流网络的异速标度律 - 版本历史

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定义1

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综合

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树

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Banavar的最优网络模型

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流网络的鲁棒性

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两种定义的等价性

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两种定义的等价性

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@@ 第161行： / 第161行： @@
 |{{EquationRef|eq1}}}}
- C<sub>i</sub>也可以按照下式来计算，（例如文献<ref name="scalingbehavior"/>中就是这样计算的）：
- <math>
+C<sub>i</sub>也可以按照下式来计算，（例如文献<ref name="scalingbehavior"/>中就是这样计算的）：
   C_i=(\sum_{k=1}^{N}f_{0,k}\frac{u_{ki}}{u_{i,i}})\sum_{j=1}^Nu_{ij}
   </math>
- 上述两种计算方法相等是因为<math>MU=U-I</math>，所以<math>\sum_{k=0}^{N+1}m_{0,k}u_{k,i}=u_{0,i}</math>，于是就有
+上述两种计算方法相等是因为<math>MU=U-I</math>，所以<math>\sum_{k=0}^{N+1}m_{0,k}u_{k,i}=u_{0,i}</math>，于是就有
- <math>T_0u_{0,i}=\sum_{k=1}^{N}f_{0,k}u_{ki}</math>，于是上述两种计算C<sub>i</sub>的方法相等。
+<math>T_0u_{0,i}=\sum_{k=1}^{N}f_{0,k}u_{ki}</math>，于是上述两种计算C<sub>i</sub>的方法相等。
 =====定义2=====

