沙堆模型 - 版本历史

2022年3月15日 (二) 08:00 薄荷

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思无涯咿呀咿呀：/* 沙堆群 */

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沙堆群

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沙堆群

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一个扩展沙堆模型

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自组织临界性

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最小作用原理

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缩放极限（标度极限）

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无限网格上的沙堆模型

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-'''<font color="#ff8000"> 阿贝尔沙堆模型 Abelian sandpile model</font>'''，也被称为 Bak-Tang-Wiesenfeld 模型，是第一个发现的动力系统展现[[自组织临界性]]的例子。它是由 Per Bak,Chao Tang 和 Kurt Wiesenfeld 在1987年的一篇论文<ref name=Bak1987>
+''' 阿贝尔沙堆模型 Abelian sandpile model'''，也被称为 Bak-Tang-Wiesenfeld 模型，是第一个发现的动力系统展现[[自组织临界性]]的例子。它是由 Per Bak,Chao Tang 和 Kurt Wiesenfeld 在1987年的一篇论文<ref name=Bak1987>
 {{cite journal
   | author = Bak, P. |author2=Tang, C. |author3-link=Kurt Wiesenfeld |author3=Wiesenfeld, K.
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-这个模型是一种<font color="#ff8000"> [[元胞自动机]]模型 Cellular automaton</font>。在最初的公式中，有限网格上的每个位置都有一个与沙堆的坡度相对应的关联值。当“沙粒”（或“碎片”）被随机放置在沙堆上时，被放置位置的坡度就会不断累加，直到坡度超过一个特定的阈值时，这个位置便发生崩塌，沙子就会转移到其邻近的位置，而增加后者的坡度。Bak, Tang和 Wiesenfeld考虑了在网格上持续随机放置沙粒的过程; 每次这样在某个位置放置沙粒有可能不会产生影响，也有可能会引起[[级联反应]]而影响一大片位置。
+这个模型是一种 [[元胞自动机]]模型 Cellular automaton。在最初的公式中，有限网格上的每个位置都有一个与沙堆的坡度相对应的关联值。当“沙粒”（或“碎片”）被随机放置在沙堆上时，被放置位置的坡度就会不断累加，直到坡度超过一个特定的阈值时，这个位置便发生崩塌，沙子就会转移到其邻近的位置，而增加后者的坡度。Bak, Tang和 Wiesenfeld考虑了在网格上持续随机放置沙粒的过程; 每次这样在某个位置放置沙粒有可能不会产生影响，也有可能会引起[[级联反应]]而影响一大片位置。
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   | doi = 10.1007/978-3-7643-8786-0_17
 | bibcode=1987PhRvL..59..381B
-|arxiv=0801.3306|isbn=978-3-7643-8785-3 |s2cid=7313023 }}</ref>。它与美元博弈游戏密切相关，这个游戏是Biggs提出的一种<font color="#ff8000">开除碎片 chip-firing 游戏的变体</font>。<ref>{{cite journal|last=Biggs|first=Norman L.|date=25 June 1997|title=Chip-Firing and the Critical Group of a Graph|url=ftp://ftp.math.ethz.ch/hg/EMIS/journals/JACO/Volume9_1/m6g7032786582625.fulltext.pdf|journal=Journal of Algebraic Combinatorics|pages=25–45|accessdate=10 May 2014}}</ref>
+|arxiv=0801.3306|isbn=978-3-7643-8785-3 |s2cid=7313023 }}</ref>。它与美元博弈游戏密切相关，这个游戏是Biggs提出的一种开除碎片 chip-firing 游戏的变体。<ref>{{cite journal|last=Biggs|first=Norman L.|date=25 June 1997|title=Chip-Firing and the Critical Group of a Graph|url=ftp://ftp.math.ethz.ch/hg/EMIS/journals/JACO/Volume9_1/m6g7032786582625.fulltext.pdf|journal=Journal of Algebraic Combinatorics|pages=25–45|accessdate=10 May 2014}}</ref>
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-沙堆模型起初是一个定义在<math> N\times M </math>矩形网格（棋盘格）上的'''<font color="#ff8000">元胞自动机cellular automaton </font>'''。
+沙堆模型起初是一个定义在<math> N\times M </math>矩形网格（棋盘格）上的'''元胞自动机cellular automaton '''。
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-在这种情况下，<math>\mathbf{x}</math>被称为<math>z</math>的稳定过程的崩塌或计程函数 <font color="#ff8000">odometer function</font>。
+在这种情况下，<math>\mathbf{x}</math>被称为<math>z</math>的稳定过程的崩塌或计程函数 odometer function。
-在<math>*</math>运算下，常返构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群，即<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括吸收顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和常返）在<math>*</math>.运算下形成'''<font color="#ff8000"> 交换幺半群Commutative monoid</font>'''。这个幺半群的最小理想同构于常返构型群。
+在<math>*</math>运算下，常返构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群，即<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括吸收顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和常返）在<math>*</math>.运算下形成''' 交换幺半群Commutative monoid'''。这个幺半群的最小理想同构于常返构型群。
-由常返构型形成的群，以及与之同构的群<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，通常被称为'''<font color="#ff8000"> 沙堆群Sandpile group</font>'''。同样的群也常被称作为“临界群”、“Jacobian群”或（比较不常见的）“Picard群”。
+由常返构型形成的群，以及与之同构的群<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，通常被称为''' 沙堆群Sandpile group'''。同样的群也常被称作为“临界群”、“Jacobian群”或（比较不常见的）“Picard群”。
-然而，要注意的是，有些作者只把常返构型形成的组称为沙堆组，而为由<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>（或相关的同构定义）定义的同构群保留Jacobian群或临界群的称呼。最后，一些作者使用Picard群来指代沙堆群和<math>\mathbb{Z}</math>的直积，后者出现在与沙堆模型密切相关的[[元胞自动机]]中，被称为'''<font color="#ff8000"> 开除碎片或美元博弈游戏Chip firing or Dollar game</font>'''。
+然而，要注意的是，有些作者只把常返构型形成的组称为沙堆组，而为由<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>（或相关的同构定义）定义的同构群保留Jacobian群或临界群的称呼。最后，一些作者使用Picard群来指代沙堆群和<math>\mathbb{Z}</math>的直积，后者出现在与沙堆模型密切相关的[[元胞自动机]]中，被称为''' 开除碎片或美元博弈游戏Chip firing or Dollar game'''。
 给定上述同构，沙堆群的阶是<math>\Delta'</math>的行列式，根据矩阵树定理，它是图的生成树的个数。

