系统中的观察者(5)——自指 - 版本历史

薄荷：/* 对角线版本的递归定理 */

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对角线版本的递归定理

薄荷：/* 哥德尔定理2 */

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哥德尔定理2

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递归定理

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递归定理

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递归定理

薄荷：/* 自指——连接图形与衬底的金带 */

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自指——连接图形与衬底的金带

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小结

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因果何时逆转？

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−	然后再考虑一个任意的计算机程序F。我让它作用到这条对角线上，也就是计算F(x(x))。这可以被看作一个程序：V(x)，它的编码记为v。那么它也必然在表中的某一行（蓝色的行），并且它应与黄金对角线有一个交点，我们把它染成了绿色。在这一点上，我们得到了F这个函数的一个不动点（fixedpoint），即F(c)=c，其中这个cv(v)。但是，等等，你不觉得此结论有问题吗？	+	然后再考虑一个任意的计算机程序F。我让它作用到这条对角线上，也就是计算F(x(x))。这可以被看作一个程序：V(x)，它的编码记为v。那么它也必然在表中的某一行（蓝色的行），并且它应与黄金对角线有一个交点，我们把它染成了绿色。在这一点上，我们得到了F这个函数的一个不动点 fixedpoint ，即F(c)=c，其中这个cv(v)。但是，等等，你不觉得此结论有问题吗？

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 首先，我们需要简单介绍一下哥德尔定理的背景。哥德尔定理所讨论的对象是关于自然数的一套公理系统。此公理系统是由关于自然数性质的命题构成的（我们可以把这些命题简单地理解为一些合法的字符串）。例如：
-<math>\forall a:\sim (a+1)=0</math>
+:<math>\forall a:\sim (a+1)=0</math>
 即对于任意的自然数a，a+1不为0；其中<math>\forall</math>是任意量词，<math>\forall a</math>就表示任意的自然数a。<math>\sim</math>表示非。再例如：
-<math>\exists a   \forall b   \forall c:\sim a=(b+2) (c+2) </math>
+:<math>\exists a   \forall b   \forall c:\sim a=(b+2) (c+2) </math>
 存在着自然数a，使得对于任意给定的自然数b和c：a=(b+2)(c+2)都不成立，也就意味着存在着质数。从一组基本的语句出发（即公理，前面的第一个句子就是系统中的一个公理），按照既定的推理规则（字符串的替换规则）我们就能得到非常丰富的有关自然数的判断语句，我们称这些推导出的语句为定理。
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 例如下面的语句：
-<math> \forall a,b: (a+b)=(a+b)</math>
+:<math> \forall a,b: (a+b)=(a+b)</math>
 对于任意的自然数a和b，a+b=b+a都成立，就是可以从公理中推出的定理。
@@ 第507行： / 第507行： @@
 另外，我们对任意一个合法的字符串都赋予一个真值，来表示该字符串所表达的语句是否为一个真的关于自然数的命题。例如，命题：
-<math>\forall a,\exists b: a+b=0</math>
+:<math>\forall a,\exists b: a+b=0</math>
 翻译成自然语言就是：“对于任意的自然数a，都存在着一个自然数b，使得a+b=0”。那么，我们知道这个命题就是假的，这是因为我们能够举出反例，当a=1的时候，就不会存在正整数b使得a+b=0成立。而对于命题：
-<math>\forall a, \exists b:\sim (a+b)=0</math>
+:<math>\forall a, \exists b:\sim (a+b)=0</math>
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-<math> \forall a,\exists b:\sim (a+b)=0 </math>
+:<math> \forall a,\exists b:\sim (a+b)=0 </math>
-<math> \exists b:\sim b+3=0 </math>（将上一条语句中的任意变量a用特殊的数3来替换）
+:<math> \exists b:\sim b+3=0 </math>（将上一条语句中的任意变量a用特殊的数3来替换）
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 最后，我们可以用基本符号和运算构造一个命题函数（可计算函数）：<math> T(m,n) </math>，我只要把任何一个推导过程的编码<math>m</math>以及命题语句的编码<math>n</math>输入到该函数<math>T(m,n)</math>中，<math>T</math>就能够计算出该系统从公理出发，在经历了m所代表的推导过程之后就能够推导出n所代表的结论。这样，语句：
-<math>\exists m:T(m,n) </math>
+:<math>\exists m:T(m,n) </math>
@@ 第569行： / 第569行： @@
 例如，考虑一个语句：
-<math> \sim (a+1)=0</math>
+:<math> \sim (a+1)=0</math>
 在该语句中a是一个不受任何量词约束的自由变元。假设这一公式的哥德尔编号为1199，那么将1199这个数字代入到原公式中（也就是让a=1199），就得到公式：
-<math> \sim (1199+1)=0</math>
+:<math> \sim (1199+1)=0</math>
 假设这个新公式的哥德尔编号为3445。因此我们定义当函数<math>Q</math>作用到1199这个数字上面的时候就得到3445，也就是<math>Q(1199)=3445</math>。注意，实际上这个<math>Q(x)</math>就是与上一小节中的蒯恩程序等价的蒯恩函数。
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 这样，我们便可以把“我”和“不是定理”连接起来构成一个新句子：
-<math>Q_o T(n)= ''\sim \exists m:T(m,Q(n))''</math>
+:<math>Q_o T(n)= ''\sim \exists m:T(m,Q(n))''</math>
 其中<math>n</math>为该句子中的自由变元。我们记该句子的哥德尔编号为：<math>q_o t</math>，就可以得到哥德尔句子：
-<math>G=Q_o, T(q_o t)= ''\sim \exists m:T(m,Q(q_o t))''</math>
+:<math>G=Q_o, T(q_o t)= ''\sim \exists m:T(m,Q(q_o t))''</math>

