混沌理论 - 版本历史

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	[[File:Double-compound-pendulum.gif\|thumb\|中等能量的双杆摆表现出混沌行为。从稍微不同的初始条件开始摆动会导致一个完全不同的轨迹。双杆摆是最简单的具有混沌解的动力系统之一]]		[[File:Double-compound-pendulum.gif\|thumb\|中等能量的双杆摆表现出混沌行为。从稍微不同的初始条件开始摆动会导致一个完全不同的轨迹。双杆摆是最简单的具有混沌解的动力系统之一]]

−	'''混沌理论 ~~Chaos theory~~'''是数学的一个分支，主要研究动力系统的混沌状态，其表面无序和不规则的随机状态往往受到对初始条件高度敏感的确定性规律的支配。<ref>{{Cite web\|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#chaos\|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Chaos\|last=\|first=\|date=2019-08-01\|website=Math Vault\|language=en-US\|url-status=live\|archive-url=\|archive-date=\|access-date=2019-11-24}}</ref><ref>{{Cite web\|url=https://www.britannica.com/science/chaos-theory\|title=chaos theory {{!}} Definition & Facts\|website=Encyclopedia Britannica\|language=en\|access-date=2019-11-24}}</ref>混沌理论是一个跨学科的理论，表明，在混沌复杂系统的明显随机性，有潜在的模式，相互联系，不断的反馈循环，重复，自相似，分形和自我组织。<ref name=":1">{{Cite web\|url=https://fractalfoundation.org/resources/what-is-chaos-theory/\|title=What is Chaos Theory? – Fractal Foundation\|language=en-US\|access-date=2019-11-24}}</ref> [[蝴蝶效应]]，一个基本的混沌原理，描述了如何在一个确定性非线性的一个状态的微小变化可以导致大的差异在后来的状态(意味着有对初始条件的敏感依赖)。<ref>{{Cite web\|url=http://mathworld.wolfram.com/Chaos.html\|title=Chaos\|last=Weisstein\|first=Eric W.\|website=mathworld.wolfram.com\|language=en\|access-date=2019-11-24}}</ref>这种行为的一个隐喻是，一只蝴蝶在中国扇动它的翅膀可以引起德克萨斯州的飓风。	+	'''混沌理论（Chaos theory）'''是数学的一个分支，主要研究动力系统的混沌状态，其表面无序和不规则的随机状态往往受到对初始条件高度敏感的确定性规律的支配。<ref>{{Cite web\|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#chaos\|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Chaos\|last=\|first=\|date=2019-08-01\|website=Math Vault\|language=en-US\|url-status=live\|archive-url=\|archive-date=\|access-date=2019-11-24}}</ref><ref>{{Cite web\|url=https://www.britannica.com/science/chaos-theory\|title=chaos theory {{!}} Definition & Facts\|website=Encyclopedia Britannica\|language=en\|access-date=2019-11-24}}</ref>混沌理论是一个跨学科的理论，表明，在混沌复杂系统的明显随机性，有潜在的模式，相互联系，不断的反馈循环，重复，自相似，分形和自我组织。<ref name=":1">{{Cite web\|url=https://fractalfoundation.org/resources/what-is-chaos-theory/\|title=What is Chaos Theory? – Fractal Foundation\|language=en-US\|access-date=2019-11-24}}</ref> [[蝴蝶效应]]，一个基本的混沌原理，描述了如何在一个确定性非线性的一个状态的微小变化可以导致大的差异在后来的状态(意味着有对初始条件的敏感依赖)。<ref>{{Cite web\|url=http://mathworld.wolfram.com/Chaos.html\|title=Chaos\|last=Weisstein\|first=Eric W.\|website=mathworld.wolfram.com\|language=en\|access-date=2019-11-24}}</ref>这种行为的一个隐喻是，一只蝴蝶在中国扇动它的翅膀可以引起德克萨斯州的飓风。