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 ==沙堆群==
-给定一个构型<math>z</math>，<math>z(v)\in\mathbb{N}_0</math>对于所有<math>v\in G\setminus\{s\}</math>，在有限连通图上使不稳定的非吸收顶点崩塌，直到没有剩下稳定的非汇顶点，这将导致唯一的“稳定”构型<math>z^\circ</math>，这就是<math>z</math>的“稳定化”。给定两个稳定构型<math>z</math>和<math>w</math>，我们可以定义运算<math>z*w \to (z+w)^\circ</math>，对应于沙粒在各个顶点加起来后得到的稳定沙堆。<font color="#ff8000">corresponding to the vertex-wise addition of grains followed by the stabilization of the resulting sandpile.</font>
+给定一个构型<math>z</math>，<math>z(v)\in\mathbb{N}_0</math>对于所有<math>v\in G\setminus\{s\}</math>，在有限连通图上使不稳定的非吸收顶点崩塌，直到没有剩下稳定的非汇顶点，这将导致唯一的“稳定”构型<math>z^\circ</math>，这就是<math>z</math>的“稳定化”。给定两个稳定构型<math>z</math>和<math>w</math>，我们可以定义运算<math>z*w \to (z+w)^\circ</math>，对应于沙粒在各个顶点加起来后得到的稳定沙堆。
 给定一个任意但固定的非吸收顶点的顺序，进行多个崩塌操作，可以通过使用拉普拉斯矩阵<math>\Delta=D-A</math>高效地编码不稳定构型的稳定过程中的多个崩塌操作，其中<math>D</math>是图的度矩阵，<math>A</math>是图的[[邻接矩阵]]。