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+}
-'''F(x){'''
+F(x){Print(length(x));}
 </pre>

@@ 第333行： / 第333行： @@
 '''}'''
-<pre>
+</pre>
 <div style="text-align: center;">源代码4：计算自己代码长度的计算机程序</div>

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 那么我们只要这样修改S(x)就可以了：
-<code>
+<pre>
 S(x){q=’S(x){\\n  q=\\\’\’+q+\’\\\’;\\n  F(\\\’\’+p(q)+\’\\\’);\\n} '''\\nF(x){\\n  Print(length(x));\\n}’''' ;
@@ 第333行： / 第333行： @@
 '''}'''
-</code>
+<pre>
 <div style="text-align: center;">源代码4：计算自己代码长度的计算机程序</div>

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-所有这些问题都集中到一个古老而意义深远的名词：自指（Self-reference）。
+所有这些问题都集中到一个古老而意义深远的名词：'''自指 Self-reference''' 。
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-将这种自我毁灭性的古代奥义应用到现代科学中已经产生了一系列深刻的结论。首先，在19世纪末，著名数学家[http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor 康托尔]（George Cantor）将“对角线删除”法则应用到集合论中，从而证明了实数的个数比自然数多。紧接着，[http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell 罗素]（Bertrand Russell）提出了著名的“[http://en.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege 罗素悖论]”而摧毁了[http://en.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege 弗雷格]（Gottlob Frege）的数学大厦。年仅25岁的[http://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del 哥德尔]（Kurt Gödel）巧妙地应用同样的破坏性自指一举摧毁了数学大师希尔伯特（David Hilbert）的完备一致性的数学体系梦想。[http://en.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing 图灵]（Alan Turing）则利用同样的技巧进一步发现任何超级计算机都不可能求解的[http://www.swarma.org/vm/articles/turing.pdf 图灵停机问题]。
+将这种自我毁灭性的古代奥义应用到现代科学中已经产生了一系列深刻的结论。首先，在19世纪末，著名数学家[http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor 康托尔 George Cantor]将“对角线删除”法则应用到集合论中，从而证明了实数的个数比自然数多。紧接着，[http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell 罗素 Bertrand Russell]提出了著名的“[http://en.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege 罗素悖论]”而摧毁了[http://en.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege 弗雷格 Gottlob Frege]的数学大厦。年仅25岁的[http://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del 哥德尔 Kurt Gödel]巧妙地应用同样的破坏性自指一举摧毁了数学大师希尔伯特（David Hilbert）的完备一致性的数学体系梦想。[http://en.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing 图灵 Alan Turing]则利用同样的技巧进一步发现任何超级计算机都不可能求解的[http://www.swarma.org/vm/articles/turing.pdf 图灵停机问题]。