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−	~~同年，詹姆斯•格莱克~~ James Gleick出版了《混沌: 创造新科学 Chaos: Making a New Science》一书，成为畅销书，并向广大公众介绍了混沌理论的一般原理及其历史，但他对苏联的重要贡献重视不够。<ref>{{cite book\|last=Gleick\|first=James\|title=Chaos: Making a New Science\|date=August 26, 2008\|publisher=Penguin Books\|isbn=978-0143113454}}</ref> 混沌理论最初只是少数孤立个体的领域，逐渐成为一门跨学科和制度学科，主要以非线性系统分析的名义出现。许多“混沌论者”(正如一些人自己描述的那样)提到了 Thomas Kuhn 在《科学革命的结构 The Structure of Scientific Revolutions》(1962)提出的范式转换的概念，声称这个新理论就是这种转换的一个例子，这是 Gleick 支持的一个论点。	+	同年，詹姆斯·格莱克 James Gleick出版了《混沌: 创造新科学 Chaos: Making a New Science》一书，成为畅销书，并向广大公众介绍了混沌理论的一般原理及其历史，但他对苏联的重要贡献重视不够。<ref>{{cite book\|last=Gleick\|first=James\|title=Chaos: Making a New Science\|date=August 26, 2008\|publisher=Penguin Books\|isbn=978-0143113454}}</ref> 混沌理论最初只是少数孤立个体的领域，逐渐成为一门跨学科和制度学科，主要以非线性系统分析的名义出现。许多“混沌论者”(正如一些人自己描述的那样)提到了 Thomas Kuhn 在《科学革命的结构 The Structure of Scientific Revolutions》(1962)提出的范式转换的概念，声称这个新理论就是这种转换的一个例子，这是 Gleick 支持的一个论点。

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-有时被称为 Jerk 等式。证明了 Jerk 方程等价于三个一阶非线性常微分方程组，在某种意义上是表现混沌行为的解的最小设定。这激发了人们对挺举系统的数学兴趣。含有四阶或更高阶导数的系统称为相应的超挺举系统。<ref>K. E. Chlouverakis and J. C. Sprott, Chaos Solitons & Fractals 28, 739–746 (2005), Chaotic Hyperjerk Systems, http://sprott.physics.wisc.edu/pubs/paper297.htm</ref>
+有时被称为 就jerk 等式。证明了 jerk 方程等价于三个一阶非线性常微分方程组，在某种意义上是表现混沌行为的解的最小设定。这激发了人们对挺举系统的数学兴趣。含有四阶或更高阶导数的系统称为相应的超挺举系统。<ref>K. E. Chlouverakis and J. C. Sprott, Chaos Solitons & Fractals 28, 739–746 (2005), Chaotic Hyperjerk Systems, http://sprott.physics.wisc.edu/pubs/paper297.htm</ref>
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-年12月，纽约科学院组织了第一次关于混沌的研讨会，出席的有大卫·鲁尔 David Ruelle、[[罗伯特·梅 Robert May]]、詹姆斯·a·约克 James A. Yorke(数学中“混沌”一词的创始人)、罗伯特·肖 Robert Shaw和气象学家爱德华·洛伦兹 Edward Lorenz。第二年 Pierre Coullet 和 Charles Tresser 发表了《迭代与重整化群体 Iterations d'endomorphismes et groupe de renormalisation》 ，米切尔·费根鲍姆 Mitchell Feigenbaum的文章《一类非线性变换的定量普遍性 Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations》最终发表在一本杂志上，经过三年的裁判拒绝。<ref name="Feigenbaum 25–52"/><ref>Coullet, Pierre, and Charles Tresser. "Iterations d'endomorphismes et groupe de renormalisation." Le Journal de Physique Colloques 39.C5 (1978): C5-25</ref> 因此 Feigenbaum (1975)和 Coullet & Tresser (1978)发现了混沌中的普遍性，允许混沌理论应用于许多不同的现象。
+年12月，纽约科学院组织了第一次关于混沌的研讨会，出席的有大卫·鲁尔 David Ruelle、[[罗伯特·梅 Robert May]]、詹姆斯·A·约克 James A. Yorke(数学中“混沌”一词的创始人)、罗伯特·肖 Robert Shaw和气象学家爱德华·洛伦兹 Edward Lorenz。第二年 Pierre Coullet 和 Charles Tresser 发表了《迭代与重整化群体 Iterations d'endomorphismes et groupe de renormalisation》 ，米切尔·费根鲍姆 Mitchell Feigenbaum的文章《一类非线性变换的定量普遍性 Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations》最终发表在一本杂志上，经过三年的裁判拒绝。<ref name="Feigenbaum 25–52"/><ref>Coullet, Pierre, and Charles Tresser. "Iterations d'endomorphismes et groupe de renormalisation." Le Journal de Physique Colloques 39.C5 (1978): C5-25</ref> 因此 Feigenbaum (1975)和 Coullet & Tresser (1978)发现了混沌中的普遍性，允许混沌理论应用于许多不同的现象。
-年，Albert j. Libchaber 在皮埃尔·奥昂贝格 Pierre Hohenberg在阿斯彭组织的一次研讨会上，提出了他对瑞利-贝纳德对流系统 Rayleigh–Bénard convection中导致混沌和湍流的分岔理论级联的实验观察。1986年，由于他们令人鼓舞的成就，他和Mitchell Feigenbaum一起被授予沃尔夫物理学奖。
+年，Albert J. Libchaber 在皮埃尔·奥昂贝格 Pierre Hohenberg在阿斯彭组织的一次研讨会上，提出了他对瑞利-贝纳德对流系统 Rayleigh–Bénard convection中导致混沌和湍流的分岔理论级联的实验观察。1986年，由于他们令人鼓舞的成就，他和Mitchell Feigenbaum一起被授予沃尔夫物理学奖。

