渗流理论 - 版本历史

2020年5月24日 (日) 14:47 Sai

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2020年5月24日 (日) 14:46 Sai

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2020年5月18日 (一) 03:37 Sai

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Sai：/* 一维渗流模型上的渗流 */

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一维渗流模型上的渗流

Sai：/* 一维渗流模型上的渗流 */

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一维渗流模型上的渗流

Sai：/* 一维渗流模型上的渗流 */

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一维渗流模型上的渗流

2020年5月18日 (一) 03:22 Sai

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2020年5月18日 (一) 03:21 Sai

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Sai：/* 公式，图表 */

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公式，图表

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第98行：		第98行：


−	===渗流理论中的重整化群===	+	==渗流理论中的重整化群==

@@ 第89行： / 第89行： @@
-===渗流中的标度行为===
+==渗流中的标度行为==
-===渗流中的分形===
+==渗流中的分形==
-===有限尺寸标度===
+==有限尺寸标度==
 ===渗流理论中的重整化群===

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第87行：		第87行：
	$$		$$
	其中$\sigma$是所有网络上的相关尺寸的临界指数，不同的网络可能具有同样的临界指数，临界指数反应了临界现象的普适性。$\exp (-\frac{s}{s_{\xi}})$反映了簇大小分布在临界点处的标度行为，簇的数目随着其尺寸的增大而指数下降。一维渗流模型的临界点和簇分布都有精确解，但是对于更高维度的渗流，比如二维矩形晶格上的点渗流，目前没有精确解。这是因为二维晶格上的簇构型十分复杂，同样尺寸的簇可能有非常多的构型，我们难以给出$n_s(p)$的表达形式。但是我们仍然可以用相同的方法进行分析和近似处理，另外重整化群理论也为我们提供了另外一种思路。		其中$\sigma$是所有网络上的相关尺寸的临界指数，不同的网络可能具有同样的临界指数，临界指数反应了临界现象的普适性。$\exp (-\frac{s}{s_{\xi}})$反映了簇大小分布在临界点处的标度行为，簇的数目随着其尺寸的增大而指数下降。一维渗流模型的临界点和簇分布都有精确解，但是对于更高维度的渗流，比如二维矩形晶格上的点渗流，目前没有精确解。这是因为二维晶格上的簇构型十分复杂，同样尺寸的簇可能有非常多的构型，我们难以给出$n_s(p)$的表达形式。但是我们仍然可以用相同的方法进行分析和近似处理，另外重整化群理论也为我们提供了另外一种思路。
		+
		+
		+	===渗流中的标度行为===
		+
		+
		+	===渗流中的分形===
		+
		+
		+	===有限尺寸标度===
		+
		+
		+	===渗流理论中的重整化群===

@@ 第44行： / 第44行： @@
-==一维渗流模型上的渗流==
+==一维渗流模型==
 一维渗流模型具有精确解，虽然这个精确解是平凡的，但是其分析思路不失一般性。所以这里我们通过计算一维晶格上的临界点和簇分布来分析渗流的临界点以及展现簇分布的标度行为。
@@ 第86行： / 第86行： @@
 s_{\xi} \propto\left|p_{c}-p\right|^{-\frac{1}{\sigma}} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}
 $$
-其中$\sigma$是所有网络上的相关尺寸的临界指数，不同的网络可能具有同样的临界指数，临界指数反应了临界现象的普适性。$\exp (-\frac{s}{s_{\xi}})$反映了簇大小分布在临界点处的标度行为，簇的数目随着其尺寸的增大而指数下降。
+其中$\sigma$是所有网络上的相关尺寸的临界指数，不同的网络可能具有同样的临界指数，临界指数反应了临界现象的普适性。$\exp (-\frac{s}{s_{\xi}})$反映了簇大小分布在临界点处的标度行为，簇的数目随着其尺寸的增大而指数下降。一维渗流模型的临界点和簇分布都有精确解，但是对于更高维度的渗流，比如二维矩形晶格上的点渗流，目前没有精确解。这是因为二维晶格上的簇构型十分复杂，同样尺寸的簇可能有非常多的构型，我们难以给出$n_s(p)$的表达形式。但是我们仍然可以用相同的方法进行分析和近似处理，另外重整化群理论也为我们提供了另外一种思路。

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第45行：		第45行：

	==一维渗流模型上的渗流==		==一维渗流模型上的渗流==
−	一维渗流模型具有精确解，虽然这个精确解是平凡的，但是其求解思路不失一般性。所以这里我们通过计算一维晶格上的临界点和簇分布来给出渗流模型一般性的分析思路。	+	一维渗流模型具有精确解，虽然这个精确解是平凡的，但是其分析思路不失一般性。所以这里我们通过计算一维晶格上的临界点和簇分布来分析渗流的临界点以及展现簇分布的标度行为。

