正交归一化 - 版本历史

2024年12月22日 (日) 07:34 相信未来

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2024年12月22日 (日) 07:34 相信未来

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2024年12月22日 (日) 07:33 相信未来

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相信未来：建立内容为“在线性代数中，如果内积空间中的两个向量既是单位向量又相互正交，我们就称这两个向量是标准正交的。所谓单位向量，…”的新页面

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在线性代数中，如果内积空间中的两个向量既是单位向量又相互正交，我们就称这两个向量是标准正交的。所谓单位向量，就是长度为1的向量，我们也称之为规范化向量。而所谓正交，则是指这些向量彼此垂直。

当一组向量中的所有向量都相互正交，并且每个向量都是单位向量时，我们就说这组向量构成了一个标准正交集。特别地，如果这样的标准正交集恰好构成一组基底，我们就称之为标准正交基（或规范正交基）。

为了将一组线性无关的向量转化为标准正交基，我们可以使用正交归一化过程，最常用的方法是格拉姆-施密特正交化法（Gram-Schmidt process）。这个过程分为两个步骤：正交化和归一化。

首先进行正交化。假设我们有一组线性无关的向量<math>{v_1, v_2, ..., v_n}</math>，我们可以通过以下步骤将其转化为正交向量组<math>{u_1, u_2, ..., u_n}</math>：

保持第一个向量不变：<math>u_1 = v_1</math>
对于后续的每个向量，减去它在之前所有正交向量上的投影：
** <math>u_2 = v_2 - \text{proj}{u_1}(v_2)</math>
** <math>u_3 = v_3 - \text{proj}{u_1}(v_3) - \text{proj}_{u_2}(v_3)</math>
** 以此类推
然后进行归一化。将每个正交向量除以其长度，得到单位向量：
:<math>e_i = \frac{u_i}{|u_i|}</math>

经过这两个步骤，我们就得到了一组标准正交基<math>{e_1, e_2, ..., e_n}</math>。这组基保持了原向量组张成的空间不变，同时具有良好的正交性质，在许多计算和应用中都非常有用。

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第3行：		第3行：
	当一组向量中的所有向量都相互正交，并且每个向量都是单位向量时，我们就说这组向量构成了一个标准正交集。特别地，如果这样的标准正交集恰好构成一组基底，我们就称之为标准正交基（或规范正交基）。		当一组向量中的所有向量都相互正交，并且每个向量都是单位向量时，我们就说这组向量构成了一个标准正交集。特别地，如果这样的标准正交集恰好构成一组基底，我们就称之为标准正交基（或规范正交基）。

−	~~为了将一组线性无关的向量转化为标准正交基，我们可以使用正交归一化过程~~	+	为了将一组线性无关的向量转化为标准正交基，我们可以使用正交归一化过程。

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第3行：		第3行：
	当一组向量中的所有向量都相互正交，并且每个向量都是单位向量时，我们就说这组向量构成了一个标准正交集。特别地，如果这样的标准正交集恰好构成一组基底，我们就称之为标准正交基（或规范正交基）。		当一组向量中的所有向量都相互正交，并且每个向量都是单位向量时，我们就说这组向量构成了一个标准正交集。特别地，如果这样的标准正交集恰好构成一组基底，我们就称之为标准正交基（或规范正交基）。

−	为了将一组线性无关的向量转化为标准正交基，我们可以使用正交归一化过程，最常用的方法是格拉姆-施密特正交化法（Gram-Schmidt process）。这个过程分为两个步骤：正交化和归一化。	+	为了将一组线性无关的向量转化为标准正交基，我们可以使用正交归一化过程
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−	~~首先进行正交化。假设我们有一组线性无关的向量<math>{v_1, v_2, ..., v_n}</math>，我们可以通过以下步骤将其转化为正交向量组<math>{u_1, u_2, ..., u_n}</math>：~~
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−	~~保持第一个向量不变：<math>u_1 = v_1</math>~~
−	~~对于后续的每个向量，减去它在之前所有正交向量上的投影：~~
−	* <math>u_2 = v_2 - \text{proj}{u_1}(v_2)</math>
−	* <math>u_3 = v_3 - \text{proj}{u_1}(v_3) - \text{proj}_{u_2}(v_3)</math>
−	* 以此类推
−	~~然后进行归一化。将每个正交向量除以其长度，得到单位向量：~~
−	~~:<math>e_i = \frac{u_i}{\|u_i\|}</math>~~
−
−	经过这两个步骤，我们就得到了一组标准正交基<math>{e_1, e_2, ..., e_n}</math>。这组基保持了原向量组张成的空间不变，同时具有良好的正交性质，在许多计算和应用中都非常有用。

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 保持第一个向量不变：<math>u_1 = v_1</math>
 对于后续的每个向量，减去它在之前所有正交向量上的投影：
-** <math>u_2 = v_2 - \text{proj}{u_1}(v_2)</math>
+* <math>u_2 = v_2 - \text{proj}{u_1}(v_2)</math>
-** <math>u_3 = v_3 - \text{proj}{u_1}(v_3) - \text{proj}_{u_2}(v_3)</math>
+* <math>u_3 = v_3 - \text{proj}{u_1}(v_3) - \text{proj}_{u_2}(v_3)</math>
-** 以此类推
+* 以此类推
 然后进行归一化。将每个正交向量除以其长度，得到单位向量：
 :<math>e_i = \frac{u_i}{|u_i|}</math>
 经过这两个步骤，我们就得到了一组标准正交基<math>{e_1, e_2, ..., e_n}</math>。这组基保持了原向量组张成的空间不变，同时具有良好的正交性质，在许多计算和应用中都非常有用。