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 [[File:Logistic Map Bifurcation Diagram, Matplotlib.svg.png|thumb|right|分岔图的的逻辑映射<span style="white-space: nowrap;">''x'' → ''r'' ''x'' (1 – ''x'').</span>每个垂直切片显示一个特定值 ''r''的吸引子。 该图显示了随着 ''r''的增加周期翻倍，最终产生混沌。]]
-离散混沌系统，如 logistic 映射，无论其维数如何，都可以表现出奇怪的吸引子。具有抛物线最大值和[[费根鲍姆常数 Feigenbaum constants]]<math>\delta=4.664201...</math>,<math>\alpha=2.502907...</math> <ref>[http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976]</ref><ref name="Feigenbaum 25–52">{{cite journal |first=Mitchell |last=Feigenbaum |title=Quantitative universality for a class of nonlinear transformations |journal=Journal of Statistical Physics |volume=19 |issue=1 |pages=25–52 |date=July 1978 |doi=10.1007/BF01020332 |bibcode=1978JSP....19...25F|citeseerx=10.1.1.418.9339 }}</ref>的一维映射的普适性是显而易见的,将映射作为离散激光动力学的玩具模型提出::<math> x \rightarrow G x (1 - \mathrm{tanh} (x))</math>,其中，<math>x</math>代表电场幅度 <math>G</math> <ref name="Okulov, A Yu 1986">{{cite journal |title=Space–temporal behavior of a light pulse propagating in a nonlinear nondispersive medium|journal=J. Opt. Soc. Am. B |volume=3 |issue=5 |pages=741–746 |year=1986 |last1= Okulov |first1=A Yu |last2=Oraevskiĭ |first2=A N  |doi=10.1364/JOSAB.3.000741|bibcode=1986OSAJB...3..741O}}</ref>为激光增益分岔参数。<math>G</math>在区间<math>[0, \infty)</math>的逐渐增加使动力学从正规变成了混沌，<ref name="Okulov, A Yu 1986"></ref><ref name="Okulov, A Yu 1984">{{cite journal |doi=10.1070/QE1984v014n09ABEH006171
+离散混沌系统，如 logistic 映射，无论其维数如何，都可以表现为奇异吸引子。具有抛物线最大值和[[费根鲍姆常数 Feigenbaum constants]]<math>\delta=4.664201...</math>,<math>\alpha=2.502907...</math> <ref>[http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976]</ref><ref name="Feigenbaum 25–52">{{cite journal |first=Mitchell |last=Feigenbaum |title=Quantitative universality for a class of nonlinear transformations |journal=Journal of Statistical Physics |volume=19 |issue=1 |pages=25–52 |date=July 1978 |doi=10.1007/BF01020332 |bibcode=1978JSP....19...25F|citeseerx=10.1.1.418.9339 }}</ref>的一维映射的普适性是显而易见的,将映射作为离散激光动力学的玩具模型提出::<math> x \rightarrow G x (1 - \mathrm{tanh} (x))</math>,其中，<math>x</math>代表电场幅度 <math>G</math> <ref name="Okulov, A Yu 1986">{{cite journal |title=Space–temporal behavior of a light pulse propagating in a nonlinear nondispersive medium|journal=J. Opt. Soc. Am. B |volume=3 |issue=5 |pages=741–746 |year=1986 |last1= Okulov |first1=A Yu |last2=Oraevskiĭ |first2=A N  |doi=10.1364/JOSAB.3.000741|bibcode=1986OSAJB...3..741O}}</ref>为激光增益分岔参数。<math>G</math>在区间<math>[0, \infty)</math>的逐渐增加使动力学从正规变成了混沌，<ref name="Okulov, A Yu 1986"></ref><ref name="Okulov, A Yu 1984">{{cite journal |doi=10.1070/QE1984v014n09ABEH006171
 |title=Regular and stochastic self-modulation in a ring laser with nonlinear element
 |journal=Soviet Journal of Quantum Electronics |volume=14 |issue=2 |pages=1235–1237 |year=1984 |last1= Okulov |first1=A Yu |last2=Oraevskiĭ |first2=A N  |bibcode=1984QuEle..14.1235O