@@ 第31行： / 第31行： @@
-根据零一律，一个无限的随机图是否渗流的概率要么为0，要么为1，处于这一转折的临界概率称为渗流阈值，记作pc。临界点处的渗流模型，簇的大小分布具有标度行为
+根据零一律，一个无限的随机图是否渗流的概率要么为0，要么为1，处于这一转折的临界概率称为渗流阈值，记作$pc$。临界点处的渗流模型，簇的大小分布具有标度行为
@@ 第53行： / 第53行： @@
 考虑一个包含L个顶点的一维晶格。根据零一率，我们可以写出一维晶格上发生渗流的概率为
 $$
-\limit_{L to \infty} P(p,L) = \left\{\begin{array}{ll}
+\lim_{L to \infty} P(p,L) = \left\{\begin{array}{ll}
 & \text { for } p < p_{c} \\
 & \text { for } p \geq p_{c}
@@ 第60行： / 第60行： @@
 对于一维晶格，要发生渗流，需要每一个点都生成。也就是渗流阈值就是$p_c = 1$
 $$
-\limit_{L to \infty} P(p,L) = \limit_{L to \infty} p^L = \left\{\begin{array}{ll}
+\lim_{L to \infty} P(p,L) = \lim_{L to \infty} p^L = \left\{\begin{array}{ll}
 & \text { for } p < 1 \\
 & \text { for } p \geq 1
@@ 第86行： / 第86行： @@
 s_{\xi} \propto\left|p_{c}-p\right|^{-\frac{1}{\sigma}} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}
 $$
-其中$\sigma$是所有网络上的相关尺寸的临界指数，不同的网络可能具有同样的临界指数，临界指数反应了临界现象的普适性。$\exp \left(-\frac{s}{s_{\xi}}\right$反映了簇大小分布在临界点处的标度行为，簇的数目随着其尺寸的增大而指数下降。
+其中$\sigma$是所有网络上的相关尺寸的临界指数，不同的网络可能具有同样的临界指数，临界指数反应了临界现象的普适性。$\exp \left(-\frac{s}{s_{\xi}}$反映了簇大小分布在临界点处的标度行为，簇的数目随着其尺寸的增大而指数下降。

@@ 第1行： / 第1行： @@
 ==介绍==
-渗流模型是最简单的相变模型之一。与常见的热力学相变（如气液相变，铁磁相变等）不同的是，渗流模型描述的是反映网络连通性变化的几何相变。
+渗流模型是最简单的相变模型之一。与常见的热力学相变（如气液相变，铁磁相变等）不同的是，渗流模型描述的是反映网络连通性变化的几何相变。渗流理论研究的是随机图上簇的性质。举例来说，假设有一多孔材料，求问液体能否从顶端贯穿该材料直至到达底部。渗流理论将此抽象成以下数学问题：建立一有n × n × n个格点的三维网格模型，相邻格点的边有p的概率是连接的，有(1-p)的概率是不连接的，每条边连接与否相互独立。渗流理论的基本问题是，当n很大以至于体系可以近似为无限网格时，求问至少存在一条贯穿整个网格的路径（称为渗流）对应的p的范围。这一p的下界，pc，称为渗流阈值（临界点）。
 [[图片：未发生渗流和发生渗流的对比]]
@@ 第10行： / 第12行： @@
-渗流模型与其他很多模型（如Potts模型等）相关联，从渗流模型中我们可以直观地了解关于分形，标度理论，重整化群的概念，这些概念在其他领域（如物理学，生物学，复杂系统等）同样十分重要。因此渗流模型不失为入门相变与临界现象的经典案例。
+渗流模型与其他很多模型（如Ising模型，Potts模型等）相关联，从渗流模型中我们可以直观地了解关于分形，标度理论，重整化群的概念，这些概念在其他领域（如物理学，生物学，复杂系统等）同样十分重要。因此渗流模型不失为入门相变与临界现象的经典案例。
 ==一维渗流模型上的渗流==
-==Bethe晶格上的渗流==
+考虑一个包含L个顶点的一维晶格。根据零一率，我们可以写出一维晶格上发生渗流的概率为

