集智百科 (swarma.org)]]'''
 [https://zhuanlan.zhihu.com/p/163706800 伊辛模型百年小史：最经典的复杂系统模型，却险些被科学界遗忘]
 [[file:  v2-714c9db2d82918a4140efae6239e99bd_b.gif|thumb|300px|right|在伊辛模型中，高温会导致箭头（通常表示粒子自旋）随机翻转，而磁力则会让近邻的箭头同向排列。这两股力量的斗争准确捕捉了现实世界中大量系统的特征。]]
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-[https://swarma.org/?p=27648 数学家证明相变的对称性：从旋转对称性到标度不变性]
+'''[https://swarma.org/?p=27648 数学家证明相变的对称性：从旋转对称性到标度不变性]'''
 [[file: wxsync-2021-07-44d78dd5069468d147e1d62569f88cc5.png |thumb|300px|right]]
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-[https://swarma.org/?p=2601 解读幂律与无标度网络 | 网络科学入门]
+'''[https://swarma.org/?p=2601 解读幂律与无标度网络 | 网络科学入门]'''
 “贫穷限制了我们的想像力”是最近非常流行的网络语言。在这儿采用这个副标题不是为了哗众取宠，而是因为这个讲座的内容真的和经济金融相关，而且介绍的内容真的会超出你的想象力。本文节选自陈清华的线上讲座《解读幂律与无标度网络——贫穷限制了我们的想象力》。