概率分布 - 版本历史

2021年1月11日 (一) 11:30 Fairywang

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Thingamabob：/* Common probability distributions and their applications 共同概率分布及其应用 */

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Common probability distributions and their applications 共同概率分布及其应用

普天星相：/* Random number generation 随机数生成 */

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Random number generation 随机数生成

普天星相：/* Kolmogorov definition 柯尔莫哥洛夫的定义 */

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Kolmogorov definition 柯尔莫哥洛夫的定义

普天星相：/* Kolmogorov definition 柯尔莫哥洛夫的定义 */

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Kolmogorov definition 柯尔莫哥洛夫的定义

普天星相：/* Continuous probability distribution 连续概率分布 */

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Continuous probability distribution 连续概率分布

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Continuous probability distribution 连续概率分布

普天星相：/* Continuous probability distribution 连续概率分布 */

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Continuous probability distribution 连续概率分布

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 * The [[cache language model]]s and other [[Statistical Language Model|statistical language models]] used in [[natural language processing]] to assign probabilities to the occurrence of particular words and word sequences do so by means of probability distributions.
 在自然语言处理中使用的高速缓存语言模型和其他统计语言模型通过概率分布来为特定单词和单词序列的出现分配概率。
+  --[[用户:fairywang|fairywang]]([[用户讨论:fairywang|讨论]])  【审校】“在自然语言处理中使用的高速缓存语言模型和其他统计语言模型通过概率分布来为特定单词和单词序列的出现分配概率。”改为“在自然语言处理中，使用的高速缓存语言模型和其他统计语言模型，通过概率分布，为特定单词和单词序列的出现分配概率。”
 * In quantum mechanics, the probability density of finding the particle at a given point is proportional to the square of the magnitude of the particle's [[wavefunction]] at that point (see [[Born rule]]). Therefore, the probability distribution function of the position of a particle is described by <math>P_{a\le x\le b} (t) = \int_a^b d x\,|\Psi(x,t)|^2 </math>, probability that the particle's position {{math|''x''}} will be in the interval {{math|''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''}} in dimension one, and a similar [[triple integral]] in dimension three. This is a key principle of quantum mechanics.<ref>{{Cite book|title=Physical chemistry for the chemical sciences|last=Chang, Raymond.|publisher=|others=Thoman, John W., Jr., 1960-|year=|isbn=978-1-68015-835-9|location=[Mill Valley, California]|pages=403–406|oclc=927509011}}</ref>
 在量子力学中，在给定点处找到粒子的概率密度与该点处粒子波函数大小的平方成正比（请参阅博恩法则）。因此，粒子位置的概率分布函数描述为<math>P_{a\le x\le b} (t) = \int_a^b d x\,|\Psi(x,t)|^2 </math>，粒子位置的概率x在第一个维度中的间隔为a≤x≤b，在第三个维度中的间隔类似。这是量子力学的关键原理。
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 * [[List of statistical topics]]
 统计学话题的清淡
 === Probability distributions 概率分布 ===