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-混沌理论可以应用于自然科学之外的领域，但是从历史上看，几乎所有这类研究都存在缺乏可重复性、外部效度不足和 / 或对交叉验证缺乏关注等问题，从而导致预测准确性差(如果尝试过样本外预测)。格拉斯 Glass<ref>{{cite book | last1 = Glass | first1 = L |editor1-first=C |editor1-last= Grebogi |editor2-first=J. A. | editor2-last=Yorke |title= The impact of chaos on science and society|publisher= United Nations University Press |year=1997 |chapter= Dynamical disease: The impact of nonlinear dynamics and chaos on cardiology and medicine }}</ref>、曼德尔 Mandell和塞尔兹Selz <ref>{{cite book | last1 = Mandell |first1= A. J. | last2 = Selz |first2= K. A. |editor1-first=C |editor1-last= Grebogi |editor2-first=J. A. | editor2-last=Yorke |title= The impact of chaos on science and society|publisher= United Nations University Press |year=1997 |chapter= Is the EEG a strange attractor?  }}</ref>发现，迄今为止，没有任何脑电图研究表明存在奇怪吸引子或其他混沌行为的迹象。
+混沌理论可以应用于自然科学之外的领域，但是从历史上看，几乎所有这类研究都存在缺乏可重复性、外部效度不足和 / 或对交叉验证缺乏关注等问题，从而导致预测准确性差(如果尝试过样本外预测)。格拉斯 Glass<ref>{{cite book | last1 = Glass | first1 = L |editor1-first=C |editor1-last= Grebogi |editor2-first=J. A. | editor2-last=Yorke |title= The impact of chaos on science and society|publisher= United Nations University Press |year=1997 |chapter= Dynamical disease: The impact of nonlinear dynamics and chaos on cardiology and medicine }}</ref>、曼德尔 Mandell和塞尔兹Selz <ref>{{cite book | last1 = Mandell |first1= A. J. | last2 = Selz |first2= K. A. |editor1-first=C |editor1-last= Grebogi |editor2-first=J. A. | editor2-last=Yorke |title= The impact of chaos on science and society|publisher= United Nations University Press |year=1997 |chapter= Is the EEG a strange attractor?  }}</ref>发现，迄今为止，没有任何脑电图研究表明存在奇异吸引子或其他混沌行为的迹象。
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 [[File:复杂性阶梯1.png|400px|right|thumb|[https://campus.swarma.org/course/1112 复杂性思维2020]]]
 ====[https://campus.swarma.org/course/697 非线性动力学与混沌]====
-非线性动力学和混沌理论是系统发展的，从一阶微分方程及其分岔开始，然后是相平面分析，极限环和它们的分岔，最终得到Lorenz方程，混沌，迭代映射，周期倍增，重整化，分形和奇怪吸引。此系列课程包括机械振动，激光，生物节律，超导电路，昆虫爆发，化学振荡器，遗传控制系统，混沌水轮，甚至是使用混沌发送秘密信息的技术。在每种情况下，科学背景都在初级阶段进行解释，并与数学理论紧密结合。
+非线性动力学和混沌理论是系统发展的，从一阶微分方程及其分岔开始，然后是相平面分析，极限环和它们的分岔，最终得到Lorenz方程，混沌，迭代映射，周期倍增，重整化，分形和奇异吸引子。此系列课程包括机械振动，激光，生物节律，超导电路，昆虫爆发，化学振荡器，遗传控制系统，混沌水轮，甚至是使用混沌发送秘密信息的技术。在每种情况下，科学背景都在初级阶段进行解释，并与数学理论紧密结合。

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	[[File:JerkCircuit01.png\|frameless\|upright=1.4\|center]]		[[File:JerkCircuit01.png\|frameless\|upright=1.4\|center]]

−	在上述电路中，除<math>R_A=R/A=5R/3</math>外，所有电阻值相等，所有电容值相等。主频是 <math>1/2\pi R C</math>。运算放大器0的输出对应于~~<math>~~x~~</math>~~变量，1的输出对应于~~<math>~~x~~</math>~~的一阶导数，2的输出对应于二阶导数。	+	在上述电路中，除<math>R_A=R/A=5R/3</math>外，所有电阻值相等，所有电容值相等。主频是 <math>1/2\pi R C</math>。运算放大器0的输出对应于 x 变量，1的输出对应于 x 的一阶导数，2的输出对应于二阶导数。

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−	在上述电路中，除<math>R_A=R/A=5R/3</math>外，所有电阻值相等，所有电容值相等。主频是 <math>1/2\pi R C</math>。运算放大器0的输出对应于 x 变量，1的输出对应于 x 的一阶导数，2的输出对应于二阶导数。	+	在上述电路中，除<math>R_A=R/A=5R/3</math>外，所有电阻值相等，所有电容值相等。主频是 <math>1/2\pi R C</math>。运算放大器0的输出对应于<math>x</math>变量，1的输出对应于<math>x</math>的一阶导数，2的输出对应于二阶导数。