@@ 第48行： / 第48行： @@
 上图展示了从左图原始网络通过断边的方式得到右侧的生成树的过程。并且对于右侧的生成树计算A<sub>i</sub>和C<sub>i</sub>的数值标在了右图上。其中圆圈里的数值为该节点的A<sub>i</sub>，而圆圈旁边的数值为C<sub>i</sub>。显然一个网络可以得到很多种不同的生成树，于是Garlaschelli不得不对所有原始网络的生成树来做平均。Garlaschelli通过分析大量的食物网，发现A<sub>i</sub>和C<sub>i</sub>存在着普适的幂律关系，并且幂指数都是1.13左右，如下图：
-[[文件:Garlaschelli.png|左|无框|313x313px]]
+[[文件:Garlaschelli.png|左|无框|313x313px|链接=Special:FilePath/Garlaschelli.png]]
@@ 第100行： / 第100行： @@
 同理，我们也可以从另一个角度理解C<sub>i</sub>，假如所有流经i节点的粒子都被染成红色，那么C<sub>i</sub>刚好就是存在于整个网络上的红色粒子数<ref name="scalingbehavior">{{cite journal|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Liangpeng|last2=Guo|title=Scaling Behaviors of Weighted Food Webs as Transportation Networks|journal=Theoretical Biology|volume=264|page=760-770|year=2010}}</ref>。对于Banavar最优网络，这部分红色粒子恰好分布在以i为根的子树上了。如下图所示：
-[[文件:Banavar最优网络.png|无框|446x446像素]]
+[[文件:Banavar最优网络.png|无框|446x446像素|链接=Special:FilePath/Banavar最优网络.png]]
 左图是一个示例的树结构，右图是计算A<sub>i</sub>和C<sub>i</sub>所隐含的流网络前提，其中A<sub>i</sub>是通过节点i的流量，C<sub>i</sub>是子树上的总流量，也就是所有红色粒子总数。
@@ 第107行： / 第107行： @@
 例如对于下图左边的一般网络来说：
-[[文件:Image4.png|左|无框|444x444像素]]
+[[文件:Image4.png|左|无框|444x444像素|链接=Special:FilePath/Image4.png]]
@@ 第317行： / 第317行： @@
-[[文件:21个生态流网络的异速标度律.png|无框|543x543像素]]
+[[文件:21个生态流网络的异速标度律.png|无框|543x543像素|链接=Special:FilePath/21个生态流网络的异速标度律.png]]
@@ 第325行： / 第325行： @@
-[[File:Ecologicalnetworkallometry21.png|400px]]
+[[File:Ecologicalnetworkallometry21.png|400px|链接=Special:FilePath/Ecologicalnetworkallometry21.png]]
 我们看到，几乎所有的生态流网络遵循异速标度律的情况都比较好，而且幂指数η很接近于1，同时比1大一点点。但也有少数的网络幂指数小于1或大于1。我们说生态流网络几乎都是中性的。
@@ 第345行： / 第345行： @@
-[[文件:Power-generating equipment.png|无框|575x575像素]]
+[[文件:Power-generating equipment.png|无框|575x575像素|链接=Special:FilePath/Power-generating_equipment.png]]
@@ 第353行： / 第353行： @@
-[[文件:贸易网.png|无框|517x517像素]]
+[[文件:贸易网.png|无框|517x517像素|链接=Special:FilePath/贸易网.png]]
@@ 第365行： / 第365行： @@
-[[文件:贸易网络.png|无框|570x570像素]]
+[[文件:贸易网络.png|无框|570x570像素|链接=Special:FilePath/贸易网络.png]]
@@ 第374行： / 第374行： @@
 进一步，文章作者对将近800种商品子网络计算了η，得到了下面的统计图：
-[[File:Tradenetworketadistribution.png|492x492px]]
+[[File:Tradenetworketadistribution.png|492x492px|链接=Special:FilePath/Tradenetworketadistribution.png]]
 该图的横坐标是η数值，纵坐标是该数值在这800个商品网络中出现的频率。通过这张图，我们能看出大部分商品的η值集中在1.09附近，也就是说这些产品的贸易网络大体上是中心化的。
@@ 第395行： / 第395行： @@
 Table1.UN dataset 中SITC4编号下商品指数η（排序后）
-[[File:Ordered_eta_SITC4.png|400px]]