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 For example, suppose a random variable that has an exponential distribution <math>F(x) = 1 - e^{-\lambda x}</math> must be constructed.
 例如，假设必须构造一个具有指数分布<math>F(x) = 1 - e^{-\lambda x}</math> 的随机变量。
-  --[[用户:fairywang|fairywang]]([[用户讨论:fairywang|讨论]])  【审校】
 <math>\begin{align}
 F(x) = u &\Leftrightarrow 1-e^{-\lambda x} = u \\ &\Leftrightarrow e^{-\lambda x } = 1-u \\&\Leftrightarrow -\lambda x = \ln(1-u) \\ &\Leftrightarrow x = \frac{-1}{\lambda}\ln(1-u)
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 所以<math>F^{inv}(u) = \frac{-1}{\lambda}\ln(1-u)</math> 并且如果 <math>U</math> 有一个<math>U(0,1)</math> 分布, 然后随机变量 <math>X</math> 被定义为 <math>X = F^{inv}(U) = \frac{-1}{\lambda} \ln(1-U)</math>. 这里有一个指数分布 <math>\lambda</math>.<ref name=":0" />
+  --[[用户:fairywang|fairywang]]([[用户讨论:fairywang|讨论]])  【审校】"并且如果 <math>U</math> 有一个<math>U(0,1)</math> 分布, 然后"改为“如果 <math>U</math> 服从<math>(0,1)</math> 分布, 且”
 A frequent problem in statistical simulations (the [[Monte Carlo method]]) is the generation of [[Pseudorandomness|pseudo-random numbers]] that are distributed in a given way.
 统计模拟（蒙特卡洛方法）中经常遇到的一个问题是生成以给定方式分布的伪随机数。
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 == Common probability distributions and their applications 共同概率分布及其应用==
 {{Main list|List of probability distributions}}
+  --[[用户:fairywang|fairywang]]([[用户讨论:fairywang|讨论]])  【审校】“共同概率分布及其应用”改为“常见概率分布及其应用”
 The concept of the probability distribution and the random variables which they describe underlies the mathematical discipline of probability theory, and the science of statistics. There is spread or variability in almost any value that can be measured in a population (e.g. height of people, durability of a metal, sales growth, traffic flow, etc.); almost all measurements are made with some intrinsic error; in physics, many processes are described probabilistically, from the [[Kinetic theory of gases|kinetic properties of gases]] to the [[quantum mechanical]] description of [[fundamental particles]]. For these and many other reasons, simple [[number]]s are often inadequate for describing a quantity, while probability distributions are often more appropriate.
 概率分布和内蕴其中的随机变量的概念是概率论和统计学领域的基础。几乎任何可以在群体中测量的值都存在价差或可变性（例如人的身高，金属的耐用性，销售增长，交通流量等）;几乎所有测量都存在一定的固有误差；在物理学中，从气体动力学理论到基本粒子的量子力学描述都用概率论来描述。出于各种原因，简单数字通常很难表述一个量量，而用概率分布表述通常更合适。
+  --[[用户:fairywang|fairywang]]([[用户讨论:fairywang|讨论]])  【审校】“简单数字通常很难表述一个量量”改为“简单数字通常不足以表述一个量”
 The following is a list of some of the most common probability distributions, grouped by the type of process that they are related to. For a more complete list, see [[list of probability distributions]], which groups by the nature of the outcome being considered (discrete, continuous, multivariate, etc.)
 以下列出了一些最常见的概率分布，按与之相关的过程类型进行分组。更完整的内容请参见概率分布列表，该列表按研究对象的性质（离散，连续，多元等）进行分组。
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 === '''<font color="#ff8000">Linear growth (e.g. errors, offsets) 线性增长 </font>'''===
+  --[[用户:fairywang|fairywang]]([[用户讨论:fairywang|讨论]])  【审校】“线性增长”改为“线性增长（例如，错误，偏差等）”
 * [[Normal distribution]] (Gaussian distribution), for a single such quantity; the most commonly used continuous distribution
 '''<font color="#ff8000"> 正态分布（高斯分布 Normal Distribution</font>'''，适用于单个变量；是最常用的连续分布
 === '''<font color="#ff8000"> Exponential growth (e.g. prices, incomes, populations) 指数增长</font>'''===
+  --[[用户:fairywang|fairywang]]([[用户讨论:fairywang|讨论]])  【审校】“指数增长”改为“指数增长（例如，价格，收入，人口）”
 * [[Log-normal distribution]], for a single such quantity whose log is [[Normal distribution|normally]] distributed
 '''<font color="#ff8000">对数正态分布 Log-normal Distribution</font>'''，适用于对数为正态分布的单个变量
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 === Bernoulli trials (yes/no events, with a given probability) 伯努利试验（给定的概率的是或否事件===
+  --[[用户:fairywang|fairywang]]([[用户讨论:fairywang|讨论]])  【审校】“给定的概率的是或否事件”改为“给定了概率的是或否事件”
 * Basic distributions 基本分布:
 ** [[Bernoulli distribution]], for the outcome of a single Bernoulli trial (e.g. success/failure, yes/no)

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 For example, suppose a random variable that has an exponential distribution <math>F(x) = 1 - e^{-\lambda x}</math> must be constructed.
 例如，假设必须构造一个具有指数分布<math>F(x) = 1 - e^{-\lambda x}</math> 的随机变量。
+  --[[用户:fairywang|fairywang]]([[用户讨论:fairywang|讨论]])  【审校】
 <math>\begin{align}
 F(x) = u &\Leftrightarrow 1-e^{-\lambda x} = u \\ &\Leftrightarrow e^{-\lambda x } = 1-u \\&\Leftrightarrow -\lambda x = \ln(1-u) \\ &\Leftrightarrow x = \frac{-1}{\lambda}\ln(1-u)