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−	有时被称为 Jerk 等式。证明了 ~~jerk~~ 方程等价于三个一阶非线性常微分方程组，在某种意义上是表现混沌行为的解的最小设定。这激发了人们对挺举系统的数学兴趣。含有四阶或更高阶导数的系统称为相应的超挺举系统。<ref>K. E. Chlouverakis and J. C. Sprott, Chaos Solitons & Fractals 28, 739–746 (2005), Chaotic Hyperjerk Systems, http://sprott.physics.wisc.edu/pubs/paper297.htm</ref>	+	有时被称为 Jerk 等式。证明了 Jerk 方程等价于三个一阶非线性常微分方程组，在某种意义上是表现混沌行为的解的最小设定。这激发了人们对挺举系统的数学兴趣。含有四阶或更高阶导数的系统称为相应的超挺举系统。<ref>K. E. Chlouverakis and J. C. Sprott, Chaos Solitons & Fractals 28, 739–746 (2005), Chaotic Hyperjerk Systems, http://sprott.physics.wisc.edu/pubs/paper297.htm</ref>

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-初始条件中的微小差异，例如数值计算中的舍入误差，可能导致此类动力系统的结果差异很大，使得对其行为的长期预测通常是不可能的。<ref>{{cite book |last = Kellert |first = Stephen H. |title = In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems |url = https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell |url-access = registration |publisher = University of Chicago Press |year = 1993 |isbn = 978-0-226-42976-2 |page = [https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell/page/32 32] |ref = harv }}</ref>即使这些系统是确定性的，这意味着它们未来的行为遵循一个独特的演变<ref name=":2">{{Citation|last=Bishop|first=Robert|title=Chaos|date=2017|url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2017/entries/chaos/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Spring 2017|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2019-11-24}}</ref>，完全由它们的初始条件决定，没有任何随机因素参与。<ref>{{cite book |last = Kellert |first = Stephen H. |title = In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems |url = https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell |url-access = registration |publisher = University of Chicago Press |year = 1993 |isbn = 978-0-226-42976-2 |page = [https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell/page/56 56] |ref = harv }}</ref>换句话说，这些系统的确定性本质并不能使它们具有可预测性。<ref>{{cite book |last = Kellert |first = Stephen H. |title = In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems |url = https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell |url-access = registration |publisher = University of Chicago Press |year = 1993 |isbn = 978-0-226-42976-2 |page = [https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell/page/62 62] |ref = harv }}</ref><ref name="WerndlCharlotte">{{cite journal |author = Werndl, Charlotte |title = What are the New Implications of Chaos for Unpredictability? |journal = The British Journal for the Philosophy of Science |volume = 60 |issue = 1 |pages = 195–220 |year = 2009 |doi = 10.1093/bjps/axn053 |arxiv = 1310.1576 }}</ref>这种行为被称为'''确定性混沌'''，或简单的混沌。[[爱德华·洛伦茨 Edward Lorenz]]将这一理论总结为:<ref>{{cite web |url = http://mpe.dimacs.rutgers.edu/2013/03/17/chaos-in-an-atmosphere-hanging-on-a-wall/ |title = Chaos in an Atmosphere Hanging on a Wall |last1 = Danforth |first1 = Christopher M. |date = April 2013 |work = Mathematics of Planet Earth 2013 |accessdate = 12 June 2018 }}</ref>