+[[File:Ordered_eta_SITC4.png|400px|链接=Special:FilePath/Ordered_eta_SITC4.png]]
@@ 第401行： / 第401行： @@
 Table2.OECD dataset 中商品指数η（排序后）
-[[File:500px-Ordered_eta_OECD.png|400px]]
+[[File:500px-Ordered_eta_OECD.png|400px|链接=Special:FilePath/500px-Ordered_eta_OECD.png]]
 =====商品复杂性的一般反映=====
@@ 第446行： / 第446行： @@
 {| class="wikitable"
 |-
-! 网络 !!    η    !! 中心化与否 !! 含义
+! 网络 !! 幂指数η !! 性质 !! 含义
 |-
 | 生态流网络 || ≈1 || 中性的 || 大物种在网络中的控制力与该物种的流量成比例
@@ 第456行： / 第456行： @@
 | 工业产品贸易网 || >1 || 中心化的 || 大国在贸易中的地位远超过了与流量匹配的程度
 |-
-| 农业等基础产品贸易网 || <≈1 || 去中心化的 || 大国的影响力没有达到与流量匹配的程度
+| 农业等基础产品贸易网 || <1 || 去中心化的 || 大国的影响力没有达到与流量匹配的程度
 |}
@@ 第531行： / 第531行： @@
-[[File:Gammaandetaecologicalnetwork.png|521x521px]]
+[[File:Gammaandetaecologicalnetwork.png|521x521px|链接=Special:FilePath/Gammaandetaecologicalnetwork.png]]
 该图展示了19个生态流网络的耗散律指数γ与异速标度律指数η之间的关系，其中蓝色的线为原始数据点，而红色的线是经过算法调整，去除原始数据噪音后的结果。我们看到了两个指数存在着明显的负相关。但是，我们由于有噪声的存在，以及网络的结构的影响，因此，这两个指数的负相关并不严格成立。
@@ 第539行： / 第539行： @@
 接下来，我们来研究国际贸易网的耗散律指数与异速标度指数的负相关。在国际贸易网中，由于我们可以根据不同商品而得到不同的流网络，对于每个子网络都可以计算耗散律指数和异速标度律指数，因此，我们可以把这些子网络所对应的数据点列出来画在坐标系下，如下图所示：
-[[File:gammaandetainternationaltrade.png|712x712px]]
+[[File:gammaandetainternationaltrade.png|712x712px|链接=Special:FilePath/Gammaandetainternationaltrade.png]]
 从该图中可以观察到，耗散律指数与异速标度律指数之间的负相关关系很明显。
@@ 第583行： / 第583行： @@
 下面我们考察实际的生态流网络与网络鲁棒性之间的关系。还是采用上述21个生态流网络，我们将它们的异速标度律指数和鲁棒性的关系画出来如下图：
-[[File:etarobustecological.png|634x634px]]
+[[File:etarobustecological.png|634x634px|链接=Special:FilePath/Etarobustecological.png]]
 我们看到η和r的确存在着负相关，但是这种相关性并不十分显著，这可能是跟因为鲁棒性指标对于网络的结构而非流量的分布更敏感。
@@ 第591行： / 第591行： @@
 下面我们再来考察不同商品构成的贸易流网络的η与鲁棒性r之间的关系：
-[[File:etaandrobustnessinternationaltrade.png|636x636px]]
+[[File:etaandrobustnessinternationaltrade.png|636x636px|链接=Special:FilePath/Etaandrobustnessinternationaltrade.png]]
 对于不同商品的国际贸易网络来说，这种异速标度律指数与鲁棒性r之间的关系从图形上看，似乎更加明显。
@@ 第611行： / 第611行： @@
 ===课程推荐===
-[[文件:Image2.png|缩略图|367x367px|[https://campus.swarma.org/course/3533 复杂网络的数学建模与应用 | 网络科学第三期]|链接=https://wiki.swarma.org/index.php%3Ftitle=%E6%96%87%E4%BB%B6:Image2.png]][https://campus.swarma.org/course/3533 复杂网络的数学建模与应用 | 网络科学第三期]
+[[文件:Image2.png|缩略图|367x367px|<nowiki> 网络科学第三期]</nowiki>|链接=https://wiki.swarma.org/index.php%3Ftitle=%E6%96%87%E4%BB%B6:Image2.png]][https://campus.swarma.org/course/3533 复杂网络的数学建模与应用 | 网络科学第三期]
 本期课程顺应国内外网络科学研究的发展趋势，从基础、应用、Plus进阶、代码实践模块，多角度介绍更复杂更贴近现实的网络模型和结构以及高阶相互作用动力学。