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第29行：		第29行：

	==Bethe晶格上的渗流==		==Bethe晶格上的渗流==
−
−
−	~~==公式，图表==~~
−
−
−	~~===1===~~
−	~~$$\begin{array}{\|l\|r\|r\|r\|}~~
−	~~\hline \text { Lattice } & \# \mathrm{nn} & \text { Site percolation } & \text { Bond percolation } \\~~
−	~~\hline \hline 1 \mathrm{d} & 2 & 1 & 1 \\~~
−	~~\hline \hline 2 \mathrm{d} \text { Honeycomb } & 3 & 0.6962 & 1-2 \sin (\pi / 18) \approx 0.65271 \\~~
−	~~\hline 2 \mathrm{d} \text { Square } & 4 & 0.592746 & 1 / 2 \\~~
−	~~\hline 2 \mathrm{d} \text { Triangular } & 6 & 1 / 2 & 2 \sin (\pi / 18) \approx 0.34729 \\~~
−	~~\hline 3 \mathrm{d} \text { Diamond } & 4 & 0.43 & 0.388 \\~~
−	~~\hline 3 \mathrm{d} \text { Simple cubic } & 6 & 0.3116 & 0.2488 \\~~
−	~~\hline 3 \mathrm{d} \mathrm{BCC} & 8 & 0.246 & 0.1803 \\~~
−	~~\hline 3 \mathrm{d} \mathrm{FCC} & 12 & 0.198 & 0.119 \\~~
−	~~\hline \hline 4 \mathrm{d} \text { Hypercubic } & 8 & 0.197 & 0.1601 \\~~
−	~~\hline \hline 5 \mathrm{d} \text { Hypercubic } & 10 & 0.141 & 0.1182 \\~~
−	~~\hline 6 \mathrm{d} \text { Hypercubic } & 12 & 0.107 & 0.0942 \\~~
−	~~\hline \hline 7 \mathrm{d} \text { Hypercubic } & 14 & 0.089 & 0.0787 \\~~
−	~~\hline \hline \text { Bethe lattice } & \mathrm{z} & \mathbf{1} /(\mathrm{z}-1) & \mathbf{1} /(\mathrm{z}-1) \\~~
−	~~\hline~~
−	~~\end{array}$$~~
−
−
−	~~===2===~~
−	~~$$n_{s}(p)=(1-p) p^{s}(1-p)=(1-p)^{2} p^{s}$$~~
−
−	~~$$\begin{aligned}~~
−	~~n_{s}(p) &=(1-p)^{2} p^{s} \\~~
−	~~&=(1-p)^{2} \exp \left(\ln \left(p^{s}\right)\right) \\~~
−	~~&=(1-p)^{2} \exp (s \ln (p)) \\~~
−	~~&=\left(p_{c}-p\right)^{2} \exp \left(-\frac{s}{s_{\xi}}\right)~~
−	~~\end{aligned}$$~~
−
−	~~$$s_{\xi}=\frac{-1}{\ln (p)}=\frac{-1}{\ln \left(p_{c}-\left(p_{c}-p\right)\right)} \rightarrow \frac{1}{p_{c}-p}=\left(p_{c}-p\right)^{-1} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}$$~~
−
−	~~$$s_{\xi} \propto\left\|p_{c}-p\right\|^{-\frac{1}{\sigma}} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}$$~~
−
−	~~$$\sum_{s=1}^{\infty} s n_{s}(p)=p \quad \text { for } p<p_{c}$$~~
−
−	~~$$\begin{aligned}~~
−	~~\sum_{s=1}^{\infty} s n_{s}(p) &=\sum_{s=1}^{\infty} s(1-p)^{2} p^{s} \\~~
−	~~&=(1-p)^{2} \sum_{s=1}^{\infty} p \frac{d\left(p^{s}\right)}{d p} \\~~
−	~~&=(1-p)^{2} p \frac{d}{d p}\left(\sum_{s=1}^{\infty} p^{s}\right) \\~~
−	~~&=(1-p)^{2} p \frac{d}{d p}\left(\frac{p}{1-p}\right) \\~~
−	~~&=p~~
−	~~\end{aligned}$$~~
−
−	~~$$w_{s}=\frac{s n_{s}(p)}{p}=\frac{s n_{s}(p)}{\sum_{s=1}^{\infty} s n_{s}(p)}$$~~
−
−	~~$$\begin{aligned}~~
−	~~S(p) &=\sum_{s=1}^{\infty} s w_{s} \\~~
−	~~&=\sum_{s=1}^{\infty} \frac{s^{2} n_{s}(p)}{\sum_{s=1}^{\infty} n_{s}(p) s} \\~~
−	~~&=\frac{1}{p}(1-p)^{2} \sum_{s=1}^{\infty} s^{2} p^{s} \\~~
−	~~&=\frac{1}{p}(1-p)^{2}\left(p \frac{d}{d p}\right)^{2}\left(\sum_{s=1}^{\infty} p^{s}\right)~~
−	~~\end{aligned}$$~~
−