+初始条件中的微小差异，例如数值计算中的舍入误差，可能导致此类动力系统的结果差异很大，使得对其行为的长期预测通常是不可能的。<ref>{{cite book |last = Kellert |first = Stephen H. |title = In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems |url = https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell |url-access = registration |publisher = University of Chicago Press |year = 1993 |isbn = 978-0-226-42976-2 |page = [https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell/page/32 32] |ref = harv }}</ref>即使这些系统是确定性的，这意味着它们未来的行为遵循一个独特的演变<ref name=":2">{{Citation|last=Bishop|first=Robert|title=Chaos|date=2017|url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2017/entries/chaos/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Spring 2017|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2019-11-24}}</ref>，完全由它们的初始条件决定，没有任何随机因素参与。<ref>{{cite book |last = Kellert |first = Stephen H. |title = In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems |url = https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell |url-access = registration |publisher = University of Chicago Press |year = 1993 |isbn = 978-0-226-42976-2 |page = [https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell/page/56 56] |ref = harv }}</ref>换句话说，这些系统的确定性本质并不能使它们具有可预测性。<ref>{{cite book |last = Kellert |first = Stephen H. |title = In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems |url = https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell |url-access = registration |publisher = University of Chicago Press |year = 1993 |isbn = 978-0-226-42976-2 |page = [https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell/page/62 62] |ref = harv }}</ref><ref name="WerndlCharlotte">{{cite journal |author = Werndl, Charlotte |title = What are the New Implications of Chaos for Unpredictability? |journal = The British Journal for the Philosophy of Science |volume = 60 |issue = 1 |pages = 195–220 |year = 2009 |doi = 10.1093/bjps/axn053 |arxiv = 1310.1576 }}</ref>这种行为被称为'''确定性混沌'''，或简单的混沌。[[爱德华·洛伦兹 Edward Lorenz]]将这一理论总结为:<ref>{{cite web |url = http://mpe.dimacs.rutgers.edu/2013/03/17/chaos-in-an-atmosphere-hanging-on-a-wall/ |title = Chaos in an Atmosphere Hanging on a Wall |last1 = Danforth |first1 = Christopher M. |date = April 2013 |work = Mathematics of Planet Earth 2013 |accessdate = 12 June 2018 }}</ref>
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 ===混沌系统的最小复杂度 Minimum complexity of a chaotic system===
-[[File:Logistic Map Bifurcation Diagram, Matplotlib.svg.png|thumb|right|分叉图的的逻辑映射<span style="white-space: nowrap;">''x'' → ''r'' ''x'' (1 – ''x'').</span>每个垂直切片显示一个特定值 ''r''的吸引子。 该图显示了随着 ''r''的增加周期翻倍，最终产生混沌。]]
+[[File:Logistic Map Bifurcation Diagram, Matplotlib.svg.png|thumb|right|分岔图的的逻辑映射<span style="white-space: nowrap;">''x'' → ''r'' ''x'' (1 – ''x'').</span>每个垂直切片显示一个特定值 ''r''的吸引子。 该图显示了随着 ''r''的增加周期翻倍，最终产生混沌。]]