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 ===集智文章推荐===
-[https://mp.weixin.qq.com/s/SoQ7i85v9BJGcgMLgxIqMg Flownetwork：流网络的开源Python包]
+* [https://mp.weixin.qq.com/s/SoQ7i85v9BJGcgMLgxIqMg Flownetwork：流网络的开源Python包]
 [[category:流网络]][[category:复杂网络]]
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@@ 第571行： / 第571行： @@
 ====树====
-为了看清楚网络的异速标度律与鲁棒性的关系，我们还是先看一种非常简单的网络：树。首先，我们按照文献<ref name="trees">{{cite journal|title=A simple explanation for universal scaling rela-
+为了看清楚网络的异速标度律与鲁棒性的关系，我们还是先看一种非常简单的网络：树。首先，我们按照文献<ref name="trees">{{cite journal|title=A simple explanation for universal scaling relations in food webs|first1=F.|last1=Frank|first2=D.|last2=Murrell|journal=Ecology|year=2005|volume=86|page=325-3263}}</ref>中的模型，通过调整参数β和θ，生成了各种形状的树。然后我们计算这些树的异速标度律指数与网络的鲁棒性之间的关系，得到下图：
 [[File:etaandrobustnesstrees.png|454x454px]]
 我们可以清楚地看出异速标度律指数η与鲁棒性之间的负相关。其中红色拟合直线的斜率为-7.26。
 ====生态流网络====