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-年，正当人们举杯欢庆沃森和克里克发现了DNA双螺旋结构，并从分子层面上解释了生命的自我复制之谜的时候，另外一名伟大的美国匈牙利裔数学家：[http://en.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann 约翰.冯诺依曼]（John von Neumann）正在独立地思考着生命自我复制的'''逻辑基础'''。然而，令人遗憾的是，那时的冯诺依曼已经患上了癌症，并于1957年的2月去世。于是，他的助手[http://en.wikipedia.org/wiki/Arthur_Burks 阿瑟.伯克斯]Arthur Burks将他关于自复制自动机理论的整理成书《[http://book.douban.com/subject/2982694/ Theory of Self-reproducing Automata]》，并于1966年出版。
+年，正当人们举杯欢庆沃森和克里克发现了DNA双螺旋结构，并从分子层面上解释了生命的自我复制之谜的时候，另外一名伟大的美国匈牙利裔数学家：[[约翰·冯·诺依曼 John von Neumann]]正在独立地思考着生命自我复制的'''逻辑基础'''。然而，令人遗憾的是，那时的冯诺依曼已经患上了癌症，并于1957年的2月去世。于是，他的助手[http://en.wikipedia.org/wiki/Arthur_Burks 阿瑟·伯克斯 Arthur Burks]将他关于自复制自动机理论的整理成书《[http://book.douban.com/subject/2982694/ Theory of Self-reproducing Automata]》，并于1966年出版。
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-实际上，早在1938年，与哥德尔共同奠定递归函数论基础的数学家[http://en.wikipedia.org/wiki/Stephen_Cole_Kleene 克林尼] Stephen Kleene就证明了递归函数论中的一个著名定理：[http://en.wikipedia.org/wiki/Kleene%27s_recursion_theorem 递归定理]（更精确地说，应该叫Kleene第二递归定理）。根据它，人们可以很轻松地得到一个数学推论，系统的自我复制是可能的。
+实际上，早在1938年，与哥德尔共同奠定递归函数论基础的数学家[http://en.wikipedia.org/wiki/Stephen_Cole_Kleene 克林尼 Stephen Kleene] 就证明了递归函数论中的一个著名定理：[http://en.wikipedia.org/wiki/Kleene%27s_recursion_theorem 递归定理]（更精确地说，应该叫Kleene第二递归定理）。根据它，人们可以很轻松地得到一个数学推论，系统的自我复制是可能的。
-证明递归定理的核心技巧，是一个被称为“蒯（kuai3）恩”的特别技术。[http://en.wikipedia.org/wiki/W._V._Quine 蒯恩] Willard.V. Quine是美国的哲学家，终身致力于哲学、数理逻辑、集合论的研究。他创造了一种称之为蒯恩的方法，使得人们可以不通过使用“我”或者“这句话”等词语就能创造出可以谈论自身的句子来。
+证明递归定理的核心技巧，是一个被称为“蒯（kuai3）恩”的特别技术。[http://en.wikipedia.org/wiki/W._V._Quine 蒯恩 Willard.V. Quine]是美国的哲学家，终身致力于哲学、数理逻辑、集合论的研究。他创造了一种称之为蒯恩的方法，使得人们可以不通过使用“我”或者“这句话”等词语就能创造出可以谈论自身的句子来。
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-总而言之，从宗教到科学，从悖论到自复制，自指是贯穿始终的主题。正如《[http://book.douban.com/subject/1291204/ 哥德尔、艾舍尔、巴赫]》这本书指出的那样，自指是一条永恒的金带。
+总而言之，从宗教到科学，从悖论到自复制，自指是贯穿始终的主题。正如《[[哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成 Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid]]》这本书指出的那样，自指是一条永恒的金带。