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−	在<math></math>运算下，常返构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群，即<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括吸收顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和常返）在<math></math>.运算下形成'''<font color="#ff8000"> 交换幺半群Commutative monoid</font>'''。这个幺半群的最小理想同构于常返构型群。~~<font color="#ff8000">The minimal [[Semigroup#Subsemigroups and ideals\|ideal]] of this monoid is then isomorphic to the group of recurrent configurations.</font>~~	+	在<math></math>运算下，常返构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群，即<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括吸收顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和常返）在<math></math>.运算下形成'''<font color="#ff8000"> 交换幺半群Commutative monoid</font>'''。这个幺半群的最小理想同构于常返构型群。
−
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	由常返构型形成的群，以及与之同构的群<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，通常被称为'''<font color="#ff8000"> 沙堆群Sandpile group</font>'''。同样的群也常被称作为“临界群”、“Jacobian群”或（比较不常见的）“Picard群”。		由常返构型形成的群，以及与之同构的群<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，通常被称为'''<font color="#ff8000"> 沙堆群Sandpile group</font>'''。同样的群也常被称作为“临界群”、“Jacobian群”或（比较不常见的）“Picard群”。

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	这可以如下形式化的描述。如果一个序列只崩塌了不稳定的顶点而达到了稳定构型，则称其为“合法的”，沙堆稳定化的标准方法是找到一个最大的合法崩塌序列，也就是说，让崩塌序列尽可能地长。这种序列具有明显的稳定性，沙堆的可交换性质是所有这些置换后的序列都是等价的，也就是说，对于任何顶点<math>v</math>，在所有合法的稳定序列中<math>v</math>的崩塌次数都是不变的。根据最小作用原理，最小稳定序列等价于合法的（且稳定的）崩塌序列的置换。特别地，由最小稳定序列产生的构型与由最大合法序列产生的构型是相同的。		这可以如下形式化的描述。如果一个序列只崩塌了不稳定的顶点而达到了稳定构型，则称其为“合法的”，沙堆稳定化的标准方法是找到一个最大的合法崩塌序列，也就是说，让崩塌序列尽可能地长。这种序列具有明显的稳定性，沙堆的可交换性质是所有这些置换后的序列都是等价的，也就是说，对于任何顶点<math>v</math>，在所有合法的稳定序列中<math>v</math>的崩塌次数都是不变的。根据最小作用原理，最小稳定序列等价于合法的（且稳定的）崩塌序列的置换。特别地，由最小稳定序列产生的构型与由最大合法序列产生的构型是相同的。

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−	More formally, if <math>\mathbf{u}</math> is a vector such that <math>\mathbf{u}(v)</math> is the number of times the vertex <math>v</math> topples during the stabilization (via the toppling of unstable vertices) of a chip configuration <math>z</math>, and <math>\mathbf{n}</math> is an integral vector (not necessarily non-negative) such that <math>z-\mathbf{n}\Delta'</math> is stable, then <math>\mathbf{u}(v) \leq \mathbf{n}(v)</math> for all vertices <math>v</math>.