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 The concept of the probability distribution and the random variables which they describe underlies the mathematical discipline of probability theory, and the science of statistics. There is spread or variability in almost any value that can be measured in a population (e.g. height of people, durability of a metal, sales growth, traffic flow, etc.); almost all measurements are made with some intrinsic error; in physics, many processes are described probabilistically, from the [[Kinetic theory of gases|kinetic properties of gases]] to the [[quantum mechanical]] description of [[fundamental particles]]. For these and many other reasons, simple [[number]]s are often inadequate for describing a quantity, while probability distributions are often more appropriate.
-概率分布的概念及其描述的随机变量是概率论和统计学科学的数学基础。人口中几乎可以测量的任何值都存在价差或可变性（例如人的身高，金属的耐用性，销售增长，交通流量等）;几乎所有测量均存在一定的固有误差；在物理学中，从气体的动力学特性到基本粒子的量子力学描述，很多过程都用概率论来描述。由于这些以及许多其他原因，简单数字通常不足以描述数量，而概率分布通常更合适。
+概率分布和内蕴其中的随机变量的概念是概率论和统计学领域的基础。几乎任何可以在群体中测量的值都存在价差或可变性（例如人的身高，金属的耐用性，销售增长，交通流量等）;几乎所有测量都存在一定的固有误差；在物理学中，从气体动力学理论到基本粒子的量子力学描述都用概率论来描述。出于各种原因，简单数字通常很难表述一个量量，而用概率分布表述通常更合适。
 The following is a list of some of the most common probability distributions, grouped by the type of process that they are related to. For a more complete list, see [[list of probability distributions]], which groups by the nature of the outcome being considered (discrete, continuous, multivariate, etc.)
-以下是一些最常见的概率分布列表，按与之相关的过程类型进行分组。有关更完整的列表，请参见概率分布列表，该列表按要考虑的结果的性质（离散，连续，多元等）进行分组。
+以下列出了一些最常见的概率分布，按与之相关的过程类型进行分组。更完整的内容请参见概率分布列表，该列表按研究对象的性质（离散，连续，多元等）进行分组。
 All of the univariate distributions below are singly peaked; that is, it is assumed that the values cluster around a single point. In practice, actually observed quantities may cluster around multiple values. Such quantities can be modeled using a [[mixture distribution]].
-下面所有的单变量分布都达到了峰值。也就是说，假设值聚集在单个点周围。实际上，实际观察到的量可能会聚集在多个值附近。可以使用混合物分布对此类数量进行建模。
+下面所有的单变量分布都是单峰的。也就是说，假设值聚集在单个值周围。实际上，实际观测量可能会聚集在多个值附近，可以使用混合分布对这种量进行建模。
 === '''<font color="#ff8000">Linear growth (e.g. errors, offsets) 线性增长 </font>'''===
 * [[Normal distribution]] (Gaussian distribution), for a single such quantity; the most commonly used continuous distribution
-'''<font color="#ff8000"> 正态分布（高斯分布 Normal Distribution</font>'''，对于单个这样的数量；最常用的连续分布
+'''<font color="#ff8000"> 正态分布（高斯分布 Normal Distribution</font>'''，适用于单个变量；是最常用的连续分布
 === '''<font color="#ff8000"> Exponential growth (e.g. prices, incomes, populations) 指数增长</font>'''===
 * [[Log-normal distribution]], for a single such quantity whose log is [[Normal distribution|normally]] distributed
-'''<font color="#ff8000">对数正态分布 Log-normal Distribution</font>'''，对于单个此类数量的对数正态分布
+'''<font color="#ff8000">对数正态分布 Log-normal Distribution</font>'''，适用于对数为正态分布的单个变量
 * [[Pareto distribution]], for a single such quantity whose log is [[Exponential distribution|exponentially]] distributed; the prototypical [[power law]] distribution
-'''<font color="#ff8000">帕累托分布 Pareto Distribution</font>'''，对于单个这样的数量，其对数呈指数分布；原型幂律分布
+'''<font color="#ff8000">帕累托分布 Pareto Distribution</font>'''，适用于指数为正态分布的单个变量；是幂律分布的原型
 === '''<font color="#ff8000"> Uniformly distributed quantities 数量均匀分布</font>'''===
 * [[Discrete uniform distribution]], for a finite set of values (e.g. the outcome of a fair die)
-'''<font color="#ff8000"> 离散均匀分布 Discrete Uniform Distributed</font>'''，用于有限的一组值（例如，公平死亡的结果）
+'''<font color="#ff8000"> 离散均匀分布 Discrete Uniform Distributed</font>'''，用于有限的一组值（例如，均匀骰子的结果）
 * [[Continuous uniform distribution]], for continuously distributed values
 '''<font color="#ff8000">连续均匀分布 Continuous Uniform Distributed</font>'''，用于连续分布的值
-=== Bernoulli trials (yes/no events, with a given probability) 伯努利试验（是/否事件，具有给定的概率）===
+=== Bernoulli trials (yes/no events, with a given probability) 伯努利试验（给定的概率的是或否事件===
 * Basic distributions 基本分布:
 ** [[Bernoulli distribution]], for the outcome of a single Bernoulli trial (e.g. success/failure, yes/no)
-'''<font color="#ff8000"> 伯努利分布 Bernoulli Distribution</font>'''，用于单个伯努利试验的结果（例如成功/失败，是/否）
+'''<font color="#ff8000"> 伯努利分布 Bernoulli Distribution</font>'''，用于描述单个伯努利试验的结果（例如成功/失败，是/否）
 ** [[Binomial distribution]], for the number of "positive occurrences" (e.g. successes, yes votes, etc.) given a fixed total number of [[Independent (statistics)|independent]] occurrences
-'''<font color="#ff8000">二项式分布 Binomial Distribution </font>'''，对于给定固定总数的独立“出现次数”（例如，成功，赞成票等）的数量
+'''<font color="#ff8000">二项式分布 Binomial Distribution </font>'''，用于描述给定总数的前提下相互独立变量的成功次数（例如，成功，赞成票等）
 ** [[Negative binomial distribution]], for binomial-type observations but where the quantity of interest is the number of failures before a given number of successes occurs
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 ** [[Geometric distribution]], for binomial-type observations but where the quantity of interest is the number of failures before the first success; a special case of the [[negative binomial distribution]]
-'''<font color="#ff8000">几何分布 Geometric Distribution</font>'''，用于二项式观测，但是关注的数量是首次成功之前的失败数量；负二项式分布的特殊情况
+'''<font color="#ff8000">几何分布 Geometric Distribution</font>'''，用于二项式观测，但是关注的数量是首次成功之前的失败数量；是负二项分布的特殊情况
 * Related to sampling schemes over a finite population 与有限人口抽样方案有关:
 ** [[Hypergeometric distribution]], for the number of "positive occurrences" (e.g. successes, yes votes, etc.) given a fixed number of total occurrences, using [[sampling without replacement]]
-'''<font color="#ff8000"> 超几何分布 Hypergeometric Distribution</font>'''，对于“肯定出现”的数量（例如成功，赞成票等），给定了一定的总出现数量，使用采样而无需替换
+'''<font color="#ff8000"> 超几何分布 Hypergeometric Distribution</font>'''，描述“成功”的次数（例如成功，赞成票等），给定了一定的总出现数量，使用采样而无需替换
 ** [[Beta-binomial distribution]], for the number of "positive occurrences" (e.g. successes, yes votes, etc.) given a fixed number of total occurrences, sampling using a [[Pólya urn model]] (in some sense, the "opposite" of [[sampling without replacement]])