−	~~$$S(p)=\frac{1+p}{1-p}=\frac{p_{c}+p}{p_{c}-p}$$~~
−
−	~~$$S(p)=\frac{p_{c}+p}{p_{c}-p} \rightarrow \frac{2 p_{c}}{p_{c}-p} \propto\left(p_{c}-p\right)^{-1} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}^{-}$$~~
−
−	~~$$S(p) \propto\left\|p_{c}-p\right\|^{-\gamma} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}$$~~
−
−	~~$$g(\mathbf{r})=\exp \left(\ln \left(p^{r}\right)\right)=\exp (r \ln (p))=\exp \left(-\frac{r}{\xi}\right)$$~~
−
−	~~$$\xi=-\frac{1}{\ln (p)}=\frac{-1}{\ln \left(p_{c}-\left(p_{c}-p\right)\right)} \rightarrow \frac{1}{\left(p_{c}-p\right)}=\left(p_{c}-p\right)^{-1} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}=1$$~~
−
−	~~$$\xi \propto\left\|p_{c}-p\right\|^{-\nu} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}$$~~
−
−
−	~~===3===~~
−	~~$$\begin{aligned}~~
−	~~\text { Total no. sites } &=1+3 \cdot\left(1+2+\cdots+2^{g-1}\right) \\~~
−	~~&=1+3 \cdot \frac{1-2^{g}}{1-2} \\~~
−	~~&=3 \cdot 2^{g}-2~~
−	~~\end{aligned}$$~~
−
−	~~$$\frac{\text { No. of surface sites }}{\text { Total no. of sites }}=\frac{3 \cdot 2^{g-1}}{3 \cdot 2^{g}-2} \rightarrow \frac{1}{2} \quad \text { for } g \rightarrow \infty$$~~
−
−	~~$$\frac{\text {No. of surface sites}}{\text {Total no. of sites}} \rightarrow \frac{z-2}{z-1} \text { for } g \rightarrow \infty$$~~
−
−	~~$$\text { Surface } \propto \text { Volume }^{\frac{d-1}{d}}=\mathrm{Volume}^{1-\frac{1}{d}}$$~~
−
−	~~$$\frac{\text { No. loops }}{\text { Total no. chains }}=\frac{2 d \cdot(2 d-2) \cdot 1}{2 d \cdot(2 d-1)^{2}}=\frac{(2 d-2)}{(2 d-1)^{2}} \rightarrow 0 \quad \text { for } d \rightarrow \infty$$~~
−
−	~~$$p_{c}(z-1)=1 \Leftrightarrow p_{c}=\frac{1}{z-1}$$~~
−
−	~~$P(p)=(\text { Prob. site is occupied }) \times(\text { Prob. at least } O N E \text { branch lead to infinity })$ $=p\left(1-Q^{3}\right)$~~
−
−	~~$Q=(\text { Prob. site is empty })+(\text { Prob. site is occupied }) \times(\text { Prob. no subbranch leads to infinity })$ $=(1-p)+p Q^{2}$~~
−
−	~~Q=\frac{1 \pm \sqrt{(2 p-1)^{2}}}{2 p}=\left\{\begin{array}{l}~~
−	~~1 \\~~
−	~~\frac{1-p}{p}~~
−	~~\end{array}\right.~~
−
−	~~P(p)=\left\{\begin{array}{ll}~~
−	~~0 & \text { for } p<p_{c} \\~~
−	~~p\left(1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^{3}\right) & \text { for } p \geq p_{c}~~
−	~~\end{array}\right.~~
−
−	~~P(p) \propto\left(p-p_{c}\right) \quad \text { for } p \rightarrow p_{c}^{+}~~
−
−	~~$S(p)=$ average cluster size to which the origin belongs~~
−	~~$=(\text { contribution from origin })+(\text { contributions from the } 3$ branches) $=1+3 T$~~
−
−	~~T=(1-p) \cdot 0+p \cdot(1+2 T) \Leftrightarrow T=\frac{p}{1-2 p} \quad \text { for } p<p_{c}~~
−
−	~~S(p)=1+3 T=\frac{1+p}{(1-2 p)}=\frac{1+p}{2\left(\frac{1}{2}-p\right)}=\frac{1+p}{2\left(p_{c}-p\right)}=\Gamma_{2}\left(p_{c}-p\right)^{-1}~~
−
−	~~P(p)+\sum_{s=1}^{\infty} s n_{s}(p)=p \quad \forall p~~