 离散混沌系统，如 logistic 映射，无论其维数如何，都可以表现出奇怪的吸引子。具有抛物线最大值和[[费根鲍姆常数 Feigenbaum constants]]<math>\delta=4.664201...</math>,<math>\alpha=2.502907...</math> <ref>[http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976]</ref><ref name="Feigenbaum 25–52">{{cite journal |first=Mitchell |last=Feigenbaum |title=Quantitative universality for a class of nonlinear transformations |journal=Journal of Statistical Physics |volume=19 |issue=1 |pages=25–52 |date=July 1978 |doi=10.1007/BF01020332 |bibcode=1978JSP....19...25F|citeseerx=10.1.1.418.9339 }}</ref>的一维映射的普适性是显而易见的,将映射作为离散激光动力学的玩具模型提出::<math> x \rightarrow G x (1 - \mathrm{tanh} (x))</math>,其中，<math>x</math>代表电场幅度 <math>G</math> <ref name="Okulov, A Yu 1986">{{cite journal |title=Space–temporal behavior of a light pulse propagating in a nonlinear nondispersive medium|journal=J. Opt. Soc. Am. B |volume=3 |issue=5 |pages=741–746 |year=1986 |last1= Okulov |first1=A Yu |last2=Oraevskiĭ |first2=A N  |doi=10.1364/JOSAB.3.000741|bibcode=1986OSAJB...3..741O}}</ref>为激光增益分岔参数。<math>G</math>在区间<math>[0, \infty)</math>的逐渐增加使动力学从正规变成了混沌，<ref name="Okulov, A Yu 1986"></ref><ref name="Okulov, A Yu 1984">{{cite journal |doi=10.1070/QE1984v014n09ABEH006171
 |title=Regular and stochastic self-modulation in a ring laser with nonlinear element
 |journal=Soviet Journal of Quantum Electronics |volume=14 |issue=2 |pages=1235–1237 |year=1984 |last1= Okulov |first1=A Yu |last2=Oraevskiĭ |first2=A N  |bibcode=1984QuEle..14.1235O
-}}</ref>，其定性分支图与逻辑图相同。
+}}</ref>，其定性分岔图与逻辑图相同。
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-爱德华·洛伦茨 Edward Lorenz是这一理论的早期开拓者。他对混沌的兴趣来源于1961年他在天气预报方面的工作。<ref name=Lorenz1961>{{cite journal |author=Lorenz, Edward N. |title=Deterministic non-periodic flow |journal=Journal of the Atmospheric Sciences |volume=20 |pages=130–141 |year=1963 |doi=10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 |issue=2 |bibcode=1963JAtS...20..130L|doi-access=free }}</ref>Lorenz正在使用一台简单的数字计算机，一台 Royal McBee LGP-30运行他的天气模拟。他想再看一次数据序列，为了节省时间，他在模拟过程中间开始了模拟。他通过输入一个打印输出的数据，这些数据对应于原始模拟中的条件。令他惊讶的是，机器开始预测的天气与以前的计算完全不同。Lorenz通过计算机打印出来的资料查到了这一点。计算机以6位数的精度工作，但打印输出的变量四舍五入到一个3位数字，所以像0.506127这样的值打印为0.506。这种差异是微小的，当时的共识是它不应该有任何实际效果。然而，Lorenz发现，初始条件的微小变化会导致长期结果的巨大变化。<ref>{{cite book|title=Chaos: Making a New Science |last=Gleick |first=James |year=1987 |publisher=Cardinal |location=London|page=17|isbn=978-0-434-29554-8}}</ref>Lorenz的发现，这给它的名字洛伦茨吸引子，表明即使详细的大气模型，一般来说，不能作出精确的长期天气预报。