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 大多数算法基于'''<font color="#ff8000"> 伪随机数生成器 Pseudorandom Number Generator</font>'''，该伪随机数生成器生成在半开间隔[0,1）中均匀分布的数字X。然后，通过某种算法对这些随机变量X进行转换，以创建具有所需概率分布的新随机变量。利用这种统一的伪随机源，可以生成任何随机变量的实现。
 For example, suppose <math>U</math> has a uniform distribution between 0 and 1. To construct a random Bernoulli variable for some <math>0 < p < 1</math>, we define
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 \textrm{P}(X=0) = \textrm{P}(U\geq p) = 1-p.</math>
-例如，假设U具有介于0和1之间的均匀分布。为某些对象构造一个随机的Bernoulli变量0 <p <1我们定义
+例如，假设U具有介于0和1之间的均匀分布。为某些对象构造一个随机的Bernoulli变量0 <p <1，我们定义
 <math>{\displaystyle X ={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}U<p\\0,&{\mbox{if }}U\geq p\end{cases}}}
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 <math>\textrm{P}(X=1) = \textrm{P}(U<p) = p,
 \textrm{P}(X=0) = \textrm{P}(U\geq p) = 1-p.</math>
 This random variable X has a Bernoulli distribution with parameter <math>p</math>.<ref name=":0"/> Note that this is a transformation of discrete random variable.
 该随机变量X具有参数的伯努利分布p。请注意，这是离散随机变量的变换。
 For a distribution function <math>F</math> of a continuous random variable, a continuous random variable must be constructed. <math>F^{inv}</math>, an inverse function of <math>F</math>, relates to the uniform variable <math>U</math>:
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 F或连续随机变量的分布函数F，必须构造连续随机变量。 <math>F^{inv}</math>，F的反函数，涉及均匀变量U：
 <math>{U\leq F(x)} = {F^{inv}(U)\leq x}.</math>
 For example, suppose a random variable that has an exponential distribution <math>F(x) = 1 - e^{-\lambda x}</math> must be constructed.