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 而n(m)k(m)恰恰表示计算机程序的等效。也就意味着对于任意的输入数据x来说，都有：n(m)(x)k(m)(x)。我们知道严格来说等式左边的程序编号是n(m)而右侧是k(m)，这两个数字不一定相等。但是，这并不妨碍这两个程序对于所有的输入数据x的计算效果都等效。例如我们考察下面两个计算机程序：
 f(x){
      return(x+1);
+}
 和：
 g(x){
      return(x+2-1);
+}
 很显然f(x)和g(x)是两个不同的程序，因为它们的源代码不同，这样它们的编码也必然不同。但是，我们看到这两个函数实际上是等效的，因为它们都进行x+1的计算，所以f=g是成立的。
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 有趣的是，康托尔的证明以及下面所讲的破坏性自指的黄金对角线等方法恰恰是利用了与此类似的技巧。只不过，在那里的对角线中，我们能够事先保证v(v)是非空的数值。于是我们只能得到诸如c=c+1的矛盾，从而返回去否定前提的成立。
 ====破坏性自指的黄金对角线====

@@ 第1,187行： / 第1,187行： @@
 *  [[系统中的观察者(3)——物理中的观察者]]
 *  [[系统中的观察者(4)——人工智能的观察者]]
 *  [[系统中的观察者(6)——互联网与观察之流]]
-[[category:旧网站]]
-[[category:旧网站-观察与系统]]
+<br>
 [[category: 人工智能]]
 [[category:观察与系统]]
 [[category:观察者理论]]

@@ 第1,173行： / 第1,173行： @@
 本章将20世纪30年代人们通过数理逻辑、计算理论对自指问题的认识进行了比较详细的综述，并重点指出了人们不太熟悉的构建性自指问题。最后，我们又将自指问题在观察者
 理论中的重要性突出出来。可以说，自指问题恰恰是前景主流科学和背景观察者理论的交叉边界之处。所以，从科学的角度认识观察者的性质是与自指问题密不可分的。本章我们将观察者理论的不同应用融入到了各个章节之中，其中包括无穷上升的虚拟层次，图灵机-观察者模型解决停机问题，因果倒置与生命的本质等等。
 然而，我认为这些讨论还是不够全面的。我们在本章忽略的主要问题就是概率因素。可以说只有建立在概率和随机体系下的科学理论才是现代的科学理论。我们如何将概率因素融入到自指问题之中呢？我们是否可以讨论随机的自指问题，随机的判定问题？进一步，我们将如何把第3章和第4章谈到的量子概率方法融入到自指体系当中？我个人强烈地以为自指悖论中的二律悖反性质恰恰是量子概率最好的用武之地。
 我认为这些都是未来研究的重要理论问题。
 <br>
 ==相关页面==
 *  [[系统中的观察者(1)——引言]]