@@ 第17行： / 第17行： @@
 </math>
-为了解释这一现象，物理学家Banavar提出了一个模型（参见[[Banavar模型]]）<ref name="banavar">{{cite journal|title= Size and form in efficient transportation networks|journal=Nature|volume=399|page=130-132|first=J.|last=Banavar|first1=A.|last1=Maritan|first2=A.|last2=Rinaldo|year=1932}}</ref>，该模型假设生物体内普遍存在着空间填充的营养物质输运网络，这种网络经过漫长的进化过程，最终形成了一种最优化的结构：一棵最优化运输能力的树，树中的每个节点都有1单位耗散流，每个点的流量等于子树中节点的总个数。假设这个树的新陈代谢总流为F，树上所有边的总流量加和为M，那么就有如下异速标度律关系：
+为了解释这一现象，物理学家Banavar提出了一个模型（参见[[Banavar模型]]）<ref name="banavar">{{cite journal|title= Size and form in efficient transportation networks|journal=Nature|volume=399|page=130-132|first1=J.|last1=Banavar|first2=A.|last2=Maritan|first3=A.|last3=Rinaldo|year=1932}}</ref>，该模型假设生物体内普遍存在着空间填充的营养物质输运网络，这种网络经过漫长的进化过程，最终形成了一种最优化的结构：一棵最优化运输能力的树，树中的每个节点都有1单位耗散流，每个点的流量等于子树中节点的总个数。假设这个树的新陈代谢总流为F，树上所有边的总流量加和为M，那么就有如下异速标度律关系：
 <math>
@@ 第36行： / 第36行： @@
 对于2维的Banavar最优树来说，η为1.2945。注意，由于Banavar最优树模型每个节点的耗散流量刚好是1，所以A<sub>i</sub>又等于子树上的节点的个数，而C<sub>i</sub>则是子树上所有节点对应的A<sub>i</sub>的总和，这与[[树的异速标度律]]刚好一致。
 ===Garlaschelli的扩充===

@@ 第559行： / 第559行： @@
 具体地，我们采用如下算法来计算流网络的鲁棒性：
 、输入流量网络F，以及对应的马尔科夫链M，将所有节点（不包括源和汇）按照它们的流量大小T<sub>i</sub>进行从大到小排序构成列表L；
 、从流网络F中删除L中的前i个节点，具体做法是：
-.1. 将M中每个删除节点所对应的列都设置为0，得到M'
+:2.1. 将M中每个删除节点所对应的列都设置为0，得到M'
-.2  根据方程T'M'+S'=T'，得到新的各个节点的流量分布：T'。其中S'为源到除去删除节点以外各个节点的流量。
+:2.2  根据方程T'M'+S'=T'，得到新的各个节点的流量分布：T'。其中S'为源到除去删除节点以外各个节点的流量。
-.3  计算整个网络总流量减少的百分比Δ=(ΣT-ΣT')/ΣT
+:2.3  计算整个网络总流量减少的百分比Δ=(ΣT-ΣT')/ΣT
 、如果Δ大于给定的阈值（如0.1），则回到2，继续删除节点
 、否则计算出已删除节点的比例r，则r就是流网络的鲁棒性。
 ====树====
@@ 第591行： / 第591行： @@
 对于不同商品的国际贸易网络来说，这种异速标度律指数与鲁棒性r之间的关系从图形上看，似乎更加明显。
 ==参考文献==

@@ 第247行： / 第247行： @@
 下面，我们来证明定理：
- '''证明'''：设<math>S=(f_{0,1},f_{0,2},\cdot\cdot\cdot,f_{0,N})</math>，<math>T=(T_1,T_2,\cdot\cdot\cdot,T_N)</math>为流网络达到稳态时各个节点流量T<sub>i</sub>的分布向量，则根据流平衡有：
+:'''证明'''：设<math>S=(f_{0,1},f_{0,2},\cdot\cdot\cdot,f_{0,N})</math>，<math>T=(T_1,T_2,\cdot\cdot\cdot,T_N)</math>为流网络达到稳态时各个节点流量T<sub>i</sub>的分布向量，则根据流平衡有：
 :<math>TM+S=T</math>
 也就是，每个节点的流等于从其它节点转移过来的入流加上从源转移过来的入流，