	更形式化地说，如果<math>\mathbf{u}</math>是一个向量， <math>\mathbf{u}（v）</math>是碎片构型<math>z</math>在稳定过程中（通过不稳定顶点的崩塌）顶点<math>v</math>崩塌的次数，		更形式化地说，如果<math>\mathbf{u}</math>是一个向量， <math>\mathbf{u}（v）</math>是碎片构型<math>z</math>在稳定过程中（通过不稳定顶点的崩塌）顶点<math>v</math>崩塌的次数，

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 沙堆群的阶还是<math>\Delta'</math>的行列式，根据矩阵树定理的一般版本，它是以吸收顶点为根的有向生成树的个数。
-===一个扩展沙堆模型===
+===扩展沙堆模型===
 [[File:Harmonic Sandpile Dynamics.gif|thumb|由谐波函数<math>H=x*y</math>在规模为255x255的方格上引起的沙堆动力学。]]
-为了更好地理解不同有限凸网格<math>\Gamma\subset\mathbb{Z}^2</math>的沙堆群的结构，Lang和Shkolnikov在2019年提出了“一个扩展沙堆模型”。<ref name=Lang2019>{{Cite journal|last1=Lang|first1=Moritz|last2=Shkolnikov|first2=Mikhail|date=2019-02-19|title=Harmonic dynamics of the abelian sandpile|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=116|issue=8|pages=2821–2830|doi=10.1073/pnas.1812015116|pmid=30728300|pmc=6386721|issn=0027-8424}}</ref>扩展沙堆模型的定义与“通常的沙堆模型”几乎完全相同（即原始的Bak–Tang–Wiesenfeld模型<ref name="Bak1987" />），除了网格边界<math>\partial\Gamma</math>的顶点现在允许放置非负实数的沙粒。相比之下，网格内部的顶点仍然只允许放置整数个粒子。崩塌规则保持不变，即假设当沙粒数达到或超过4时，内部顶点和边界顶点都变得不稳定并发生崩塌。
+为了更好地理解不同有限凸网格<math>\Gamma\subset\mathbb{Z}^2</math>的沙堆群的结构，Lang和Shkolnikov在2019年提出了“扩展沙堆模型”。<ref name=Lang2019>{{Cite journal|last1=Lang|first1=Moritz|last2=Shkolnikov|first2=Mikhail|date=2019-02-19|title=Harmonic dynamics of the abelian sandpile|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=116|issue=8|pages=2821–2830|doi=10.1073/pnas.1812015116|pmid=30728300|pmc=6386721|issn=0027-8424}}</ref>扩展沙堆模型的定义与“通常的沙堆模型”几乎完全相同（即原始的Bak–Tang–Wiesenfeld模型<ref name="Bak1987" />），除了网格边界<math>\partial\Gamma</math>的顶点现在允许放置非负实数的沙粒。相比之下，网格内部的顶点仍然只允许放置整数个粒子。崩塌规则保持不变，即假设当沙粒数达到或超过4时，内部顶点和边界顶点都变得不稳定并发生崩塌。

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   | year = 1987
   | title = Self-organized criticality: an explanation of 1/''&fnof;'' noise
-  | journal = [[Physical Review Letters]]
+  | journal = Physical Review Letters
   | volume = 59
   | issue = 4

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−	对于二维情况，沙堆模型被假设认为可以对应到中心电荷为''c'' = −2的'''辛费米子 symplectic fermion'''构成的共行场理论。<ref>{{cite journal \|author=S. Moghimi-Araghi \|author2=M. A. Rajabpour \|author3=S. Rouhani \|title=Abelian Sandpile Model: a Conformal Field Theory Point of View \|arxiv=cond-mat/0410434 \|year=2004 \|doi=10.1016/j.nuclphysb.2005.04.002 \|volume=718\|issue=3\|journal=Nuclear Physics B\|pages=362–370\|bibcode = 2005NuPhB.718..362M ~~\|s2cid=16233977~~ }}</ref>	+	对于二维情况，沙堆模型被假设认为可以对应到中心电荷为''c'' = −2的'''辛费米子 symplectic fermion'''构成的共行场理论。<ref>{{cite journal \|author=S. Moghimi-Araghi \|author2=M. A. Rajabpour \|author3=S. Rouhani \|title=Abelian Sandpile Model: a Conformal Field Theory Point of View \|arxiv=cond-mat/0410434 \|year=2004 \|doi=10.1016/j.nuclphysb.2005.04.002 \|volume=718\|issue=3\|journal=Nuclear Physics B\|pages=362–370\|bibcode = 2005NuPhB.718..362M }}</ref>