@@ 第1,140行： / 第1,140行： @@
 假如我们能够创造这样一种完美的人类克隆体，它不仅外貌上与被克隆的人一模一样，而且能够非常完美地在瞬间模仿真人的一切动作（包括说话、运动等等）。我们假设，A和A的克隆体A’之间存在着信号传递，无论A做了什么动作，说了什么话，都可以用一个无线电装置在瞬间传递给A’，并让A’马上模仿出来。
 当你看到这两个人，你如何判定它们两个哪个是真人，哪个是克隆体呢？当你面对两个一模一样的事物的时候，你会很容易发生误判。例如，你将克隆体A’误判成真实的人了。于是，你的头脑会做出这样一种解释：A’所做出的某种动作导致了A做出同样的动作。你会发现，这种假设是完全说得通的，因为A和A'的所有动作都是同时的、一模一样的，于是你既可以将A看成是原因A’是结果，你也可以将A’看成是原因A是结果。这实际上已经发生了因果的互换！我们可以这样说：'''完全地重合恰恰就是因果关系开始发生倒置的起点！'''
 下面，再让我们来看自指。什么是自指？可以这样说，自指恰恰就是同样一个事物在不同的层次上发生了完美的重合。所以，不同层次的同一事物就会表现给观察者完全一样的动作和过程，这个时候，观察者也就不能够分辨出哪一个是因，哪一个是果了。自指让观察者心智中的因果箭头开始发生倒置。
 让我们以自我反省的程序为例说明。我们知道，自我反省的程序包括两个层次，一个是它的“物理层”也就是由我们设计者写好的源代码。另一个层次则是由这个计算机程序动态
@@ 第1,151行： / 第1,154行： @@
 由于程序将自己的源代码原封不动地拷贝到了虚拟层，并进行分析、模拟，所以我们观察者将会看到两个不同层次完美的重合。当程序不仅仅做出分析，而且还能够做出输入输出响应的时候，我们将会看到和刚才的假想实验相似的情况：不知情的观察者将会发生混淆，以至于既可以把程序物理层的源代码看作是原因，也有可能将程序的虚拟层的源代码看作是原因。这就使得因果倒置成为了可能。假如虚拟层的程序比物理层的程序跑得更快些（虚拟层的程序跑了T步，而物理层的程序仅仅跑了t步，其中T>t），那么观察者将更可能认为这个程序的虚拟层“控制”了物理层的部分，于是程序按照“自己”的意愿完成了动作。这和观察者看到一个小虫可以朝向食物自主的运动是完全同样的道理。
 不仅仅是自我反省的程序，我们会看到任何一个具备构建型自指能力的系统都包括了两层次，而且是同一个东西在不同的层次实现了重合。例如，我们考察自打印程序，这个程序实际上是三个不同层次的两两重合。第一层是该程序内部包含的数据：λ((Copy<sub>о</sub> Popup<sub>о</sub> Control))，第二个层次是该程序内部的实体结构：(Copy<sub>о</sub> Popup<sub>о</sub> Control)。首先，这两层其实是同一个东西的再现，即都是(Copy<sub>о</sub> Popup<sub>о</sub> Control)，它们完成了一次重合。
 另外，我们考察另外两个层面，与自我反省的程序类似，一个层面是该程序的物理层，也就是整个源代码：λ((Copy<sub>о</sub> Popup<sub>о</sub> Control))<sub>о</sub> (Copy<sub>о</sub> Popup<sub>о</sub> Control)。另一个是它运行之后在屏幕上打印出来的东西，即仍然是这个源代码自己。这两个层次发生了重合。
 这种不同层次的融合也发生在对角线证明方法之中。我们看表3。粉色的格子上面一行是程序Q所得到的运算结果；下面一行是表格的排列规则；当两者重合在桔黄色的那个方
 格，即那个蒯恩句子，或者是“自我”点的时候，程序自身做出的判断与表格的排列发生了完美的重合！
 让我们更加引申一层，其实生命的奥妙并不在于多么复杂的物理规则，也不在于多么精巧的控制逻辑，其本质就在于自指在不同层面的重合。当这种重合发生的时候，信息与物理完全同构、未来与过去完全同构、真实与虚拟完全同构、甚至观察者与被观察物从某种意义上说也完全同构！所以，重要的并不是我们人类如何有意识地去认识、理解、掌控这个物质