@@ 第217行： / 第217行： @@
 虽然上面给出了两种关于C<sub>i</sub>的定义，但是我们可以证明它们是彼此等价的，也就是说这两种方法计算出的C<sub>i</sub>严格相等。我们观察算式{{EquationNote|eq1}}和{{EquationNote|eq2}}就会发现，如果两种算法相等，那么只需要验证如下事实就可以了，即
- 定理： <math>T_0 \frac{u_{0i}}{u_{ii}}u_{ij}=T_{j}-T'_{j}</math>对所有的j不等于0和N+1的节点都成立就可以了。
+:定理： <math>T_0 \frac{u_{0i}}{u_{ii}}u_{ij}=T_{j}-T'_{j}</math>对所有的j不等于0和N+1的节点都成立就可以了。
 下面给出该定理严格的数学证明：
- 首先，我们来证明一个引理：
+:首先，我们来证明一个引理：
- '''引理'''：<math>(U_{-i})_{ij}=\frac{u_{ij}}{u_{ii}}</math>，其中，<math>U_{-i}=(I-M_{-i})^{-1}</math>，<math>M_{-i}=M-\Delta M</math>
+'''引理'''：<math>(U_{-i})_{ij}=\frac{u_{ij}}{u_{ii}}</math>，其中，<math>U_{-i}=(I-M_{-i})^{-1}</math>，<math>M_{-i}=M-\Delta M</math>
- '''证明'''：
+'''证明'''：
- 因为：
+因为：
- <math>U=(I-M)^{-1},
+:<math>U=(I-M)^{-1},
   U_{-i}=(I-M_{-i})^{-1}
   </math>，
- 所以<math>U(I-M)=I=U_{-i}(I-M_{-i})</math>，再根据<math>M_{-i}=M-\Delta M</math>，这样就有：
+所以<math>U(I-M)=I=U_{-i}(I-M_{-i})</math>，再根据<math>M_{-i}=M-\Delta M</math>，这样就有：
- <math>U-U_{-i}=U\Delta M U_{-i}</math>
+:<math>U-U_{-i}=U\Delta M U_{-i}</math>
- 考虑第i行第j列的元素，也就是：
+考虑第i行第j列的元素，也就是：
- <math>
+:<math>
   u_{ij}-(U_{-i})_{ij}=(U_{-i})_{ij}\sum_{k=1}^{N}u_{ik}m_{ki}
   </math>
- 又因为：<math>UM=U-I</math>，所以：
+又因为：<math>UM=U-I</math>，所以：
- <math>
+:<math>
   \sum_{k=1}^Nu_{ik}m_{ki}=u_{ii}-1
   </math>
- 于是：
+于是：
- <math>
+:<math>
   u_{ij}-(U_{-i})_{ij}=(U_{-i})_{ij}(u_{ii}-1)
   </math>
- 所以：
+所以：
- <math>(U_{-i})_{ij}=\frac{u_{ij}}{u_{ii}}</math>，
+:<math>(U_{-i})_{ij}=\frac{u_{ij}}{u_{ii}}</math>，
- 这样，引理得证。
+这样，引理得证。
 下面，我们来证明定理：
   '''证明'''：设<math>S=(f_{0,1},f_{0,2},\cdot\cdot\cdot,f_{0,N})</math>，<math>T=(T_1,T_2,\cdot\cdot\cdot,T_N)</math>为流网络达到稳态时各个节点流量T<sub>i</sub>的分布向量，则根据流平衡有：
- <math>TM+S=T</math>
+:<math>TM+S=T</math>
- 也就是，每个节点的流等于从其它节点转移过来的入流加上从源转移过来的入流，
+也就是，每个节点的流等于从其它节点转移过来的入流加上从源转移过来的入流，
- 同样的道理，对于删除i节点后的马尔科夫矩阵，
+同样的道理，对于删除i节点后的马尔科夫矩阵，
- <math>T'M_{-i}+S'=T'</math>，
+:<math>T'M_{-i}+S'=T'</math>，
- 于是，将两式相减：
+于是，将两式相减：
- <math>
+:<math>
   TM-T'M_{-i}+S-S'=T-T'
   </math>
- 而我们知道<math>M_{-i}=M-\Delta M</math>，所以：
+而我们知道<math>M_{-i}=M-\Delta M</math>，所以：
- <math>T-T'=T(M_{-i}+\Delta M)-T'M_{-i}+S-S'</math>
+:<math>T-T'=T(M_{-i}+\Delta M)-T'M_{-i}+S-S'</math>
- 于是，可以得到：
+于是，可以得到：
- <math>T-T'=(T\Delta M +S-S')\cdot (I-M_{-i})^{-1}=T_i((U_{-i})_{i,1},(U_{-i})_{i,2},\cdot\cdot\cdot,(U_{-i})_{i,N})</math>
+:<math>T-T'=(T\Delta M +S-S')\cdot (I-M_{-i})^{-1}=T_i((U_{-i})_{i,1},(U_{-i})_{i,2},\cdot\cdot\cdot,(U_{-i})_{i,N})</math>
- 于是，该向量的第j个元素：
+于是，该向量的第j个元素：
- <math>(T-T')_j=(T_i((U_{-i})_{i,1},(U_{-i})_{i,2},\cdot\cdot\cdot,(U_{-i})_{i,N}))_j=T_i(U_{-i})_{ij}</math>
+:<math>(T-T')_j=(T_i((U_{-i})_{i,1},(U_{-i})_{i,2},\cdot\cdot\cdot,(U_{-i})_{i,N}))_j=T_i(U_{-i})_{ij}</math>
- 又由于i节点的流量i又等于从源到i的总流量（参见[[基于马尔科夫链的流网络分析]]）。
+又由于i节点的流量i又等于从源到i的总流量（参见[[基于马尔科夫链的流网络分析]]）。
- 于是，T<sub>i</sub>又可以写作：
+于是，T<sub>i</sub>又可以写作：
- <math>
+:<math>
   T_i=\phi_{0,i}u_{ii}
   </math>
- 而又根据引理，<math>(U_{-i})_{ij}=\frac{u_{ij}}{u_{ii}}</math>
+而又根据引理，<math>(U_{-i})_{ij}=\frac{u_{ij}}{u_{ii}}</math>
- 所以，
+所以，
- <math>
+:<math>
   (T-T')_j=\phi_{0,i}u_{ii}(U_{-1})_{ij}=\phi_{0,i}u_{ij}
   </math>
- 根据[[基于马尔可夫链的流网络分析]]，将首达流公式代入，就得到：
+根据[[基于马尔可夫链的流网络分析]]，将首达流公式代入，就得到：
- <math>
+:<math>
   (T-T')_j=T_0\frac{u_{0i}}{u_{ii}}u_{ij}
   </math>
- 于是，证明了定理所述等式成立。
+于是，证明了定理所述等式成立。
- 事实上，有一种更加简单的方法能得到证明：
+事实上，有一种更加简单的方法能得到证明：
- 因为<math>SU=T</math>，于是有<math>\delta T_j = U_{ji}\delta S_i</math>,   <math>\delta T_i = u_{ii}\delta S_i</math>
+因为<math>SU=T</math>，于是有<math>\delta T_j = U_{ji}\delta S_i</math>,   <math>\delta T_i = u_{ii}\delta S_i</math>
- 得到<math>\delta T_j = u_{ji}/u_{ii}\delta T_i</math>
+得到<math>\delta T_j = u_{ji}/u_{ii}\delta T_i</math>
- 而去掉点i,相当于<math>\delta T_i = T_i = \sum S_k u_{ki}</math>
+而去掉点i,相当于<math>\delta T_i = T_i = \sum S_k u_{ki}</math>
- 所以<math>\delta T_j = T_i u_{ji}/u_{ii}</math>
+所以<math>\delta T_j = T_i u_{ji}/u_{ii}</math>
- 再将<math>T_i=\phi_{0,i}u_{ii} </math>的表达式代入即可。
+再将<math>T_i=\phi_{0,i}u_{ii} </math>的表达式代入即可。
 ===η的含义===

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 *[[基于马尔科夫链的流网络分析]]
 *[[投入产出分析]]
 [[category:流网络]][[category:复杂网络]]
 [[category:旧词条迁移]]