@@ 第450行： / 第450行： @@
    --[[用户:普天星相|普天星相]]([[用户讨论:普天星相|讨论]])  【审校】“在概率论的度量理论形式化中”一句中“度量理论”改为“测度论”。
    --[[用户:普天星相|普天星相]]([[用户讨论:普天星相|讨论]])  【审校】“将随机变量定义为可测量函数概率空间中的X（Ω，F，P）到一个可测量的空间（X，A）”一句改为“随机变量定义为从概率空间<math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math>到测度空间<math>(\mathcal{X},\mathcal{A})</math>的测度函数<math>(\mathcal{X},\mathcal{A})</math>。”
-   --[[用户:普天星相|普天星相]]([[用户讨论:普天星相|讨论]])  【审校】“给定{ω∈Ω∣X（ω）∈A}形式的事件的概率。满足Kolmogorov的概率公理，X的概率分布为X的前推量度X * P”一句改为“假设这种形式的事件概率<math>\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\in A\}</math>满足满足柯尔莫哥洛夫的概率公理，则X的概率分布为X的pushforward measure<math>X_*\mathbb{P}</math> of <math>X</math>”。
+   --[[用户:普天星相|普天星相]]([[用户讨论:普天星相|讨论]])  【审校】“给定{ω∈Ω∣X（ω）∈A}形式的事件的概率。满足Kolmogorov的概率公理，X的概率分布为X的前推量度X * P”一句改为“假设这种形式的事件概率<math>\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\in A\}</math>满足满足柯尔莫哥洛夫的概率公理，则X的概率分布为X的pushforward measure<math>X_*\mathbb{P}</math>”。
 ==Random number generation 随机数生成==

←上一版本		2020年11月5日 (四) 02:18的版本
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	在概率论的度量理论形式化中，将随机变量定义为可测量函数概率空间中的X（Ω，F，P）到一个可测量的空间（X，A）。给定{ω∈Ω∣X（ω）∈A}形式的事件的概率。满足Kolmogorov的概率公理，X的概率分布为X的前推量度X * P，它是满足<math>X_*\mathbb{P} = \mathbb{P}X^{-1}</math>的概率量度		在概率论的度量理论形式化中，将随机变量定义为可测量函数概率空间中的X（Ω，F，P）到一个可测量的空间（X，A）。给定{ω∈Ω∣X（ω）∈A}形式的事件的概率。满足Kolmogorov的概率公理，X的概率分布为X的前推量度X * P，它是满足<math>X_*\mathbb{P} = \mathbb{P}X^{-1}</math>的概率量度

		+	--[[用户:普天星相\|普天星相]]([[用户讨论:普天星相\|讨论]]) 【审校】“在概率论的度量理论形式化中”一句中“度量理论”改为“测度论”。
		+	--[[用户:普天星相\|普天星相]]([[用户讨论:普天星相\|讨论]]) 【审校】“将随机变量定义为可测量函数概率空间中的X（Ω，F，P）到一个可测量的空间（X，A）”一句改为“随机变量定义为从概率空间<math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math>到测度空间<math>(\mathcal{X},\mathcal{A})</math>的测度函数<math>(\mathcal{X},\mathcal{A})</math>。”
		+	--[[用户:普天星相\|普天星相]]([[用户讨论:普天星相\|讨论]]) 【审校】“给定{ω∈Ω∣X（ω）∈A}形式的事件的概率。满足Kolmogorov的概率公理，X的概率分布为X的前推量度X * P”一句改为“假设这种形式的事件概率<math>\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\in A\}</math>满足满足柯尔莫哥洛夫的概率公理，则X的概率分布为X的pushforward measure<math>X_*\mathbb{P}</math> of <math>X</math>”。