	==属性/性质==		==属性/性质==

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 | doi=10.1007/s10955-009-9899-6
 | title=Growth Rates and Explosions in Sandpiles
-| pages=143–159|arxiv = 0901.3805 |bibcode = 2010JSP...138..143F |s2cid=7180488}}</ref>
+| pages=143–159|arxiv = 0901.3805 |bibcode = 2010JSP...138..143F}}</ref>
@@ 第150行： / 第150行： @@
 <math>\mathbf{n}</math>是一个积分向量（不一定是非负的），使得<math>z-\mathbf{n}\Delta'</math>是稳定的，那么对于所有顶点<math>v</math>，有<math>\mathbf{u}(v) \leq \mathbf{n}(v)</math>。
 ===缩放极限（标度极限）===

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 动画显示了在不同的<math>N\times N，N\geq 1</math>网格上的沙堆群一个实例的常返构型，随着<math>N</math>增加的情况。将构型标度变换到同样的物理尺寸。看起来，更多的网格会表现得更加精细，并逐步“收敛到一个连续的图像”。从数学上讲，这是因为基于弱收敛的概念（或其他一些广义的收敛概念），方格上的沙堆模型在缩放极限。事实上，Wesley-Pegden和Charles-Smart已经证明了常返沙堆构型存在缩放极限<ref name=Pegden2016>{{cite arxiv |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Stability of patterns in the Abelian sandpile.|eprint=1708.09432 | date=2017  | ref=Pegden2017|class=math.AP }}</ref>
-<ref name=Pegden2013>{{cite journal |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Convergence of the Abelian sandpile |journal=Duke Mathematical Journal |date=2013 |volume=162 |issue=4 |pages=627–642 |doi=10.1215/00127094-2079677 |ref=Pegden2013|arxiv=1105.0111 |s2cid=13027232 }}</ref>。在与Lionel Levine的进一步合作中，他们使用缩放极限来解释了方格上沙堆的分形结构。<ref name=Levine2016>{{cite journal |last1=Levine |first1=Lionel |last2=Pegden |first2=Wesley |title=Apollonian structure in the Abelian sandpile |journal=Geometric and Functional Analysis |date=2016 |volume=26 |issue=1 |pages=306–336 |doi=10.1007/s00039-016-0358-7 |ref=Levine2016|hdl=1721.1/106972 }}</ref>
+<ref name=Pegden2013>{{cite journal |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Convergence of the Abelian sandpile |journal=Duke Mathematical Journal |date=2013 |volume=162 |issue=4 |pages=627–642 |doi=10.1215/00127094-2079677 |ref=Pegden2013|arxiv=1105.0111 }}</ref>。在与Lionel Levine的进一步合作中，他们使用缩放极限来解释了方格上沙堆的分形结构。<ref name=Levine2016>{{cite journal |last1=Levine |first1=Lionel |last2=Pegden |first2=Wesley |title=Apollonian structure in the Abelian sandpile |journal=Geometric and Functional Analysis |date=2016 |volume=26 |issue=1 |pages=306–336 |doi=10.1007/s00039-016-0358-7 |ref=Levine2016|hdl=1721.1/106972 }}</ref>
 == 推广与相关模型==

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−	一个常见的例子是，初始时候只在原点放置大量沙粒，逐步崩塌后会形成分形图案(见图)~~。当初始沙粒数趋于无穷时，标度变换的稳定构型会收敛到唯一极限。~~<ref name="Pegden2013" /><ref name="Levine2016" />	+	一个常见的例子是，初始时候只在原点放置大量沙粒，逐步崩塌后会形成分形图案(见图)。当初始沙粒数趋于无穷时，缩放变换的稳定构型会收敛到唯一极限。<ref name="Pegden2013" /><ref name="Levine2016" />

	===有向图上的沙堆模型===		===有向图上的沙堆模型===