+爱德华·洛伦兹 Edward Lorenz是这一理论的早期开拓者。他对混沌的兴趣来源于1961年他在天气预报方面的工作。<ref name=Lorenz1961>{{cite journal |author=Lorenz, Edward N. |title=Deterministic non-periodic flow |journal=Journal of the Atmospheric Sciences |volume=20 |pages=130–141 |year=1963 |doi=10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 |issue=2 |bibcode=1963JAtS...20..130L|doi-access=free }}</ref>Lorenz正在使用一台简单的数字计算机，一台 Royal McBee LGP-30运行他的天气模拟。他想再看一次数据序列，为了节省时间，他在模拟过程中间开始了模拟。他通过输入一个打印输出的数据，这些数据对应于原始模拟中的条件。令他惊讶的是，机器开始预测的天气与以前的计算完全不同。Lorenz通过计算机打印出来的资料查到了这一点。计算机以6位数的精度工作，但打印输出的变量四舍五入到一个3位数字，所以像0.506127这样的值打印为0.506。这种差异是微小的，当时的共识是它不应该有任何实际效果。然而，Lorenz发现，初始条件的微小变化会导致长期结果的巨大变化。<ref>{{cite book|title=Chaos: Making a New Science |last=Gleick |first=James |year=1987 |publisher=Cardinal |location=London|page=17|isbn=978-0-434-29554-8}}</ref>Lorenz的发现，这给它的名字洛伦兹吸引子，表明即使详细的大气模型，一般来说，不能作出精确的长期天气预报。
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-年12月，纽约科学院组织了第一次关于混沌的研讨会，出席的有大卫·鲁尔 David Ruelle、[[罗伯特·梅 Robert May]]、詹姆斯·a·约克 James A. Yorke(数学中“混沌”一词的创始人)、罗伯特·肖 Robert Shaw和气象学家爱德华·洛伦茨 Edward Lorenz。第二年 Pierre Coullet 和 Charles Tresser 发表了《迭代与重整化群体 Iterations d'endomorphismes et groupe de renormalisation》 ，米切尔·费根鲍姆 Mitchell Feigenbaum的文章《一类非线性变换的定量普遍性 Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations》最终发表在一本杂志上，经过三年的裁判拒绝。<ref name="Feigenbaum 25–52"/><ref>Coullet, Pierre, and Charles Tresser. "Iterations d'endomorphismes et groupe de renormalisation." Le Journal de Physique Colloques 39.C5 (1978): C5-25</ref> 因此 Feigenbaum (1975)和 Coullet & Tresser (1978)发现了混沌中的普遍性，允许混沌理论应用于许多不同的现象。
+年12月，纽约科学院组织了第一次关于混沌的研讨会，出席的有大卫·鲁尔 David Ruelle、[[罗伯特·梅 Robert May]]、詹姆斯·a·约克 James A. Yorke(数学中“混沌”一词的创始人)、罗伯特·肖 Robert Shaw和气象学家爱德华·洛伦兹 Edward Lorenz。第二年 Pierre Coullet 和 Charles Tresser 发表了《迭代与重整化群体 Iterations d'endomorphismes et groupe de renormalisation》 ，米切尔·费根鲍姆 Mitchell Feigenbaum的文章《一类非线性变换的定量普遍性 Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations》最终发表在一本杂志上，经过三年的裁判拒绝。<ref name="Feigenbaum 25–52"/><ref>Coullet, Pierre, and Charles Tresser. "Iterations d'endomorphismes et groupe de renormalisation." Le Journal de Physique Colloques 39.C5 (1978): C5-25</ref> 因此 Feigenbaum (1975)和 Coullet & Tresser (1978)发现了混沌中的普遍性，允许混沌理论应用于许多不同的现象。
-年，Albert j. Libchaber 在皮埃尔·奥昂贝格 Pierre Hohenberg在阿斯彭组织的一次研讨会上，提出了他对瑞利-贝纳德对流系统 Rayleigh–Bénard convection中导致混沌和湍流的分叉理论级联的实验观察。1986年，由于他们令人鼓舞的成就，他和Mitchell Feigenbaum一起被授予沃尔夫物理学奖。
+年，Albert j. Libchaber 在皮埃尔·奥昂贝格 Pierre Hohenberg在阿斯彭组织的一次研讨会上，提出了他对瑞利-贝纳德对流系统 Rayleigh–Bénard convection中导致混沌和湍流的分岔理论级联的实验观察。1986年，由于他们令人鼓舞的成就，他和Mitchell Feigenbaum一起被授予沃尔夫物理学奖。
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 * [https://web.archive.org/web/20051227123602/http://physics.mercer.edu/pendulum/ Interactive live chaotic pendulum experiment], 允许用户交互和采样来自实际工作的阻尼驱动混沌摆的数据
 * [http://www.creatingtechnology.org/papers/chaos.htm Nonlinear dynamics: how science comprehends chaos], Sunny Auyang于1998年发表的演讲。
-* [http://www.egwald.ca/nonlineardynamics/index.php Nonlinear Dynamics]. Elmer G. Wiens的分叉和混沌模型
+* [http://www.egwald.ca/nonlineardynamics/index.php Nonlinear Dynamics]. Elmer G. Wiens的分岔和混沌模型
 * [http://www.around.com/chaos.html Gleick's ''Chaos'' (excerpt)]
 * 牛津大学[https://web.archive.org/web/20070428110552/http://www.eng.ox.ac.uk/samp/ Systems Analysis, Modelling and Prediction Group]