	==Random number generation 随机数生成==		==Random number generation 随机数生成==

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 这里，mu是Lebesgue度量
 Note on terminology: some authors use the term "continuous distribution" to denote distributions whose cumulative distribution functions are [[continuous function|continuous]], rather than [[absolute continuity|absolutely continuous]]. These distributions are the ones <math>\mu</math> such that <math>\mu\{x\}\,=\,0</math> for all <math>\,x</math>. This definition includes the (absolutely) continuous distributions defined above, but it also includes [[singular distribution]]s, which are neither absolutely continuous nor discrete nor a mixture of those, and do not have a density. An example is given by the [[Cantor distribution]].
 关于术语的注释：一些作者使用术语“连续分布”来表示其累积分布函数是连续的而不是绝对连续的分布。这些分布是所有x的μ{x} = 0的μ分布。该定义包括上面定义的（绝对）连续分布，但也包括奇异分布，既不是绝对连续也不是离散的，也不是它们的混合。没有密度。 Cantor分布给出了一个示例。
 == '''<font color="#ff8000"> [[Andrey Kolmogorov|Kolmogorov]] definition 柯尔莫哥洛夫的定义</font>'''==

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第414行：		第414行：
	也可以朝相反的方向思考，这样可以有更大的灵活性。假设 f(x)是满足上述所有性质的函数，那么 f 表示某个随机变量的累积密度函数: 如果 f 是阶跃函数，则为离散随机变量，否则为连续随机变量。这允许具有累积密度函数的连续分布，而不是概率密度函数分布，例如 Cantor 分布。		也可以朝相反的方向思考，这样可以有更大的灵活性。假设 f(x)是满足上述所有性质的函数，那么 f 表示某个随机变量的累积密度函数: 如果 f 是阶跃函数，则为离散随机变量，否则为连续随机变量。这允许具有累积密度函数的连续分布，而不是概率密度函数分布，例如 Cantor 分布。

		+	--[[用户:普天星相\|普天星相]]([[用户讨论:普天星相\|讨论]]) 【审校】“假设 f(x)是满足上述所有性质的函数”改为“假设 f(x)是满足上述除最后一条外其他所有性质的函数”，“那么 f 表示某个随机变量的累积密度函数”中“某个”改为“某种”。“这允许具有累积密度函数的连续分布，而不是概率密度函数分布，例如 Cantor 分布”改为“这允许连续分布有累积密度函数但无概率密度函数，如康托分布”。

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第408行：		第408行：

	</ul>		</ul>
		+
		+	--[[用户:普天星相\|普天星相]]([[用户讨论:普天星相\|讨论]]) 【审校】以上性质没有翻译。第一行应为“<math>F(x)</math>是非减的”；第三行"and"改为“和”；第四行"and"改为“以及”；第五行应为“由于黎曼积分的性质，<math>F(x)</math>连续”

	It is also possible to think in the opposite direction, which allows more flexibility. Say <math>F(x)</math> is a function that satisfies all but the last of the properties above, then <math>F</math> represents the cumulative density function for some random variable: a discrete random variable if <math>F</math> is a step function, and a continuous random variable otherwise.<ref>See Theorem 2.1 of {{harvp\|Vapnik\|1998}}, or [[Lebesgue's decomposition theorem]]. The section [[#Delta-function_representation]] may also be of interest.</ref> This allows for continuous distributions that has a cumulative density function, but not a probability density function, such as the [[Cantor distribution]].		It is also possible to think in the opposite direction, which allows more flexibility. Say <math>F(x)</math> is a function that satisfies all but the last of the properties above, then <math>F</math> represents the cumulative density function for some random variable: a discrete random variable if <math>F</math> is a step function, and a continuous random variable otherwise.<ref>See Theorem 2.1 of {{harvp\|Vapnik\|1998}}, or [[Lebesgue's decomposition theorem]]. The section [[#Delta-function_representation]] may also be of interest.</ref> This allows for continuous distributions that has a cumulative density function, but not a probability density function, such as the [[Cantor distribution]].